O. O. Hoshimov, M. M. Tulyaganov kompyuterli va raqamli texnologiyalar

2w, ₇ I— 63
1^лА=т1 70
_+t(e -*_A, 98

* = 1
ega bo‘lamiz.
Det [*,*"'J*0 (Vandermond aniqlovchisi), demak, bundan (25)
tizim yagona yechimga ega.
Quyidagi ko‘rinishda yozilgan interpolyatsiya ko‘phadi:
g_n « = к (x) = £ fix, )Пт7^ (26)
/=1 j*i X, Xj
Lagranj interpolyatsiya polinomi deyiladi.
n
^a>„(^x) = ^(^x-^x_J) belgilashlami kiritamiz. U holda:
>i
м=X П (* - ^xj y&n (^xi)=П (^x, - ^xi)
£=1 j*k j*i
Demak, (26) ni quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:
Lagranj interpolyatsiya polinomi qoldiq hadini baholash

^x) = /(*) -g„(^x)~^K(0n (^x)
deb olamiz.
К ni
shartdan tanlaymiz, bu yerda x* - xatolikni baholovchi nuqta. Unda:
f(^x*)-g„(^x*)
K = -
«„(**)
К ni bunday tanlashda
x_l,x₂,...,x_n,x* nolga aylanadi. Roll teoremasiga ko‘ra uning hosilasi q> (x) bo‘lmaganda bitta nuqtada nolga aylanadi: \y_x,y₂\\y_x=min{x_x,x₂,...,x_n,x*y, у_г=т&х(х_х,х₂,...,х_п,х*). (P⁽ⁿ⁾(x) = f^{n)(x) — nK, bo‘lgani uchun
^M{£,) = 0, bundan K= f⁽ⁿ⁾(%)/n\
«.[*•*]- ₍₂₈₎
n\
(26) Lagranj interpolyatsiya formulasining qoldiq hadi.
Eytken hisoblash sxemasi. Eytken sxemasi (24) polinom a_:, / = 1, n,
koeffitsientlarini (26) hisobga olib, hisoblashni ikkinchi darajali funksional aniqlovchilarga keltirishga yordam beradi.
Belgilashlar kiritamiz:




,i = \,n-\\ (28)




F
va h.k.
(30)
U holda P_x,₂,...,_n(x), funksional aniqlovchini hisoblab, (26) ni (24) ko‘rinishida hosil qilamiz, ya’ni а,,а₂,...,<з„ koeffltsientlaming qiyma­tini hisoblaymiz.
Ayniqsa, fiksirlangan £ e[x,.,x_(+l] nuqtalarda Lagranj polinomini
hisoblashda bu sxema katta iqtisod beradi.
(28) aniqlovchilarni hisoblash uchun quyidagiga ega bo‘lamiz:
^pu+1 W ^{= a}u^{+ a}2.i^x’ i = 1’" -1 , (³¹)
Г, = 1 /(*_i+, - x,); a_u = r (x_My_t - x_ty_M); a_2i = r, (y_M - y._t),
b_kJ,k = 1,3 koeffitsientlarni quyidagi formulalar orqali hisoblaymiz:
^r, =¹ - ^x,~\); К = n (^au^xi+i - ^ei._i+i^xi);
^2,i ^{= r}i(^a2,i-l^Xi+l ~^a2,i^Xi-I ^{+ a}2,i+l ^— °l,i+l)>
К,=^гЛа₂- «2./-1); (32)
^-U.U W = + *2./^ + ^йз,,* ; ' = 2, П -1.
^akj ⁼ bk,i> к = 1,3 qayta belgilab, (32) ko'rinishdagi formuladan umumiy ko‘rinishdagi (30) polinom koeffitsientlarini hisoblash mum­kin:

(33)
r, = 1 /(x,._+t+1 - x_f); = r, {a_ux_i+M - a, ,._+Ix,.);
^bj+H = ^ri(^ai+u^xn

x-2	4	1 1	x-5	3,5
	3,5	^= /,45(^JC)=7 0 1	x - 6
x-5				6

P„W = t

Ы^х) = -

x +1 4x +1 x — 2 l,5x + l

= ^(6 + 19x-5x²);
^Aj+\.i^Ai+k*\ ^aj*\.i+\^Xi ^aj,i ^{+ a}j+\,i+\ )>
к = 1, n - 2; i = 1 ,k +1; j = \,n-k-\.
Misol:

^XI	-1	0	2	5	6
У1	-3	1	4	3,5	6

1	x+1 -3	1	x 1
№) = y	x 1	= l + 4x; P2}(x) = -	x-2 4	= 1 + l,5x;

-9 + 2,5x;

= i(6 + 13x-2x²);
= — (66 - 29x + 4x²); 6
x 1,5л: +1 x-5 1/6 (26-x)
x-2 1/6(26 — jc)
X —6 2,5x-9

^.2.3.4 М ^— '

х + 1 1/6(6 + \9х-5х²) х —5 1/6(6 +13х-2х²)

= — (12 + 36х-11х²+х³); 12

х 1/6(6 + 13х-2х²) х — 6 1/6(66-29х + 4х²)
= — (6 + 23х-9х² + х³);
6

х + 1 1/12 (12 + 36х — 11х² +х³) х-6 1/6(6+ 23х-9х² +х³) ' Shunday qilib:
4 (*) = ^1.2.3,4.5 W = 1 + 3,119х - 0,881х² + 0,0119х³ (1 + х). Hisoblashlarni tekshirish uchun topamiz:
L«(0) = 1; L₄(2) = 4; L₄(3) = 3,5.