N. P. Rasulov, I. I. Safarov, R. T. Muxitdinov

§1. BOSHLANG‘ICH FUNKSIYA VA ANIQMAS INTEGRAL. INTЕGRALLAR JADVALI

• 
  Boshlang‘ich funksiya va aniqmas integral.
  
• 
  Aniqmas integral xossalari.
  
• 
  Integrallar jadvali.
  

5. 
   Boshlang‘ich funksiya va aniqmas integral. Differensial hisob bobida berilgan y=F(x) funksiya sining F′(x)=f(x) hosilasini topish masalasi bilan shug‘ullangan edik. Ammo bir qator savollarga javob izlashda teskari, ya’ni y=F(x) funksiyani uning ma’lum bo‘lgan F′(x)=f(x) hosilasi bo‘yicha topish masalasiga duch kelamiz.
   

Masalan, moddiy nuqtaning harakat tenglamasi S=S(t) berilgan bo‘lsa, unda t₀ vaqtgacha bosib o‘tilgan masofa S₀=S(t₀) kabi aniqlanadi.Ammo harakat tenglamasi S=S(t) noma’lum bo‘lib, uning hosilasi S′(t)=v(t), ya’ni oniy tezlik berilgan holda S₀=S(t₀) masofani qanday topish masalasi paydo bo‘ladi. Bu kabi masalalar integral tushunchasiga olib keladi va uni o‘rganishga kirishamiz.

1-TA’RIF: Biror chekli yoki cheksiz (a,b) oraliqdagi har bir x nuqtada differensiallanuvchi va hosilasi

F′(х)=f(х) (1)

shartni qanoatlantiruvchi F(x) berilgan f(x) funksiya uchun boshlang‘ich funksiya deyiladi.

Masalan, f(x)=a^x (a>0, a≠1), xÎ(–∞, ∞), funksiya uchun F(x)= a^x/lna boshlang‘ich funksiya bo‘ladi, chunki ixtiyoriy x uchun

F′(x)= (a^x/lna)′= a^xlna /lna=a^x=f(х)

tеnglik o‘rinlidir.

Xuddi shunday F(x)=x⁵/5 funksiya barcha x nuqtalarda f(x)=x⁴ uchun boshlang‘ich funksiya bo‘ladi, chunki bunda (1) tenglik bajariladi.

Berilgan y=F(x) funksiyaning y′=F′(x)=f(x) hosilasi bir qiymatli aniqlanadi. Masalan, y=x² funksiya yagona y′=2x hosilaga ega. Ammo y=f(x) funksiyaning boshlang‘ich F(x) funksiyasini topish masalasi bir qiymatli hal qilinmaydi. Haqiqatan ham, agar F(x) funksiya f(x) uchun boshlang‘ich funksiya bo‘lsa, u holda ixtiyoriy C o‘zgarmas son uchun F(x)+C funksiya ham f(x) uchun boshlang‘ich funksiya bo‘ladi. Haqiqatan ham, differensiallash qoidalariga asosan,

(F(x)+С)′= F′(x)+(С)′=f (х)+0= f (х)

va, ta’rifga asosan, F(x)+C funksiya f(x) uchun boshlang‘ich funksiya bo‘ladi.

Masalan, f(x)=2x uchun ixtiyoriy C o‘zgarmasda x²+C boshlang‘ich funksiyalar bo‘ladi.

Demak, berilgan y=f(x) funksiya uchun F(x)+C ko‘rinishdagi cheksiz ko‘p boshlang‘ich funksiya mavjud bo‘ladi. Bunda F(x) birorta boshlang‘ich funksiyani, C esa ixtiyoriy o‘zgarmas sonni ifodalaydi.

Bu yerda berilgan y=f(x) funksiya uchun barcha boshlang‘ich funksiyalarni topish masalasi paydo bo‘ladi. Bu savolga javob berish uchun dastlab ushbu lemmani (yordamchi teoremani) qaraymiz.

LEMMA: Agar y=Q(х) funksiya biror (a,b) oraliqda differensiallanuvchi va bu oraliqning har bir nuqtasida uning hosilasi Q′(x)=0 bo‘lsa, unda bu funksiya (a,b) oraliqda o‘zgarmas, ya’ni Q(x)=C (C - const) bo‘ladi.

Isbot: Qaralayotgan (a,b) oraliqdan ixtiyoriy ikkita x₁ va x₂ (x₁≠x₂) nuqtalarni olamiz. Unda y=Q(х) funksiya olingan [x₁, x₂] kesmada Lagranj teoremasining (VII bob,§3) barcha shartlarini qanoatlantiradi va shu sababli

Q(x₂)–Q(x₁)=Q′(x)(x₂–х₁ ) , x₁x₂ ,

tenglik o‘rinli bo‘ladi. Lemma sharti bo‘yicha (a,b) oraliqning barcha nuqtalarida Q′(x)=0 bo‘lgani uchun x nuqtada ham Q′(x)=0 bo‘ladi. Bu yerdan, oldingi tenglikka asosan, Q(x₂)–Q(x₁)=0, ya’ni Q(x₂)=Q(x₁) tenglikka ega bolamiz. Bu esa Q(x)=C ekanligini ifodalaydi. Lemma isbot bo‘ldi.

Endi quyidagi teoremani qaraymiz.

1-TEOREMA: Agar F(x) vа F(х) berilgan f(х) funksiyaning ixtiyoriy ikkita boshlang‘ich funksiyalari bo‘lsa, u holda biror C o‘zgarmas sonda Ф(х)=F(x)+С tеnglik o‘rinli bo‘ladi.

Isbot: Teorema shartiga asosan F(x) vа F(х) berilgan f(x) funksiyaning boshlang‘ich funksiyalari bo‘lgani uchun F′(x)=f(х) ва Ф′(x)=f (х) tеnglik o‘rinlidir. Bu yerdan Q(x)=F(х)–F(x) funksiyaning hosilasi

Q′(x) = [F(х)–F(x)]′= Ф′(x)–F′(x)=f(х)–f(х)=0

ekanligini ko‘ramiz. Unda, oldingi lemmaga asosan, Q(x)=C natijani olamiz. Demak, Q(x)=F(х)–F(x)=C va haqiqatan ham Ф(х)=F(x)+С tеnglik o‘rinli.

Bu teoremadan ushbu muhim xulosa kelib chiqadi: agar F(x) berilgan f(x) funksiyaning birorta boshlang‘ich funksiyasi bo‘sa, uning barcha boshlang‘ich funksiyalari F(x)+С (C-ixtiyoriy o‘zgarmas son) kabi aniqlanadi. Demak, f(x) funksiyaning barcha boshlang‘ich funksiyalarini topish uchun uning birorta F(x) boshlang‘ich funksiyasini topib, unga C o‘zgarmas sonni qo‘shib qo‘yish kifoyadir. Masalan, f(x)=2x funksiyaning barcha boshlang‘ich funksiyalari x²+C ko‘rinishda bo‘ladi.

2-TA’RIF: Agar F(x) biror (a,b) oraliqda f(x) funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa, unda F(x)+С (С – ixtiyoriy o‘zgarmas son) funksiyalar to‘plami shu oraliqda f(x) funksiyaning aniqmas integrali deyiladi .

Berilgan f(x) funksiyaning aniqmas integrali kabi belgilanadi va, ta’rifga asosan, birorta F(x) boshlang‘ich funksiya bo‘yicha

(2)

tenglik bilan aniqlanadi. Bunda C ixtiyoriy o‘zgarmas son ekanligini yana bir marta eslatib o‘tamiz.

(2) tenglikda - integral belgisi, f(x) integral ostidagi funksiya , f(x)dx integral ostidagi ifoda, x esa integrallash o‘zgaruvchisi deyiladi. Berilgan f(x) funksiyaning aniqmas integralini topish amali bu funksiyani integrallash deb ataladi.

Izoh: Berilgan f(x) uchun qaysi shartda F(x) boshlang‘ich funksiya , demak aniqmas integral, mavjud bo‘lish masalasi kelgusida, §6 da qaraladi.

Yuqorida topilgan boshlang‘ich funksiyalar bo‘yicha quyidagi aniqmas integrallarni yozish mumkin:

, , .

Aniqmas integral ta’rifini ifodalovchi (2) tenglikdan ko‘rinadiki, aniqmas integral y=F(x)+C(C-ixtiyoriy o‘zgarmas son) funksiyalar sinfini ifodalaydi. Shu sababli, geometrik nuqtai-nazardan, aniqmas integral y=F(x) funksiya grafigini OY koordinata o‘qi bo‘ylab parallel ko‘chirishdan (VII bob,§3) hosil bo‘ladigan chiziqlar sinfidan iborat bo‘ladi (69-rasmga qarang).

69-rasm

6.