Oliy va 0 ‘rta maxsus ta’lim vazirligi muqimiy nomidagi qo‘qon davlat pedagogika instituti yman” qdpi rektori anov Ш

Rm  fazo  ta ’rifi,  nuqtaning  atrofi.  Rm  fazodagi  ochiq  va  yopiq  to ’plamlar.  Rm  fazodagi 

nuqtalar ketma-ketligi, Koshi kriteriyasi.  Bolsano -  Veyershtrass teoremasi.

K o’p  o ’zgaruvchining  funksiyasi  haqida  tushuncha.  Ikki  o ’zgaruvchili  funksiyaning 

grafigi.  Sath chiziqlari va sirtlari, m o ’zgaruvchili funksiyaning limiti.  Takroriy limitlar.

K o’p  o ’zgaruvchili  uzluksiz  funksiyalar:  Uzluksizlik  ta ’riflari.  K o’p  o ’zgaruvchili 

funksiyaning  xossalari.  Murakkab  funksiyaning  uzluksizligi.  K o’p  o ’zgaruvchili  funksiyaning 

oraliq  qiymatlari  haqidagi  teoremalar.  Veyershtrass  teoremalari.  Tekis  uzluksizlik  va  Kantor 

teoremasi.

Xususiy  hosilalar.  Yuqori  tartibli  xususiy  hosilalar.  K o’p  o ’zgaruvchili  funksiyaning 

to ’la  differensiali.  Urinma  tekislik.  Ikki  o ’zgaruvchili  funksiya  differensialining  geometrik 

m a’nosi.  Murakkab  funksiyani  differensiallash.  Differensial  formasining  invariantligi.  Yuqori 

tartibli differensiallar.  Ikki o ’zgaruvchili funksiya uchun Teylor formulasi.

Oshkormas  funksiyalar.  Oshkormas  funksiya  mavjudligi  va  differensiallanuvchanligi. 

Y o’nalish b o ’yicha hosila.

K o’p  o ’zgaruvchili  funksiyalarning  ekstremumlari:  Funksiyaning  maksimum  va 

minimumlari. 

Ekstremumning 

zaruriy 

sharti. 

Ikki 

o ’zgaruvchili 

funksiya 

uchun 

ekstremumning  yetarli  sharti.  Eng  katta  va  eng  kichik  qiymatlarini  izlash.  Shartli 

ekstremumlar.

Ikki  o ’lchovli  integral  tushunchasi.  Uzluksiz  funksiyalarning  integrallanuvchanligi. 

Takroriy integrallar.  Ikki o ’lchovli integralni hisoblash.  Ikki  o ’lchovli integralda o ’zgaruvchini 

almashtirish.  Kutb koordinatalarda ikki o ’lchovli integral.  Ikki o ’lchovli integralning tatbiqlari.

Kublanuvchi  figuralar.  Uch  o ’lchovli  integral  tushunchasi.  Uch  o ’lchovli  integralni 

hisoblash.  Uch  o ’lchovli  integralda  o ’zgaruvchilarni  almashtirish.  Silindrik  va  sferik 

koordinatalarda uch o ’lchovli integral.  Uch o ’lchovli integralning tatbiqlari.

Yoy  uzunligi  bo ’yicha  olingan  egri  chiziqli  integral  va  uning  xossalari.  Tekis  kuch 

maydonining  bajargan  ishi  haqidagi  masala.  Koordinatalar  b o ’yicha  olingan  egri  chiziqli 

integral  va  uning  asosiy  xossalari.  Egri  chiziqli  integralni  hisoblash.  Grin  formulasi.  Egri 

chiziqli integral yordamida yuzalarini  hisoblash.  Egri chiziqli integralning  integrallash y o ’liga 

bog’liq  b o ’lmaslik  sharti.  To’la  differensiallilik  sharti.  Funksiyani  uning  to ’la  differensiali 

bo ’yicha tiklash.

Differensial  tenglamaga  olib  keladigan masalalar.  Hosilaga  nisbatan  yechilgan birinchi 

tartibli  differensial tenglamalar:  O ’zgaruvchilari  ajraladigan va unga keltiriladigan  differensial 

tenglamalar.  Bir jinsli  va  unga  keltiriladigan  differensial  tenglamalar.  Chiziqli  tenglamalar, 

Bernulli tenglamasi.  T o’la differensialli tenglama, integrallovchi ko ’paytuvchi.  Birinchi tartibli 

differensial  tenglama  yechimining  mavjudligi  va  yagonaligi  haqidagi  teorema  (isbotsiz). 

Maxsus  nuqtalar  va  maxsus  yechimlar.  Hosilaga  nisbatan  yechilmagan  birinchi  tartibli 

differensial  tenglamalar:  f  ( x, y ')  =  0  va  f  ( y , y ') =  0  ko ’rinishdagi  tenglamalar.  Lagranj  va 

Klero tenglamalari.

Yuqori  tartibli  differensial  tenglamalar.  Asosiy  tushunchalar.  Tartibi  pasayadigan 

differensial  tenglamalar.  n-  tartibli  chiziqli  tenglama.  n-  tartibli  chiziqli  bir  jinsli 

tenglamalarning  yechimlarining  fundamental  sistemasi.  Umumiy  yechim.  O ’ng  tomonli 

chiziqli tenglamalar va ularning umumiy yechimining tuzilishi.

n-tartibli  o ’zgarmas  koeffitsientli  chiziqli  tenglama.  n-tartibli  o ’zgarmas  koeffitsientli 

chiziqli  tenglamalarni  yechish.  Mexanik  tebranishlar  tenglamasi.  Erkin  va  majburiy 

tebranishlar.  Rezonans.  Differensial tenglamalar sistemasi haqida m a’lumotlar.

Kompleks  sonlar  to ’plami.  Kompleks  sonlarning  geometrik  talqini.  Kompleks  sonlar 

ketma-ketligi  va  qatorlar.  Kompleks  sonlar  to ’plami  va  Yevklid  teksligining  izomorfligi. 

Riman sferasi, kengaytirilgan kompleks tekislik.

Kompleks  o ’zgaruvchining  funksiyasi  haqida  tushuncha,  uning  geometrik  talqini. 

Funksiyaning  limiti,  uzluksizligi  va  tekis  uzluksizligi.  Kompleks  o ’zgaruvchili  funksiyaning 

hosilasi.  Differensiallanuvchi bo ’lish  sharti.  Nuqtada va  sohada  analitik  funksiya tushunchasi.

7

---

Analitik  funksiyaning  xossalari.  Hosila moduli va  argumentning  geometrik  m a’nosi.  Konform 

akslantirish tushunchasi.

Chiziqli  va  kasr-chiziqli  funksiyalar.  Darajali  funksiya  va  radikal.  Analitik 

funksiyalarning  bir  varaqli  sohasi.  Riman  sirti  tushunchasi.  Kompleks  o ’zgaruvchili 

k o ’rsatkichli,  trigonometrik,  logarifmik  funksiyalar  va  ularning  xossalari.  Trigonometrik  va 

giperbolik funksiyalar orasidagi bog’liqlik.  Ixtiyoriy kompleks ko ’rsatkichli daraja.

Kompleks  o ’zgaruvchining  funksiyasini  integrali:  Integral  ta ’rifi  va  uning  xossalari. 

Koshi  teoremasi.  K o’p  bog’lamli  soha  uchun  Koshi  teoremasi.  Boshlang’ich  funksiya  va 

integral.  Koshining integral formulasi.

Kompleks  hadli  darajali  qatorlar.  Abel  teoremasi.  Yaqinlashish  doirasi  va  radiusi. 

Darajali  qator  yig’indisining  yaqinlashish  doirasida  analitik  funksiya  ekanligi.  Analitik 

funksiyani  Teylor  qatoriga yoyish.  Koshi  tengsizligi  va  Liuvill  teoremasi.  Algebraning  asosiy 

teoremasi. Analitik funksiyalarning nollari.  Yagonalik teoremasi.

Loran  qatori  haqida  tushuncha.  Loran  teoremasi.  Maxsus  nuqta.  Maxsus  nuqtalar 

klassifikatsiyasi.

Chegirma  tushunchasi.  Chegirmalarni  hisoblash.  Chegirmalar  haqidagi  asosiy teorema. 

Integrallarni hisoblashda chegirmalarni qo’llash.

Ekvivalent  to ’plamlar.  To’plam  quvvati  tushunchasi.  Quvvatlarni  taqqoslash.  Sanoqli 

to ’plamlar  va  ularning  xossalari.  Ratsional  va  algebraik  sonlar  to ’plamlarining  sanoqliligi. 

Haqiqiy  sonlar  to ’plamining  sanoqsizligi.  Kontinuum  quvvatli  to ’plamlar.  To’g ’ri  chiziqdagi 

nuqtalar  to ’plami.  Limit  nuqtalar.  Ochiq  va  yopiq  to ’plamlar.  Mukammal  to ’plam.  Sonlar 

o ’qidagi ochiq va yopiq to ’plamlarning tuzilishi.  Kantor to ’plami va uning xossalari.

Monoton  funksiyaning  uzulish  nuqtalari.  O ’zgarishi  chegaralangan  funksiyalar  va 

ularning xossalari.

Uzluksiz  chiziq  tushunchasi.  Jordan,  Peano  chiziqlari.  Kantor  va  Urison  chiziqlari. 

To’g ’rilanuvchi chiziqlar.

To’plamning  Jordan  o ’lchovi,  uning  xossalari.  Chiziqli  to ’plamlar  uchun  Lebeg 

o ’lchovi.  O ’lchovli  to ’plamlar  haqidagi  teoremalar.  Lebeg  m a’nosida  o ’lchovli  funksiyalar  va 

ularning xossalari.

Riman  integrali.  Lebeg  teoremasi.  Stiltes  integrali.  Lebeg  integrali  va  uning  xossalari. 

Riman va Lebeg integrallarini taqqoslash.

Metrik fazolar.  T o’la metrik fazolar.  T o’ldiruvchi fazo  haqidagi teorema.  Yopiq  sharlar 

haqidagi teorema.  Qisqartib  akslantirish prinsipi.  Qisqartib  akslantirish prinsipining  algebra va 

analizdagi tatbiqlari.

Separabellik  tushunchasi.  Rn,  C[a,b],  li,  I

2

  fazolarning  separabelligi.  Separabel 

bo ’lmagan  fazoga  misol.  Kompaktlik  kriteriysi.  Rn,  C[a,b],  li,  I

2

  fazolarda  to ’plamlarning 

kompaktligi.

Chiziqli fazolar. Normalangan fazo.  Banax fazosi,  Gilbert fazosi.  Chiziqli funksionallar. 

Chiziqli funksionallarning uzluksizligi, xossalari.  Chiziqli  operatorlar.  Chiziqli  operatorlarning 

uzluksizligi, xossalari.

Chiziqli  funksionalning  differensiali,  variatsiyasi.  Differensiallanuvchi  funksionalning 

ekstremumi.  Eyler  tenglamasi.  Braxistoxron  masalasining  yechimi.  Eng  kichik  aylanma  sirt 

haqidagi masala.