Namangan davlat universiteti matematik analiz kafedrasi

Teorema__2.2.1. (Dyuamel teoremasi) Agar va funksiyalar oraliqda aniqlangan va tasvir mavjudligining xossalarini qanoatlantirsa , ular o‘ramasining tasviri ko‘paytuvchilar tasvirlarining ko‘paytmasiga teng, ya’ni va tenglikdan
(2.2.16)
tenglik o‘rinli bo‘lishi kelib chiqadi.
Bu yerda, ifoda va funksiyalarning o‘ramasi bo‘lib u quyidagicha aniqlanadi:

Lemma 2.2.1.
a) Agar , bo‘lib, shunday va sonlar mavjud bo‘lsaki, ular uchun funksiya
(2.2.17)
tengsizlikni bajarsa,
(2.2.18)
tenglik o‘rinli bo‘ladi .
b) Agar , , bo‘lib, shunday va sonlar mavjud bo‘lsaki, ular uchun funksiya
(2.2.19)
tengsizlikni bajarsa,
(2.2.20)
(2.2.21)
tenglik o‘rinli bo‘ladi .
Laplas almashtirishi uchun Mittag – Leffler funksiyasi orqali ifodalangan quyidagi ayniyat ham o‘rinlidir:
(2.2.22)
(2.2.23)

2.3-§. Kasr tartibli differensial tenglamalar

Agar tenglamada yerkli o‘zgaruvchi , noma’lum funksiya va uning kasr tartibli hosilalari qatnashsa, bunday tenglamalar kasr tartibli oddiy differensial tenglamalar deyiladi. Oddiy differensial tenglamalar nazariyasiga o‘xshash kasr tartibli oddiy differensial tenglamalar ham chiziqli, bir jinsli va bir jinsli bo‘lmagan o‘zgarmas koeffitsientli va o‘zgaruvchi koeffitsientli turlarga bo‘linadi. Bizga malumki kasr tartibli differensial tenglamalarni ketma –ket yaqinlashish usuli bilan xam Laplas almashtirishi dan foydalanib xam yechish mumkin, biz ikkala usulni xam bayon qilishga xarakat qilamiz.

Masala. Quyidagi
(2.3.1)
kasr tartibli chiziqli differensial tenglamani ketma – ket yaqinlashish usuli bilan va Laplas almashtirishidan foydalanib umumiy yechimini toping.
(2.3.1) tenglamani quyidagi ko‘rinishda yozib olamiz:
.
Hosil bo‘lgan tenglikning har ikki tomoniga teskari operatorni qo‘llaymiz:
.
U holda (1.2.20`) va (1.2.8) formulalarga asosan

tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikda ni bilan almashtirib,

tenglamani hosil qilamiz.
Bu tenglamada quyidagicha belgilash kiritib olamiz

natijada tenglama quyidagicha ko‘rinishga keladi:

(2.3.2)
Bu (2.3.2) tenglama Volterraning ikkinchi tur integral tenglamasi ekanligini anglash qiyin yemas. Bizga integral tenglamalar kursidan malumki bunday integral tenglamalar odatda ketma - ket yaqinlashish usuli bilan yechiladi. Biz ham (2.3.2) integral tenglamani yechish uchun ketma-ket yaqinlashish usulini qo‘llaymiz.
U holda quyidagiga ega bo‘lamiz:
, (2.3.3)
. (2.3.4)
Agar (1.2.8) va (2.3.3) larni e’tiborga olsak, uchun quyidagi



ifodani topamiz. Natijada
(2.3.5)
ni hosil qilamiz.
Shunga o‘xshash (2.3.3) va (2.3.5) larni qo‘llab:



ni hosil qilamiz. (1.2.20) va (1.2.8) formulalarga asosan
(2.3.6)
ifodani olamiz.
Bu jarayonni davom ettirib, uchun quyidagi formulani olamiz:
. (2.3.7)
Bu tenglikda da limitga o‘tib, (2.3.2) 2-tur Volterra integral tenglamasining yechimini oshkor ko‘rinishda topamiz:
,
yoki indeksni bilan almashtirsak,
. (2.3.8)
Agar (1.1.22) ni inobatga olsak , bu (2.3.8) yechimni quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:

. (2.3.9)
Demak (2.3.1) tenglama (2.3.9) ko‘rinishdagi umumiy yechimga ega.
Endi (2.3.1) tenglamani Laplas almashtirishidan foydalanib yechamiz. Ma’lumki, (2.3.1) tenglamaning umumiy yechimini topish uchun avval unga mos bir jinsli differensial tenglamaning yechimi topiladi , chunki u bizga umumiy yechimni topishda kerak bo‘ladi. (2.3.1) tenglamaga mos bir jinsli differensial tenglama quyidagicha ko‘rinishga ega:
(2.3.10)
(2.3.1) tenglamadagi ni nolga teng bo‘lsin deb faraz qilaylik. Unda (2.3.10) tenglama quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:
(2.3.11)
Endi (2.3.11) ning har - bir hadiga Laplas almashtirishini qo‘llaymiz. Qulaylik uchun ning Laplas operatoridagi obrazini deb belgilasak va (1.3.20) hamda (1.3.21) larni inobatga olsak :

tengliklarga ega bo‘lamiz. Bu tengliklarni (2.3.11) ga qo‘yamiz va soddalashtiramiz:


Agar deb belgilash kiritsak va (1.3.23) ni inobatga olsak, ning asli quyidagicha topiladi:
(2.3.12)
Biz yuqorida bo‘lsin deb faraz qilgan edik , agar bo‘lsa, (2.3.12) funksiya quyidagicha ko‘rinishga ega bo‘ladi:
(2.3.13)
Endi (2.3.1) tenglamani bir jinsli bo‘lmagan holda yechimini topamiz;

tenglama yechimini topamiz. Bu tenglikdagi ni nolga teng bo‘lsin deb faraz qilaylik. Unda u quyidagicha ko‘rinishga ega bo‘ladi:
(2.3.14)
Endi (2.3.14) tenglikni har – bir hadi uchun Laplas almashtirishini qo‘llaymiz va qulaylik uchun ning obrazini hamda ning obrazini deb belgilash kiritsak,

tengliklarga ega bo‘lamiz. Bu tengliklarni (2.3.14) ga qo‘yib, so‘ngra soddalashtiramiz:

(2.3.15)
Yuqorida topilgan ni ko‘rinishda yozish mumkin, bu yerda
(2.3.16)
ni aslini biz yuqorida (2.3.13) ko‘rinishida topgan edik . Biz endi ning aslini topamiz. Bizga ma’lumki ning asli Grin funksiyasidan foydalanib quyidagicha topiladi:

Bu yerda - (2.3.1) tenglamaning Grin funksiyasi bo‘lib Laplas operatori orqali quyidagicha topiladi:

Agar deb belgilash kiritsak va (1.3.23) ni inobatga olsak, ni quyidagicha ko‘rinishda topamiz:

Natijada ni quyidagicha ko‘rinishiga ega bo‘lamiz:
(2.3.17)
Biz yuqorida bo‘lsin deb faraz qilgan edik , agar bo‘lsa, (2.3.17) funksiya quyidagicha ko‘rinishga ega bo‘ladi:
(2.3.18)
Biz yuqoridagi (2.3.13), (2.3.15), (2.3.16), (2.3.18) tengliklarni inobatga olsak (2.3.1) tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha ko‘rinishda ekanligi kelib chiqadi:

.