Navoiy innovatsiyalar universiteti

Vektorni bazislar bo’yicha yoyish.
9-ta’rif:. Tekislikdagi bazis deb ikkita kollinear bo’lmagan, ya’ni chiziqli bog’liqsiz _{1, 2} vektorlarga aytiladi.
1-teorema:. Tekislikdagi biror vektorning ₁ va ₂ bazislar orqali yoyilmasi yagona va u quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
10-ta’rif:. Fazodagi bazis deb, undagi xar qanday uchta komplanar bo’lmagan, ya’ni chiziqli bog’liqsiz bo’lgan vektorlarga aytiladi.
2-teorema:. Fazodagi biror vektorning bazislar orqali yoyilmasi yagona va u quyidagi ko’rinishda bo’ladi: =_{1 1}+ _{2 2}+_{3 3} (2)
Endi dekart koordinata sistemasidagi bazis va ular bo’yicha vektorlarni yoyishni ko’raylik. Dekart koordinata sistemasida Ox, Oy, Oz o’qlar yo’nalishida mos ravishda uzunliklari birga teng bo’lgan vektorlarni | |=| |=| |=1 olaylik. Uzunliklari birga teng bo’lgan vektorlarga birlik vektor yoki ort deyiladi. Bu vektorlar o’zaro perpendikulyar bo’lib komplanar bo’lmagani uchun, ya’ni chiziqli bog’liqsiz vektorlar bo’lgani uchun bazislarni tashkil qiladi. Shuning uchun ularga dekart ortogonal bazislar deyiladi.


_{Mustahkamlash uchun savollar}

1. 
   _{Vektor haqida tushuncha.}
   
2. 
   _{Vektorlar ustida chiziqli amallar.}
   
3. 
   _{Vektorlarning chiziqli bog’liqligi.}
   
4. 
   _Bazis
   
5. 
   _{Birlik vektor.}
   
6. 
   _{Vektor moduli.}
   
7. 
   _{Kolinear vektor, komplanar vektor.}
   

_{10.Teng, qarama – qarshi vektorlar.}


Vektorlarni ayirish. va vektorlarning ayirmasi deb, + = shartni qanoatlantiradigan vektorga aytiladi. Bundan - = bo'ladi (12.9- chizma).
Ikkita va vektorning ayirmasini - = +(- ) ko'rinishda ham yozish mumkin.
Ikkita va vektorning ayirmasini topish masalasini geometrik usul bilan yechish uchun ularni umumiy A boshlang'ich nuqtaga keltiramiz: = , = (12.10- chizma). B va D nuqtalardan BC|| AD, DC || AB nurlarni o'tkazamiz, ular С nuqtada kesishadi. Hosil bo'lgan ABCD to'rtburchak parallelogrammdan iborat. Ikkita vektorni qo'shish va ayirish qoidalariga asosan, parallelogrammning diagonallarida AC = + va - vektorlar yotadi.
3.Vektorni songa ko'paytirish. Berilgan b vektorning berilgan т songa ko 'paytmasi deb:
1.Moduli bo'lgan; 2.т>0 bo'lganda va т < 0 bo'lganda shartlarni qanoatlantiruvchi vektorga aytiladi va u = · kabi yoziladi.
Ta'rifdan, agar bitta vektor boshqasini biror songa ko'paytirish natijasida hosil qilingan bo'lsa, bu vektorlarning parallel bo'lishi kelib chiqadi. O'zaro parallel vektorlar kollinear deb ham ataladi.
Shunday qilib, agar va vektorlar kollinear bo'lsa = · (bunda — biror son) kabi yozish mumkin.
Vektorning songa ko'paytmasi quyidagi xossalarga ega.
1. Guruhlash qonuni: x(y ) = (xy) .
2. Sonlarning yig'indisiga nisbatan taqsimot qonuni: (x+y) =x +y .
3.Vektorlarning yig'indisiga nisbatan taqsimot qonuni:x( + )= x +x .

12.10-chizma Bu xossalardan ikkinchisini isbotlaymiz. Agar x = 0, у = 0, = shartlardan birortasi bajarilsa, (*) formulaning o'rinliligi ravshan. Shu sababli x ≠ 0, у ≠0, а ≠ 0 deb faraz qilamiz.

Dastlab, x va у bir xil ishorali bo'lgan holni qaraymiz. U . holda , va (x+ y) vektorlar yo'nalishdosh bo'ladi. Ularning uzunliklari

bo'ladi. Shunday qilib, x va у lar bir xil ishorali bo'lganda (*) tenglik isbotlandi.

Endi x va у lar har xil ishorali bo'lsin. Agar x + у=0, ya'ni x = -y bo'lsa,
(x + y)d = 6 va xd + yd = 6 bo'ladi va (*) tenglik o'rinli.
x + у * 0 bo'lsin. U holda x + у yig'indi -x yoki -y son bilan bir xil ishorali bo'ladi. x + у ning ishorasi -x ning ishorasi bilan bir xil bo'lsin. Unda
(x + y) = (x + y) - x + x tenglikni yozish mumkin. Modomiki, x + y va -x bir xil ishorali ekan, yuqorida bayon qilinganiga ko'ra (х+у) -х =(х+у- х)а=y deb yozish mumkin. Undan, talab qilingan, (x+y) =x +y tenglikni hosil qilamiz. х + у ning ishorasi -y ning, ishorasi bilan bir xil bo'lgan holda ham tenglik shunga o'xshash isbotlanadi.
Qolgan xossalarni ham shunga o'xshash isbotlash mumkin.
Vektorning o'qqa proyeksiyasi
x o'q berilgan bo'lsin. Bu o'qdagi ixtiyoriy 0 nuqtada birlik (ya'ni uzunligi =1 bo'lgan) vektorni yasaymiz. Shuningdek, = vektor ham berilgan bo'lsin (12.11-chizma). vektorning A va В ohirlaridan x o'qqa AA1va BB1 perpendikularlar o'tkazamiz. U holda va vektorlar bitta to'g'ri chiziqda yotadi. Ikkita vektorning parallellik shartlari bo'yicha,
= | |·

1-ta'rif. Ushbu | |= ax son = vektorning x o'qqa proyeksiyasi deyiladi.
a vektorning o'qqa proyeksiyasi kesmaning, ↑↑ bo'lganda musbat ishora bilan olingan, ↑↓ bo'lganda esa manfiy ishora bilan olingan uzunligidan iborat.
Agar vektorning uzunligi va uning berilgan o'q bilan tashkil etgan burchagi ma'lum bo'lsa, vektorning o'qqa proyeksiyasini topish mumkin.
1-teorema. Vektorning o'qqa proyeksiyasi vektor uzunligining vektor va o'q orasidagi burchak kosinusiga ko'paytmasiga teng.
Isboti. Berilgan vektorning o'q bilan tashkil etgan burchagi o'tkir, o'tmas va to'g'ri burchak bo'lgan hollarning har birini alohida qarab chiqamiz.

12.11- chizma

1). va vektor x o'q bilan o'tkir burchak tashkil etgan bo'lsin (12.12- a chizma).
A nuqtadan x o'qqa parallel AC to'g'ri chiziq o'tkazamiz va to'g'ri burchakli ABC ni hosil qilamiz. Olingan ΔABC dan AC=A1B1=| |cos =| |·cos munosabatni olamiz.
2). = vektor x o'q bilan o'tmas burchak tashkil etsin (12.12-b chizma). U holda to'g'ri burchakli ΔАВС da BAC = 180°- bo'ladi va АС = A1B1= - |AB|· cos (180°- ) = | |·cos munosabatni olamiz.
Teorema to'liq isbotlandi.
Vektorning o'qqa proyeksiyasi quyidagi xossalarga ega: