Namangan muhandislik texnologiya instituti muhandislik texnologiya fakulteti fizika kafedrasi

2.ABS ning matematik modeli (MM) - differensial tenglama (DT)ning standart shakli.

ABS ning MM qoidaga ko’ra umumiy shaklda quyidagicha tasvirlanadi (ko‘rsatiladi):

bu yerda:

a₀, b₀, … , a_n, b_m – tenglamaning mos o’zgaruvchilar oldidagi doimiy, o’zgarmas koeffitsientlari;
y(t) – chiqish signalining vaqtli funktsiyasi (rostlanadigan kattalik, ABS ning chiqish funktsiyasi);
x(t) – kirish signalining vaqtli funktsiyasi (ABS ning kirish funktsiyasi);
y⁽ⁱ⁾(t) –y(t) funktsiyaning i-nchi hosilasi (i = 1, … , n);
x^(j)(t) –x(t) funktsiyaning j-nchi hosilasi (j = 1, … , m).
Yuqoridagi (1) ifodani, yani ChDT ni ABN da standart shaklda berish qabul qilingan. Buning uchun bu tenglamaning har ikki tomonini ga ko’paytiramiz:

 (2)
 ni qavsdan tashqariga chiqaramiz:


Belgilashlar kiritamiz:



 (1a)
(1 a) ABS ning MM ni, yani ChDT ning standart shakli hisoblamadi. Bu tenglama chiziqli ABS ning kirish va chiqish signallarini bog’lovchi klassik o’zgartiruvchi operator hisoblanadi. Bunda bu tenglamaning o’ng tomonida turgan o’zgaruvchi x kirish ta’siri, chap tomondagi esa – chiqish signalining kattaligi y hisoblanadi (2-rasm).

2-rasm.

3.Chiziqli differensial tenglamalar (ChDT) ni yechish usullari

Umumiy holda chiziqli bir jinsli bo’lmagan differensial tenglama (ChBJBDT) ushbu ko’rinishda yoziladi (1) :

Differensial tenglamalar nazariyasidan ma’lumki, (1) ni integrallash, yani y(t) ni berilgan x(t) da aniqlash bir jinsli (o’ng tomonisiz) DT ning umumiy integralini va bir jinsli bo’lmagan (o’ng tomonili) DT xususiy yechimlarini topishga keltiriladi. Bunda bir jinsli bo’lmagan DT ning umumiy yechimi ushbu ko’rinishda yoziladi:

 ,
bu yerda  – bir jinsli DT ning umumiy yechimi, u sistemaning erkin harakatini (tashqi ta’sirlarsiz) tavsiflaydi;
 – bir jinsli bo’lmagan DT ning xususiy yechimi, u sistemaning x(t) kirish ta’siri ostidagi majburiy harakatini tavsiflaydi.
Bir jinsli DT ning yechimi odatda eksponenta ko’rinishda izlanadi:
 , (3)
bu yerda p – topilishi kerak bo’lgan kattalik; C – integrallash doimiysi, u boshlang’ich shartlardan topiladi.
(3) dan hosilalar olib va ularni (1) ga qo’yib, ushbuni olamiz:

 ga qisqartirib:
 (4)

(4) tenglama DT (1) ning xarakteristik tenglamasi deb ataladi, u izlanayotgan n ta p ildizlarga ega, shunga ko’ra (3) tipdagi n ta mustaqil yechimlarga ham ega. Bunda ularning yig’indisi ham bu tenglamaning yechimlari hisoblanadi. Bu holda bir jinsli DT ning umumiy yechimi quyidagicha bo’ladi:

DT ning xususiy yechimi ham odatda o’ng tomoni qanday ko’rinishda izlansa, o’sha ko’rinishda izlanadi, yani sistemaning kirishidagi x(t) funksiyaning ko’rinishiga bog’liq.
Real sistemalarda kirish signali eng ko’p hollarda vaqtning tasodifiy funksiyasi hisoblanadi. Shu sababli turli sistemalardagi o’tish jarayonlarini solishtirish uchun, ularning dinamikasini namunali kirish ta’sirlari (signallari) deb ataladigan signallada qarab chiqiladi. Namunali kirish signallari sifatida ko’p hollarda birlik pog’onali va impulsli funksiyalar qo’llaniladi.