Ona davlat universiteti fizika-matematika fakulteti

4. Ildiz chiqarish.

kompleks sonning n-darajali ildizi bo`lsa, ya`ni , , , uchun, ,

(6.4)

Demak, trigonometrik formada berilgan kompleks sondan ildiz chiqarish uchun, moduldan shu darajali ildiz chiqariladi, argumenti esa ildiz ko`rsatkichiga bo`linadi.

Kompleks sonning logarifmi

kompleks son berilgan bo`lsin. , (7.1)

(7.2)

5-misol.

ning logarifmini toping.

Yechish. , ,

, ,
Bu chizmadan ko’rinadiki :

a=rsin ϕ b =rcos ϕ (4)

Bunda r kompleks songa kompleks z sonni tasvirlagan vektorning uzunligini ifodalaydi, uni z sonning moduli, burchakni esa Z ning argumenti deyiladi va u quyidagicha ifodalanadi:

R = z= a+bi= a²+b²arctgz= ϕ(5)

Z ko mos bo'lgan vektorga birgina uzunlik va cheksiz ko'p burchaklar mos keladi: ϕ ϕ +2π....... Shu sababli odatda burchakni umumiy ko'rinishi:

Argz =ϕ+2πk

Burish burchagini kosinusi va sinusi ta'riflaridan ko’rinadiki, z=a+bi kompleks sonni har qanday ϕ argumenti uchun quyidagi munosabatlar o'rinli:

Cos ϕ =a/|z| sin ϕ =b/|z| (6)

Bu tengliklar asosida z=a+bi kompleks sonni

Ko' rinishida yozish mumkun Bunday yozish kompleks sonni tirgonemetrik shaklda tasvirlash deyiladi.

Kompleks son cheksiz ko'p argumentlarga ega bo'lgani uchun uni cheksiz ko'p usullar bilan tirgonemetrik shaklda tasvirlash mumkun. Shu sababli kompleks sonning tirgonemetrik shaklini tayin bir oraliqda yotadigan argument orqali yozish maqsadga muvofiqdir. Biz ana shunday oraliq sifatida [0; 2π] oraliqni olamiz. Bu oraliqda har qanday z (z≠0) kompleks sonni faqat bitta argumenti yotadi.

Z=a+bi kompleks sonining [ 0 ; 2p]

] oraliqda yotadigan argumenti shu sonning bosh argumenti deyiladi va arg( z) bilan belgilanadi. Shunga muvofiq ravishda z=|z|(cos(arg(z)+isin(arg(z)))

ni z kompleks sonning bosh trigonometrik shakli deb ataymiz. Bundan keyin, kompleks sonning argumenti va kompleks sonning trigonometrik shakli deyilganda, mos ravishda kompleks sonning bosh argumenti va trigonometrik shakli nazarda tutiladi.

Endi z=0 soni ustida to'xtalamiz. Bu sonning moduli 0 ga teng, lekin argumenti aniqlanmaydi. Kompleks sonning argumenti haqiqiy son ishorasining tabiiy umumlashmasidir. Haqiqattan ham, musbat haqiqiy sonning argumenti 0 ga teng, manfiy haqiqiy sonni argumenti p ga teng: haqiqiy o'qda kordinatalar boshidan faqat 2 ta yo'nalish chiqadi va ularni ikkita simvol + va - orqali farqlash mumkun, kompleks tekislikda esa 0 nuqtadan chiquvchi yo'nalishlar cheksiz ko'p va ular endi o'zlarining haqiqiy o'qning hosil qilgan burchaklari bilan farq qiladi.

Trigonometrik shaklda berilgan kompleks sonlarni ko’paytirish, bo’lish va darajaga ko'tarish qoidalarini keltirib chiqarish uchun asos bo'ladigan teoremalarni qaraymiz.

1-teorema. Kompleks sonlar ko’paytmasini moduli ko'paytuvchilar modullarining ko'paytmasiga teng. Ko'paytuvchilarning har qanday argumentlari yig'indisi shu kompleks sonlar kopaytmasining biror argumenti bo'ladi.

Isbot. Z=r(cos ϕ+isin ϕ) va w =R(cosa+isina) lar z va w kompleks sonlarning biror trigonometrik shakli bo'lsin. U holda z va w sonlar kopaytmasining ko'phadlarni ko'paytirish qoidasi yordamida topsak,

zw=rR(cos(ϕ+a)+isin(ϕ+a))

hosil bo'ladi. Demak, |zw|=rR= |z||w| va +a

f+a soni zw ning biror argumentidan iborat.

Endi trigonometrik shaklda berilgan sonlarni ko'paytirish darajaga ko'tarish qoidalarini keltirib chiqaramiz.

Trigonometrik shaklda berilgan vakompleks sonlarni:

ko'paytirish uchun zw=rR(cos(ϕ+a)+isin(ϕ+a))

1. 
   
   

tenglikni tuzish va (ϕ+a) ni bosh argument bilan almashtirish;

b) bo'lish uchun (cos(ϕ-a)+isin(ϕ-a))

tenglikni tuzish va ϕ-a ni bosh argumenti bilan almashtirish kerak.

Tirgonemetrik ko'rinishda berilgan kompleks sonlarni ko'paytirish qoidasini zⁿ=z•z•z••••z (n (n ta ko'paytuvchi) ko'paytma uchun ketma-ket tatbiq etib zⁿ ni hisoblash qoidasini hosil qilamiz:

Zⁿ=r(cos ϕ +isin ϕ) ni hisoblash uchun,

zⁿ= rⁿ(cos ϕ +isin ϕ) tenglikni tuzish va n ϕ argumentni bosh argument bilan almashtirish kerak .

Agar z=cos ϕ +isin ϕ bo'lsa darajaga ko'tarish formulasi quyidagi ko'rinishni oladi:

( cos ϕ +isin ϕ )ⁿ=cosn ϕ +isinnϕ ( 7)

Bu Muavr formulasi deyiladi.

Misol: (

Ifodani qiymatini toping.

Yechish: Algebraik shaklda berilgan kompleks sonni darajaga ko'tarish uchun oldin shu kompleks sonni trigonometrik shaklga keltirib olish kerak. Demak, 1+3i va 1-i sonlarini trigonemetrik ko'rinishga keltirib olamiz.

Nihoyat

3.