8.2. Bərabər olmayan addımlar üçün Laqranjın interpolyasiya çoxhədlisi
Teorem 1. Tutaq ki, parçasında arqumentin sayda müxtəlif qiymətləri verilir və qiymətləri məlumdur. Onda
dərəcəsi - i aşmayan yeganə çoxhədlisi var ki,
İsbatı. Əvvəlcə xüsusi məsələ həll edək. Elə polinomu quraq ki, olduqda və olsun.
(1)
burada Kroneker simvollarıdır.
Axtarılan polinom sayda nöqtələrində sıfra çevrilirsə, onda o
(2)
şəkildə olar. Burada - sabit əmsaldır. (2) – də y
götürsək və olduğunu nəzərə alsaq
və
alarıq. Bu qiyməti (2) – də yazsaq alarıq:
(3)
İndi elə çoxhədlisi tapaq ki, olsun. Bu çoxhədli belə olar:
(4)
Doğrudan da:
1) - in dərəcəsi ,
2)
(3) və (4) – dən alırıq:
(5)
Bu axtarılan çoxhədlidir, o Laqranj çoxhədlisi adlanır.
İşarə edək:
Onda (5) - i
kimi yazmaq olar.
3) - in yeganəliyini isbat edək. Əksini fərz edək, tutaq ki, elə çoxhədlisi var ki, .
Onda dərəcəsi olan polinomu sayda nöqtələrində sıfra çevrilir, yəni .
Laqranj düsturuna görə xətti və kvadratik interpolyasiya düsturları:
Laqranj çoxhədlisini belə yazmaq olar:
8.3. Bərabər addımlar üçün Laqranjın interpolyasiya çoxhədlisi
Aşağıdakı hala baxırıq:
əvəz edək,
Beləliklə,
Sonuncu ifadədə - lər qarşısındakı əmsallar
nə funksiyasından, nə də - dan asılı deyillər. Onları cədvəlləşdirmək və müxtəlif hallarda istifadə etmək olar. Belə cədvəl var və 0, Laqranj əmsalları cədvəli adlanır.
