18. Runqe-Kutta düsturunun xüsusi halları. Eyler düsturu. Xətanın qiymətləndirilməsi
§3. 3. Runqe-Kutta düsturunun xətası Runqe-Kutta üsulu ilə həlldən aydındır ki, -ı başlanğıc nöqtə kimi qəbul edərək təqribi həllini tapırıq. Sonra başlanğıc nöqtəni qəbul edərək, təqribi həllini tapırıq və s. Prosesi bu qayda ilə davam etdirsək axtarılan həllin nöqtələrində həllərini tapmış oluruq.
Tutaq ki,
, (1)
diferensial tənliyinin dəqiq həllidir. Runqe-Kutta üsulu ilə ədədi həll zamanı tədricən xətaların "toplanması" baş verir. Əgər dəqiq verilmiş-dirsə, onda həlli müəyyən xəta ilə alınır və yuxarıda qeyd etdiyimiz kimi bu təqribiliyin xətası tərtibdən olur. təqribi həlli tapılarkən ikiqat xəta yaranır: -in və -nin özünün tapılması zamanı yaranan xətalar. İsbat etmək olar ki, -cı addım üçün
, (2)
və kiçik olduqda
. (3)
Tutaq ki, və (1) diferensial tənliyinin və addımına uyğun olaraq Runqe-Kutta üsulu ilə tapılmış təqribi həlləridir. Onda (2) şərtinə əsasən
tərəf -tərəfə çıxsaq alarıq:
.
Buradan ,
və ya
. (4)
(2) -dan aydındır ki, (4) düsturunun xətası olar. (3.12) -dan çıxır ki, əgər və verilmiş dəqiqliklə üst -üstə düşürsə, götürmək olar. Praktik məqsədlər üçün addımının seçilməsi də elə buna əsaslanır: hər bir -ci addımda mə’lum həllindən istifadə edərək və addımına uyğun və təqribi həlləri tapılır. Əgər fərqi verilmiş xəta sərhəddi daxilində olarsa, onda baxılan mərhələ üçün addımı düzgün seçilib. Əks halda addımı iki dəfə azaltmaq lazımdır. Praktik hesablamalarda -ın başlanğıc qiyməti olaraq götürmək olar.
