Oliy va 0 ‘rta maxsus ta’lim vazirligi muqimiy nomidagi qo‘qon davlat pedagogika instituti yman” qdpi rektori anov Ш

DAVLAT ATTESTASIYASINI TASHKIL  QILUVCHI 

FANLAR MAZMUNI

“Algebra va sonlar nazariyasi” va “Geometriya” fanlarining  mazmuni

Mantiq  amallari:  diz’yunksiya,  kon’yunksiya,  inkor,  implikatsiya,  ekvivalensiya;  aynan 

rost,  aynan  yolg’on,  bajariluvchi,  teng  kuchli  formulalar; 

1,2,3  o ’rinli  predikatlar, 

predikatlarning  qiymatlar va rostlik  sohalari, kvantorlar yordamida predikatlardan mulohazalar 

hosil qilish.

To’plamlar  birlashmasi,  kesishmasi,  ayirmasi,  simmetrik  ayirmasi;  Dekart  ko ’paytma, 

refleksiv,  simmetrik,  tranzitiv  munosabatlar;  funksiyalar  kompozitsiyasi;  ekvivalentlik,  tartib 

munosabatlari.

Binar  algebraik  amallarning  xossalari,  neytral,  simmetrik  elementlar,  kongruensiya; 

algebra, 

algebralar 

gomomorfizmi, 

algebraosti, 

faktor-algebra; 

gruppa, 

gruppalar 

gomomorfizmi;  halqa,  halqalar  gomomorfizmi;  butunlik  sohasi,  jism,  maydon,  maydonlar 

gomomorfizmi.

Matematik  induksiya  prinsipi;  butun  sonlar  halqasi;  ratsional  sonlar  maydoni;  haqiqiy 

sonlar maydoni;  kompleks  sonlar maydoni;  kompleks  son moduli,  k o ’shmasi;  kompleks  sonni 

trigonometrik  shaklga keltirish;  Muavr formulalari; kompleks  sondan ildiz  chiqarish;  algebraik 

sistemalar gomomorfizmi.

Vektorlar  chekli  sistemalarini  chiziqli  bog’liq,  chiziqli  erkliligi;  vektorlarning  chekli 

sistemalarining  ekvivalentligi; vektorlar chekli sistemasining bazisi va rangi;

Chiziqli  tenglamalar  sistemasining  chiziqli  kombinatsiyasi,  natijasi,  teng  kuchli 

sistemalar;  Kroneker-Kapelli  teoremasi  yordamida  chiziqli  tenglamalar  sistemasini  tahlil 

qilish;  bir  jinsli  chiziqli  tenglamalar  sistemasi  yechimlarining  fundamental  sistemasi; 

nom a’lumlarni ketma-ket yo ’qotish.

Matritsalarni  qo’shish,  skalyarni  matritsaga  k o ’paytirish,  matritsalarni  ko ’paytirish, 

transponirlash;  teskari  matritsani  topish;  n  ta nom a’lumli  n  ta  chiziqli  tenglamalar  sistemasini 

matritsali tenglamaga keltirish va yechish.

O ’rniga  qo’yishlar  gruppasi;  juft-toqligi,  ishorasi;  determinantni  hisoblash;  minorlar  va 

algebraik  to ’ldiruvchilar  yordamida  teskari  matritsani,  matritsa  rangini  topish;  Kramer 

formulalari yordamida chiziqli tenglamalar sistemasini yechish.

Vektorlar  to ’plamining  chiziqli  qobig’i;  fazoostilar  va  ularning  kesishmasi,  yig’indisi, 

to ’g ’ri  yig’indisi;  vektor  fazo  bazisi  va  o ’lchovi;  vektor  fazolar  izomorfizmi;  skalyar 

ko ’paytmali  vektor  fazolar;  vektorlarning  ortogonal  sistemasi;  fazoostining  ortogonal 

to ’ldiruvchisi;  vektor  normasi,  Yevklid  fazosining  ortonormal  bazisi;  Yevklid  fazolar 

izomorfizmi.

Chiziqli  akslantirish  va  chiziqli  operatorlar;  chiziqli  akslantirishlar  ustida  amallar; 

chiziqli  operator  yadrosi  va  aksi  (obrazi);  chiziqli  operator  matritsasi;  x  va  ф(x )  vektorlar 

ustun  koordinatalari  orasidagi  bog’lanish;  vektorning  turli  bazislarga  nisbatan  ustun 

koordinatalari  orasidagi bog’lanish; teskarilanuvchi  chiziqli operatorlar;  chiziqli  operatorlar va 

matritsalar  chiziqli  algebralari  orasida  izomorfizm;  chiziqli  operatorning  xos  vektorlari va xos 

qiymatlari.

Chiziqli  tengsizliklar  sistemasini  yechish  usullari;  teng  kuchli  tengsizliklar  sistemasi; 

qavariq konus;  chiziqli tengsizliklar sistemasining natijasi.

Butun  sonning  tub  k o ’paytuvchilarga  yoyilmasi;  qoldiqli  bo ’lish;  natural  son  natural 

b o ’luvchilarining  soni  va  yig’indisi;  Yevklid  algoritmi;  eng  katta  umumiy  bo ’luvchi  va  eng 

kichik umumiy b o ’linuvchini 2 usul bilan topish; chekli zanjir kasrlar, munosib kasrlar.

Chegirmalarning  to ’la  va  keltirilgan  sistemalari;  berilgan  sonning  Eyler  funksiyasi; 

birinchi  darajali  taqqoslamalarni  yechish  usullari;  tub  modul  bo ’yicha  yuqori  darajali

2

---

taqqoslamalar  va  ularni  soddalashtirish;  berilgan  sonning  ko ’rsatkichini  topish;  tub  modul 

bo ’yicha  boshlang’ich  ildizlar;  tub  modul  b o ’yicha  indekslar,  ularning  tatbiqlari;  ikki  hadli 

taqqoslamalarni yechish.

K o’phad  darajasini  aniqlash;  k o ’phadlar ustida  amallar;  ko ’phadni x-c  ikkihadga bo ’lish; 

k o ’phadni  qoldiqli  bo ’lish;  Gorner  sxemasi;  k o ’phadni  keltirilmaydigan  k o ’phadlar 

k o ’paytmasiga  yoyish;  karrali  ildizlarni  aniqlash;  ko ’phadlar  eng  katta  umumiy  b o ’luvchi  va 

eng kichik umumiy b o ’linuvchisini topish;  Yevklid  algoritmi;  ko ’phadni x-c ikkihad  darajalari 

b o ’yicha yoyish.

Viyet  formulasi  yordamida  tenglamalarni  yechish;  haqiqiy  sonlar  maydoni  ustida 

keltirilmaydigan  ko ’phadlar;  uchinchi  darajali  tenglamalarni  yechish;  haqiqiy  koeffitsientli 

k o ’phad mavhum ildizining qo’shmaligi;  Shturm ko ’phadlar sistemasi.

K o’phadning  butun  va  ratsional  ildizlarini  topish;  Eyzenshteynning  keltirilmaslik 

kriteriyasi;  maydonning  oddiy  kengaytmasini  qurish;  algebraik  elementning  minimal 

k o ’phadini  aniqlash;  maydonning  oddiy  algebraik  kengaytmasini  qurish;  maydonning  chekli 

va murakkab kengaytmalari; uchinchi darajali tenglamalarning kvadrat radikallarda yechilishi.

Halqaning  karali  kengaytmasini  qurish. 

K o’phadlar  halqalarining  izomorfizmi. 

K o’phadning  normal  ifodasi.  K o’phad  darajasi  va  uning  xossalari.  K o’p  o ’zgaruvchili 

k o ’phadlarni keltirilmaydigan ko ’phadlar ko ’paytmasiga yoyish.

Berilgan ko ’p  o ’zgaruvchili ko ’phadni  simmetrik ko ’phadga aylantirish.

Simmetrik k o ’phadni elementar simmetrik ko ’phadlar yordamida ifodalash.

Ikki  ko ’phad  rezultanti.  K o’phad  rezultanti.  Yuqori  darajali  tenglamalar  sistemasini 

rezultant yordamida yechish.

Mulohazalar  ustida  mantiq  amallari.  Formula  turini  aniqlash.  Formulaning  rostlik 

qiymati.  Formulalarning  teng  kuchliligini  isbotlash.  Ikki  qiymatli  funksiyalarni  mulohazalar 

algebrasining  formulalari  orqali  ifodalash.  Normal  forma,  mukammal  diz’yunktiv  normal 

forma  (MDNF)  va  mukammal  kon’yunktiv  normal  forma  (MKNF)ni  hosil  qilish.  Ikkilik 

prinsipi va ikkilik  qonuni yordamida qo’shma formulalarni hosil  qilish.  Funksiyalarning  to ’liq 

sistemasi.

Aksiomalar  va  keltirib 

chiqarish  qoidalari  yordamida  formulalarning  keltirib 

chiqariluvchiligini  isbotlash.  Gipotezalardan  keltirib  chiqarish.  Deduksiya  teoremasini 

qo’llash.  Formulalarda teng kuchli almashtirishlar bajarish.  Teng kuchli formulalarni isbotlash. 

Formulani normal formaga keltirish.

Predikatning  rostlik  sohasi.  Matematik  tasdiqlarni  predikatlar  algebrasining  tilida 

ifodalash.  Predikatli formulalarning teng kuchliligini isbotlash.  Keltirilgan formani hosil qilish. 

Predikatlar algebrasining formulasini umumqiymatli, bajariluvchiligini aniqlash.

Aksiomalardan  keltirib  chiqarish  qoidalari.  Predikatlar  hisobi  uchun  hosilaviy  keltirib 

chiqarish  qoidalari.  B a’zi  tavtologiyalarning  isboti.  Algoritmga  misollar.  Algoritmning 

xossalarini  tekshirish.  Qismiy  rekursiv  funksiyalar.  Qismiy  rekursiv  funksiyalarni  Tyuring 

mashinalarida hisoblash.  Umumrekursiv funksiyalar.

Algebra,  algebraik  sistema  kengaytmasini  qurish.  Berilgan  algebra,  algebraik  sistemalar 

orasida  gomomorfizm  va  izomorfizm  o ’rnatish.  Natural  sonlar  aksiomatik  nazariyasi 

aksiomalari  yordamida  natural  sonlarni  qo’shish  va  ko ’paytirishning  xossalarini  isbotlash. 

Butun  sonlar,  ratsional  sonlar,  haqiqiy,  kompleks  sonlar  xossalarini  isbotlash.  Chekli  rangli 

chiziqli  algebralarga  doir  misollar  tuzish.  Kvaternionlar  to ’plamining  chiziqli  algebra  tashkil 

etishini isbotlash.

Vektorlar  va  ular  ustidagi  amallar,  vektorlarning  chiziqli  boqliqligi. 

Tekislikdagi

koordinata metodi.  Tekislikdagi to ’g ’ri chiziq.

To’g ’ri  chiziqning  turli  berilish  usullari.  Tekislikning  almashtirishlari.  Tekislikdagi 

xarakatlar.  O ’xshash  almashtirishlar.  Gomotetiya.  Tekislikdagi  affin  almashtirishlar.  Ikkinchi 

tartibli chiziqlar.  Ellips,  giperbola, parabolani kanonik tenglamasi yordamida taqlil qilish.

3

---

Fazodagi  koordinatalar  metodi.  Fazoda  tekislik  va  to ’g ’ri  chiziqlaming  berilish  usullari. 

Ikkinchi tartibli  sirtlarni kanonik tenglamalari  bo ’yicha  o ’rganish.  Ikkinchi tartibli  silindrik  va 

konus  sirtlar,  aylanma sirtlarda kesimlar yasash.

Ellipsoid,  giperboloidlar,  paraboloidlar.  Ikkinchi  tartibli  sirtlarning  to ’g ’ri  chiziqli 

yasovchilari.  Sirkul  va  chizg’ich  yordamida  yasash  postulatlari.  Yasashga  doir  masalalarni 

yechishdagi bosqichlar.  Tekislikdagi geometrik yasashlarni turli metodlari.

n-o’lchovli  vektor  fazo.  n-o’lchovli  affin  fazo.  n-o’lchovli  affin  fazolarning  izomorfligi. 

k-o’lchovli  tekisliklar va ularning  o ’zaro  vaziyati.  Affin  almashtirishlar.  Affin  almashtirishlar 

gruppasi  va  uning  qism  gruppalari.  n-o’lchovli  Yevklid  fazosi.  En  fazoda  o ’xshash 

almashtirishlar  va  uning  gruppasi.  En  fazoda  o ’xshash  almashtirishlar  va  uning  gruppasi.  En 

fazoda  harakatlar.  Chiziqli  va  kvadratik  formalar.  Kvadratik  formani  kanonik  ko ’rinishga 

keltirish.  Normal  k o ’rinishdagi  kvadratik  forma.  Musbat  aniqlangan  kvadratik  forma.  Affin 

fazosidagi  kvadrikalar.  Kvadrika  tenglamasini  kanonik  ko ’rinishga  keltirish.  Kvadrikaning 

markazi va tasnifi.  Uch o ’lchovli Yevklid fazosidagi kvadrikalar tasnifini.

Sirkul  va  chizg'ich  yordamida  yasashga  doir  eng  sodda  masalalar.  Yasashga  doir 

masalalarni  echish bosqichlari.  Tekislikdagi geometrik yasashlarning turli metodlari.  Yasashga 

doir  masalalrni  yechishdagi  algebraik  metod.  Yasashga  doir  masalalarni  sirkul  va  chizg'ich 

yordamida yechish kriteriysi.  Sirkul va chizg'ich yordamida yechilmaydigan klassik masalalar.

Markaziy,  parallel  proeksiyalash va ularning  xossalari.  Parallel  proeksiyalash usuli  bilan 

yassi  figuralarning  tasvirini  yasash.  Aksonometriya.  Polke-Shvarts  teoremasi.  Fazoviy 

figuralarning tasvirini yasash.  Pozitsion va metrik masalalar.  T o l a  va t o l a  bo'lm agan tasvirlar 

va ularni  stereometriyani  o'rganishga  tatbiqlari.  Qavariq ko'pyoqlarning  kesimlarini  yasashga 

doir  masalalar.  Proektiv  fazo.  Proektiv  geometriyaning  asosiy  faktlari.  Proektiv  tekislik. 

Proektiv  fazo  aksiomalari.  Proektiv  fazo  modellari.  Proektiv  koordinatalar.  Ikkilik  prinsipi. 

Dezarg  teoremasi.  Bir  to 'g 'ri  chiziqda  yotuvchi  to'rtta  nuqtaning  murakkab  nisbati.  Proektiv 

almashtirishlar  va  ularning  gruppasi.  Proektiv  geometriya  predmeti.  Nuqtalarning  garmonik 

to'rtligi.  To'liq  to 'rt  uchlikning  garmonik  xossalari.  Qutb  va  qutb  to 'g 'ri  chizig'i.  Proektiv 

tekislikdagi  ikkinchi  tartibli  chiziqlar  va  ularning  klassifikatsiyasi.  Shteyner,  Paskal  va 

Brianshon  teoremalari  va  ularni  maktab  geometriya  kursidagi  masalalarni  echishga  tadbig'i. 

Geometriya  asoslari.  Geometriya  asoslarining  tarixiy  sharhi.  Evklidga  qadar  bo'lgan 

geometriya.  Evklidning  “negizlar”  asari.  Evklidning  v  pastuloti  va  uni  isbotlashga  urinishlar. 

N.  I.  Lobachevskiy  va  uning  geometriyasi.  Gilbert  aksiomalar  sistemasi  sharhi.  Gilbert 

aksiomalaridan  kelib  chiqadigan  b a’zi  natijalar.  Tekislikdagi  Lobachevskiy  aksiomalar 

sistemasi  va  undan  kelib  chiqadigan  natijalar.  Parallel  to 'g 'ri  chiziqlar  va  ularning  xossalari. 

Uchburchak,  to'rtburchak.  Uzoqlashuvchi  to 'g 'ri  chiziqlar  va  ularning  xossalari.  Parallellik 

burchagi.  Lobechevskiy  funksiyasi.  Aylana,  ekvidistanta  va  orisikl.  Aksiomalar  sistemasini 

izohlash  haqida  (interpretatsiyalash).  Gilbert  aksiomalar  sistemasiga  beriladigan  analitik 

interpretatsiya.  Uch  o'lchovli  Evklid  fazosining  Veyl  aksiomalar 

sistemasi.  Aksiomalar 

sistemasining  zidsizligi,  erkinligi  va  to'liqligi.  Kesma  uzunligi.  Mavjudlik  va  yagonalik 

teoremasi.  Tengdosh  va  teng  tuzilgan  ko'pburchaklar  haqida.  Ko'pyoqning  hajmi  haqida. 

Lobachevskiy tekisligining  turli  modellari.  Parallellik  aksiomasining  Evklid  geometriyasidagi 

qolgan aksiomalarga bog'liq  emasligi.  Sferik  geometriya va Rimanning  elliptik  geometriyalari 

haqida  tushuncha.  Riman  geometriyasining  aksiomalar  sistemasi.  Topologik  fazo  va  uni 

kiritish  usullari.  Ochiq  va  yopiq  to'plamlar.  Ichki,  chegaraviy  va  urinish  nuqtalari. 

To'plamning  yopig’i.  Ajrimlilik  aksiomalari.  Topologiya  bazasi.  Bog’lanishli  va  chiziqli 

bog’lanishli  to'plamlar.  Kompakt  to'plamlar.  Uzluksiz  akslantirishlar  va  gomeomorfizm. 

Skalyar  argumentli  vektor  funksiyalar.  Egri  chiziqning  berilish  usullari.  Regulyar  chiziqlar. 

Urinma  va  normal  tekislik.  Egri  chiziq  uzunligi.  Egri  chiziqning  egriligi  va  buralishi.  Frene 

formulalari.  Ikki  skalyar  argumentli  vektor  funksiyalar.  Silliq  sirt  haqida  tushuncha.  Sirtning 

birinchi  kvadratik  formasi.  Sirt  ustidagi  chiziqning  uzunligi.  Sirt  ustidagi  chiziqlar  orasidagi 

burchak.  Sirt  ustidagi  sohaning  yuzasi.  Sirt  ustidagi  chiziqning  egriligi.  Sirtning  ikkinchi

4

---

kvadratik  formasi.  Bosh  egriliklar.  Sirtning  to 'la  va  o'rtacha  egriligi. 

Sirtning  ichki 

geometriyasi.