Mustaqil ish amaliy Matematika fanidan

Matritsalar va ular ustida amallar

Matritsani songa ko’paytirish.
퐴 matritsani 휆 songa ko’paytmasi 휆퐴 bilan belgilanadi.
퐴 matritsaning 휆 songa 휆퐴 ko’paytmasi deb shunday 퐵 matritsaga aytiladiki, 퐵
matritsaning elementlari 푏푖푗 = 휆푎푖푗 dan iboratdir, bu yerda 푎푖푗 – 퐴 matritsaning elementlari. 퐴 matritsani 휆 songa ko’paytirganda hosil bo’ladigan 퐵 matritsa 퐴 matritsa bilan bir xil o’lchovli bo’ladi. Hullas, matritsani biror songa ko’paytirish uchun bu matritsaning har bir elementini shu songa ko’paytirib chiqish kerak.

Matritsalar va ular ustida amallar

Masalan,
휆 = −2,
퐴 =
3 0
7 −1
bo’lsin. U holda
휆퐴 = −2 ⋅
3 0
7 −1
=
−6 0
−14 2
.

Matritsalar va ular ustida amallar

Matritsalarni ko’paytirish.
matritsalarning ko’paytmasi deb shunday 퐶푚×푝 = 퐴 ⋅ 퐵 (sodda qilib,
퐴푚×푛 va 퐵푛×푝
퐴퐵) matritsaga aytiladiki, bu 퐶 matritsaning elementlari
푐푖푗 = 푎푖1푏1푗 + 푎푖2푏2푗 + 푎푖3푏3푗+. . . +푎푖푛푏푛푗
ko’rinishda bo’ladi, bu yerda 푎푖푗 va 푏푖푗 - mos ravishda 퐴 va 퐵 matritsalarning
elementlari. Bundan ko’rinadiki, 퐴 va 퐵 matritsalarning ko’paytmasi ma’noga ega bo’lishi uchun 퐴 matritsaning ustunlari soni 퐵 matritsaning satrlari soniga teng
bo’lishi zarur. Hosil bo’lgan 퐴퐵 ko’paytmaning satrlari soni 퐴 matritsaning satrlari soniga, ustunlari soni esa 퐵 matritsaning ustunlari soniga teng.

Matritsalar va ular ustida amallar

퐴퐵 ko’paytmaning mavjudligidan 퐵퐴 ko’paytmaning mavjudligi kelib chiqmaydi. 퐴퐵 va 퐵퐴 ko’paytmalar mavjud bo’lgan taqdirda ham, odatda (ko’p hollarda), 퐴퐵 va 퐵퐴 ko’paytmalar bir-biriga teng bo’lmaydi: 퐴퐵 ≠ 퐵퐴. Agar 퐴퐵 = 퐵퐴 bo’lsa, u holda 퐴 va 퐵 matritsalar o’zaro o’rin almashinuvchi (kommutativ) matritsalar deyiladi.
Ma’lumki, har doim 퐴퐵 퐶 = 퐴 퐵퐶 tenglik o’rinli.

Matritsalar va ular ustida amallar

Misol 1. 퐴퐵 va 퐵퐴 ko’paytmalarni toping.
퐴 =
4 −5 8
1 3 −1
,
퐵 =
−1 5
−2 −3
3 4
.
퐴퐵 ko’paytmani topamiz:
퐴퐵 =
4 −5 8
1 3 −1
⋅
−1 5
−2 −3
3 4
=
=
4 ⋅ (−1) + (−5) ⋅ (−2) + 8 ⋅ 3
1 ⋅ (−1) + 3 ⋅ (−2) + (−1) ⋅ 3
4 ⋅ 5 + (−5) ⋅ (−3) + 8 ⋅ 4
1 ⋅ 5 + 3 ⋅ (−3) + (−1) ⋅ 4
=
30 67
−10 −8
.