Mühazirə 1 Xətalar, onların növləri, yaranma mənbələri və hesablanma qaydaları

MÜHAZİRƏ 9
Bölünən fərqlər və Nyutonun I interpolyasiya çoxhədlisi.
İnterpolyasiya çoxhədlilərinin xətası


9.1. Bölünən fərqlər və onların xassələri
Nyutonun interpolyasiya çoxhədlisi Laqranj çoxhədlisinin başqa şəklidir və ona nəzərən bəzi üstünlüklərə malikdir.
Nyuton çoxhədlisini çıxarmaq üçün bölünən fərqlər anlayışını daxil edək.
funksiyasını və nöqtələrini götürək.
Sıfırıncı tərtib bölünən fərqlər – funksiyanın düyün nöqtələrindəki qiymətləri ilə üst-üstə düşür.
Birinci tərtib bölünən fərqi sıfırıncı tərtib bölünən fərqlərlə təyin olunur:

Məsələn,

İkinci tərtib bölünən fərqlər I tərtib bölünən fərqlərlə ifadə olunurlar:

Məsələn,

_n - ci tərtib bölünən fərq belə təyin olunur:

Beləliklə, - ci nöqtə üçün - ci tərtibə qədər bölünən fərq qurula bilər, böyük tərtib bölünən fərqlər isə sıfra bərabər olur.

Bölünən fərqlərin xassələri:

1. 
   
   

2) Cəmin və fərqin bölünən fərqi toplananların və ya azalan və çıxılanın bölünən fərqlərinin cəminə və ya fərqinə bərabərdir.
3) Sabit vuruğu bölünən fərq işarəsi xaricinə çıxarmaq olar.
4) Bölünən fərq öz arqumentlərinə nəzərən simmetrikdir:

5) dərəcəli çoxhədlidən - ci tərtib bölünən fərq sabit, - dən yüksək tərtib bölünən fərq isə sıfırdır.
6) Bölünən fərqlərlə uyğun tərtib törəmələr arasında əlaqə düsturu:

<sub>Məsələn:



9.2. Nyutonun I interpolyasiya düsturu</sub>
Tutaq ki, düyün nöqtələridir və nöqtəsini də düyün nöqtəsi olaraq götürək və məlum
(1)
münasibətini yazaq. Eyni qayda ilə
(2)

1. 
   və (2)
   

(3)
Bölünən fərqin tərifinə görə
(4)
(4) – ü (3) – də yazsaq
alarıq və s. Prosesi bu qayda ilə davam etdirsək
₍₅₎
alarıq. Bu düstur Nyutonun I interpolyasiya çoxhədlisi adlanır.
Qeyd 1. Hesablama dəqiqliyi olaraq (5) sırasının hədlərinin azalmasını izləmək əlverişlidir. Dəqiqliyi artırmaq üçün cəmə yeni hədlər, yəni yeni düyün nöqtələri əlavə etmək lazımdır.
Nyutonun interpolyasiya çoxhədlisi ədədi diferensiallama düsturlarının qurulmasında daha əlverişlidir.
Nyuton çoxhədlisi üçün xətti və kvadratik interpolyasiya düsturlarını verək:

Asanlıqla göstərmək olar ki, bu düsturlar sadə çevirmələrdən sonra Laqranjın interpolyasiya çoxhədlisi üçün uyğun düsturlarla üst-üstə düşür. Bu yəgin ki, interpolyasiya çoxhədlisinin yeganəliyi şərtinin nəticəsidir:

_{Doğrudan da}