N. P. Rasulov, I. I. Safarov, R. T. Muxitdinov

§1. BOSHLANG‘ICH FUNKSIYA VA ANIQMAS INTEGRAL. INTЕGRALLAR JADVALI

• 
  Boshlang‘ich funksiya va aniqmas integral.
  
• 
  Aniqmas integral xossalari.
  
• 
  Integrallar jadvali.
  

3. 
   Boshlang‘ich funksiya va aniqmas integral. Differensial hisob bobida berilgan y=F(x) funksiya sining F′(x)=f(x) hosilasini topish masalasi bilan shug‘ullangan edik. Ammo bir qator savollarga javob izlashda teskari, ya’ni y=F(x) funksiyani uning ma’lum bo‘lgan F′(x)=f(x) hosilasi bo‘yicha topish masalasiga duch kelamiz.
   

Masalan, moddiy nuqtaning harakat tenglamasi S=S(t) berilgan bo‘lsa, unda t₀ vaqtgacha bosib o‘tilgan masofa S₀=S(t₀) kabi aniqlanadi.Ammo harakat tenglamasi S=S(t) noma’lum bo‘lib, uning hosilasi S′(t)=v(t), ya’ni oniy tezlik berilgan holda S₀=S(t₀) masofani qanday topish masalasi paydo bo‘ladi. Bu kabi masalalar integral tushunchasiga olib keladi va uni o‘rganishga kirishamiz.

1-TA’RIF: Biror chekli yoki cheksiz (a,b) oraliqdagi har bir x nuqtada differensiallanuvchi va hosilasi

F′(х)=f(х) (1)

shartni qanoatlantiruvchi F(x) berilgan f(x) funksiya uchun boshlang‘ich funksiya deyiladi.

Masalan, f(x)=a^x (a>0, a≠1), xÎ(–∞, ∞), funksiya uchun F(x)= a^x/lna boshlang‘ich funksiya bo‘ladi, chunki ixtiyoriy x uchun

F′(x)= (a^x/lna)′= a^xlna /lna=a^x=f(х)

tеnglik o‘rinlidir.

Xuddi shunday F(x)=x⁵/5 funksiya barcha x nuqtalarda f(x)=x⁴ uchun boshlang‘ich funksiya bo‘ladi, chunki bunda (1) tenglik bajariladi.

Berilgan y=F(x) funksiyaning y′=F′(x)=f(x) hosilasi bir qiymatli aniqlanadi. Masalan, y=x² funksiya yagona y′=2x hosilaga ega. Ammo y=f(x) funksiyaning boshlang‘ich F(x) funksiyasini topish masalasi bir qiymatli hal qilinmaydi. Haqiqatan ham, agar F(x) funksiya f(x) uchun boshlang‘ich funksiya bo‘lsa, u holda ixtiyoriy C o‘zgarmas son uchun F(x)+C funksiya ham f(x) uchun boshlang‘ich funksiya bo‘ladi. Haqiqatan ham, differensiallash qoidalariga asosan,

(F(x)+С)′= F′(x)+(С)′=f (х)+0= f (х)

va, ta’rifga asosan, F(x)+C funksiya f(x) uchun boshlang‘ich funksiya bo‘ladi.

Masalan, f(x)=2x uchun ixtiyoriy C o‘zgarmasda x²+C boshlang‘ich funksiyalar bo‘ladi.

Integral–har xil jarayon va hodisalarning

hajmdor quyilmasi bo‘lib, bu mo‘jizani yaratgan

Leybnits va Nyuton ijodiy fantaziyasining

aqlga sig‘maydigan portlashining mevasidir.

Feynberg E.L.