Ona davlat universiteti fizika-matematika fakulteti

Misol. ning barcha w_k (k=0, 1) qiymatlarini toping.

Yechish:



Mashqlar

a. ni hisoblang, agar:

1)

2)

3)

4) bo`lsa.

b. tenglamaning barcha ildizlari uchun formula yozing.

d. Ikki hadli tenglamalarni yeching:

1) ³+i=0 2) ⁴=i

3) ⁵+1=0 4) ⁴-32=0

II bob. Algebraning asosiy teoremasi

2.1. Kompleks koeffisentli ko'phadlar.

Ushbu
ko'rinishidagi funksiyaga ko’phad va a_0,a₁ a₂….a_n sonlarga ko'phad koeffisentlari deyiladi. Barcha o'zgarmas sonlar ko'phadlardir. Ko'phadlarning ko'paytmasi va yig'indisi yana ko'phaddir. Z o'zgaruvchining barcha ko'phadlaridan iborat to’olamni C [z] orqali belgilanadi. Ko'phadlarni qo'shish va ko'paytirish amaliga nisbatan C [z] to'plam birlik elementli komutativ xalqa hosil qilishi bevosita ko'rsatiladi. Bunda 0 sonidan iborat o'zgarmas funksiya C[z] xalqaning nolidir, 1 sonidan iborat o’zgarmas funksiya bu xalqani birlik elementidir.

O'zgarmas funksiyalarning va f(z)=z funksiyani uzluksizligidan uzluksiz funksiyalarning yig'indisi uzluksizligi haqidagi teoremalarga asosan ixtiyoriy ko'phadning uzluksizligi kelib chiqadi.

Har qanday ko’phadning koeffisentlari bir qiymatli aniqlangan ( ya’ni agar f(z) va g(z) barcha nuqtalarida f(z)=g(z) tenglikni qanoatlantirsa, u holda ularning mos koeffisentlari teng.

Isbot. Agar barcha z nuqtalarda

a₀+ a₁z+a₂z²+……+a_nzⁿ
bo'lsa u holda a₀=a₁=......a_n ekanligini ko'rsatamiz.

Xaqiqatan

da z=0 deb olsak a₀=0 tenglik hosil bo'ladi ya'ni barcha z nuqtalarda a₁z+a₂z²+……+a_nzⁿ

Bundan barcha z0 nuqtalarda a₁+a₂z+…..+a_nz^n-1 =0

tenglik olinadi. Bu tenglik barcha z≠0 tengliklardagina o'rinligi ko'rsatilgani uchun ham z=0 da o'rinli deya olmaymiz. Ammo ko'phadning barcha zlarda uzluksizligidan foydalanib

tenglikda z ni nolga intiltirsak,a₁=0 tenglikni olamiz. Bundan

a₂z+…..+a_nz^n-1 =0

Yana zda a₂+……..+…..+a_nz^n-2

Tenglikni olamiz. Bunda yana z ni nolga intiltirsak a₂=0 tenglikni olamiz.

Natijada a₀=a₁=…….a_n=0 tengliklarni olamiz.

Endi barcha z larda a₁z+a₂z²+……+a_nzⁿ b₀+b₁z+…..b_mz^m

o'rinli bo'lsin deb faraz qilamiz. Bunda m=n deb faraz qilishimiz mumkun ( aks holda tenglikni biror tomonga bir qancha nol koeffisentli hadlarini qo'shamiz). U holda

Bundan yuqoridagi mulohazalarga asosan a₀-b₀=…….a_n-b_n

ekanligi ya'ni a₀=b₀, a₁=b₁ a_n=b_n kelib chiqadi.

Isbotlangan teorema ko'phadlarning ikki xil tenglik munosabatlari orasida bog'lanish o'rnatadi: f (z) va g(z) ko'phadlar barcha z nuqtalarda teng bo'lishi uchun ularni mos koeffisentlari teng bo'lishi zarur va kifoya

Noldan farqli ko'phad berilgan bo'lsin. Ko'phadga noldan farqli koeffisent bilan kirgan z ning eng yuqori darajasiga ko'phadning darajasi deyiladi. Bu koeffisent bosh koeffisent va ko'phadning bunga mos hadi bosh had deyiladi.f(z) ko'phadning z qatnashmaydigan hadi (ya'ni nolinchi darajali hadi) ozod had deyiladi. Ravshanki u f(0) ga teng. Ko'phadlar ko'paytirilganda ularning darajalari qo'shiladi, bosh koeffisentlari esa ko'paytiriladi. Xususan, noldan farqli ko'phadlarni ko'paytmasi yana ko'phad. Demak C[z] xalqada nolning bo'luvchilari mavjud emas. Nolinchi darajali ko'phadlar noldan farqli o'zgarmas sonlardan iborat. Birinchi darajali ko'phadlar chiziqli, ikkinchi darajali ko'phadlar kvadrat, uchinchi darajali ko'phadlar kub ko'phadlar deyiladi. Agar f, g ko'phadlar shunday bo’lsaki, f g=1 bo'lsa, u holda 1 son nolinchi darajali ko'phad bo'lgani uchun f va g ning darajalari ham nolga teng. Demak C[ z] xalqaning teskarilanuvchisini elementlari nolinchi darajali ko'phaddan iborat.

Ko'phadlar kompleks tekislikning har qanday nuqtasida differensiallanuvchi. O'zgarmas sonning hosilasi nol ko'phaddir.

Agar C maydonni F qism to'plami C dagi qo'shish va ko'paytirish amaliga nisbatan maydon hosil qilsa, u sonli maydon deyiladi. Masalan Q, Q (∫2),R sonli maydon, sonli maydonga yana bir misol keltiramiz.

a,b€Q shartlarni qanoatlantiruvchi barcha a+bi kompleks sonlarni Q(i) orqali belgilaymiz. Q(i) ni maydon ekanligi bevosita tekshiriladi.

F sonli maydon bo'lsin. Koeffisentlari F ga tegishli ko'phad F maydon ustidagi ko'phad deyiladi. F maydon ustidagi barcha ko'phadlar to'plamini F[z] orqali belgilaymiz. Ko'phadlarni qo'shish va ko'paytirish amaliga nisbatan F[z] to'plam birlik elementli kommutativ xalqa hosil qilishi bevosita tekshiriladi. F[z] xalqada nolning bo'luvchilari mavjud emas.

Bezu teoremasi. Agar a€F son F maydon ustidagi f(z) ko'phadning ildizi bo'lsa u holda f(z) ko'phad (z-a) ko'phadga bo'linadi.

Agar f(z) ko'phad n- darajali bo'lsa, (n+1)- darajali hech qaysi ko'phadga bo'linmaydi. Xususan, u (z-a)ⁿ ga bo'linmaydi f(z) ko'phadning ( z-a) ga bo'linadigan eng yuqori darajasi a ildizning karrasi deyiladi. Shunday qilib, agar f(z) ko'phad (z-a)^k ko'phadga bo'linib (z-a)^k-1ga bo'linmasa, k son a ildizning karrasi bo'ladi. Karrasi birga teng ildizlar sodda, karrasi birdan ortiq ildizlar karrali deyiladi.

2-teorema. Agar a son f(z) ko'phadning k karrali (k>1) ildizi bo'lsa u holda a son f₁(z) ko'phadning k-1 karrali ildizi bo'ladi.

Isbot. Agar a son f(z) ko'phadning k karrali ildizi bo'lsa u holda Bezu teoremasiga asosan f(z)= (z-a)^kg(z)

bu yerda g(a)≠0 bu munosabatni differensiallaymiz:

f(z) =k(z-a)^k-1q`(z)+(z-a)<sup>k</sup>q`(z)+(z-a)^kh(z)

bu yerda h(z)=kg(z)=(z-a)g(z). Ushbu h(a)=kg(a)≠0 tengsizlik a son f(z) ko'phadning k-1 karrali ildizi ekanligini ko'rsatadi.

2.2 Algebraning asosiy teoremasi

1- teorema Kompleks koeffisentli musbat darajali har qanday ko'phad kompleks ildizga ega.

Yuqoridagi teorema Algebraning asosiy teoremasi deyiladi.

Isbot 2 ta lemmaga asoslangan.

1 lemma C dagi har qanday f(z) ko'phad uchun |f(z)| funksiya kompleks tekislikda o'zining eng kichik qiymatiga erishadi.

Isbot. Agar f(z) o'zgarmas bo'lsa, uning uchun tasdiq o'rinliligi ravshan. Shuning uchun uni musbat darajali ko'phad deb hisoblaymiz, ya'ni

a₀z+azⁿ+……+a₀zⁿ +……+a_n

a_k€C

Ushbu

tenglik ravshan. Buning birinchi ko'paytuvchisi z→∞ da|a₀| ga intilgani va ikkinchi ko'paytuvchi ga intilgani sababli |f(z)|→∞ da

Shunga ko'ra, shunday r>0 haqiqiy son mavjudki, |z|>r bo'lganda |f(z)>f(0)|

Ikkinchi tomondan │ f(z)│ funksiya │z│≤ryopiq doirada uzluksiz bo'lganligi sababli Beyershtras teoremasiga asosan doira shunday z₀ nuqtada mavjudki doiradagi barcha z nuqtalar uchun│f(z)│≥│f(z₀)│ Xususan, │f(z)│≥│ f(z)│ o'rinli. Shunday qilib │z│≥r doiraning nuqtalari uchun │f(z)│≥ │f(z₀)│ doiradan tashqaridagi nuqtalar uchun munosabatlar │f(z)│≥ f(0)│≥│f(z₀)│

munosabatlar o'rinli. Bu munosabatlar│f(z₀)│ son │f(z)│ funksiyaning C dagi eng kichik funksiyasi ekanligini ko'rsatadi.

2 lemma (Dlamber lemmasi). Agar f (z) musbat darajali ko'phad vaf(z₀)≠0 bo'lsa, u holda shunday h€C mavjudki, │f(z₀+h)│< │f(z₀)│

Isbot f (z) ko’phadning darajasi n bo'lsin. U holda g(h)=

funksiya ham h ga nisbatan n darajali ko'phad bo'ladi:

(12)

Bu yerda C₀=1 chunki, g( 0)=1. Shunday k=(1≤k≤n)

mavjudki ifodada i1=0 C_k≠0 U holda

ifodaga keltiramiz. Kompleks son modullarining xossalaridan foydalanib, ushbu

tengsizlikni olamiz. Endi h ni tanlashga o'tamiz. Uning moduli va argumenti qiymatlarini ayrim tanlaymiz. Ushbu

P(h)= h+……. h^n-k

ko'phadning qiymati h=0 da nol bo'lganligi va uning barcha h C

Bundan foydalanib (12) tengsizlikdan

tengsizlikni olamiz.

Tengsizlikni qanoatlantirish kifoya. Agar δ orqali δ₁ δ₂, sonlarning eng kichigini belgilasak u holda │h│<δ tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha h lar uchun () va () tengsizliklar o'rinli. Endi h ning argumentini shunday tanlaymizki ushbu

arg ( C_kh^k)=p

tenglik bajarilsin. Buning uc

Argh( C_kh^k) =

tenglik o'rinli bo'lsin. Demak h ning argumentini shunday tanlansa u holda () tenglik o'rinli. () tenglikdan

C_kh^k=-│ C_kh^k │

kelib chiqadi.

Bunga va ( ) ga asosan

Bundan foydalanib, ( ) tengsizlikni quyidagicha yozishimiz mumkun:

Bunga va () ga asosan

ya’ni |f(z +h)|<|f(z)|. Bu bilan 2 lemma isbotlandi. Endi 1 teoremani isbotini oxiriga yetkazishimiz mumkun. 1 lemmaga asosan shunday

mavjudki, har qanday Z € C uchun

Agar bo'lsa u holda 2 – lemmaga asosan shunday h€ c mavjudki,

Bu esa ( ) tengsizlikka zid. Demak f( z)=0 ya'ni son f( z) ko'phadning ildizidir.

2 teorema. Har qanday n>0 darajali f (z) ko'phad

f(z)=a(z-z₁)(z-z₂)….(z-z_n)

ko'rinishida ifodalash mumkun, bu yerda a son f( z) ko'phadning bosh koeffisenti, z₁,z_2,…,z_n sonlar esa uning ildizlari (bu yerda har bir ildiz qancha karrali bo'lsa shuncha marta hisoblangan). Bu ifoda ko'paytuvchilarni yozilish tartibi aniqlanishida yagonadir.

Isbot. 1-teoremaga asosan f( z) biror kompleks ildizga ega. Bezu teoremasiga asosan f₁(z) ko'phad mavjudki, f (z)=(z-z₁)f(z)

Ravshanki, f₁(z) ning darajasi n-1 ga teng. Agar n-1>0 bo'lsa, u holda

f₁(z) ni ham shunga o'xshash ko'rinishida yozish mumkun: f₁(z)= (z-z₂)f₂(z)

bu yerda f₂(z) ning darajasi n-2 ga teng. U holda f(z)=(z-z₁)(z-z₂)f₂(z)

Bu mulohazani n marta ishlatib, f(z)=(z-z₁)(z-z₂)…. (z-z_n)f_n(z)

ifodani olamiz. Bu yerdagi f_n(z) ko'phadning darajasi nolga teng bo'lib,

yf(z) ko'phadning bosh koeffisentiga teng. Natijada () ifodani olamiz. Bu ifoda f(z) ko'phadning sonlardan farqli bo'lgan ildizlari mavjud emasligini ko'rsatadi.

() ifoda f(z) kompleks ko'phadning C maydon ustida keltirmaydigan ko'paytuvchhilarga yoyilmasini beradi. Agar f(z) ko'phadning ildizlari ichida a son k marta uchrasa, u holda () ifodani

ko'rinishida yozish mumkun. Bu yerda g(a)≠0

Bu mulohazadan quyidagi natija kelib chiqadi.

Natija. Agar a₁,a_2....a_s sonlar f(z) ko'phadning barcha turli ildizlari va k₁,k_2....k_s

ularning karraligi bo'lsa, u holda k₁+k_2.+...+k_s f(z)=(z-a₁)^k(z-a₂)…. (z-a_n)

3-teorema. ( Viyet teoremasi). Agarsonlar

ko'phadning ildizlari bo'lsa (bu yerda har bir ildiz qancha karrali bo'lsa, shuncha marta hisoblangan), u holda

Bu yerda chap tomondagi k-formulaning har bir hadi ildizlari ichidagi k tasining ko'paytmasidir. Chap tomondagi k formula esa barcha bunday ko'paytmalarning yig'indisidan iborat.

Isbot. () ifodadan

tenglikni olamiz, bu yerda

Ushbu tenglikdan z ni bir xil darajalari oldidagi koeffisentlari tengligi kelib chiqadi. Bu esa teoremaning isbotini beradi.

4-teorema. Kompleks o'zgaruvchili haqiqiy ϕ(x) ko'phadlik G doirada o'zining eng kichik (eng katta) qiymatiga erishadi.

ϕ(x₀) < ϕ(x) tengsizlik ixtiyoriyuchun o'rinli.

Aytaylik f(x) kompleks o'zgaruvchili ko'phadlik bo'lsin, uning moduli |f(x)| 4-teoremani qanoatlantiradi, shuning uchun G doirada shunday topiladiki uchun tengsizlik o'rinli, bu minimum nuqta kompleks sonlar to'plamida ham minimum bo'ladi.

Xulosa

Ma’lumki har qanday haqiqiy koeffisentli ko'phadlar haqiqiy sonlar to'plamida ildizga lekin bu hol kompleks sonlar uchun o'rinli emas ekan ya'ni kompleks koeffisentli ko'phadlar kompleks sonlar to'plamida kompleks ildizlarga ega bo'ladi .

SHunday qilib bu kurs ishini tayyorlash mobaynida quyidagilarni o'rgandim:

1. 
   Kompleks sonlar sistemasi haqiqiy sonlar sistemasini kengaytmasidir.
   
2. 
   Kompleks sonlar ichida kvadrati -1 ga teng bo'lgan son mavjud.
   
3. 
   Kompleks sonlar ustida arifmetik amallar bajarish, ya'ni qo'shish, ayirish, ko’paytirish, bo'lish darajaga ko'tarish ildizdan chiqarish mumkun.
   
4. 
   Har qanday kompleks sonni trigonometrik ko'rinishga keltirish mumkun.
   
5. 
   Kompleks sonlar uchun katta va kichik tushunchalari mavjud emas, ularni modullari bo'yicha solishtirish mumkun.
   
6. 
   Kompleks sonlar vektorlar kabi ya'ni parallelogramm qoidasiga qo'shiladi.
   
7. 
   Trigonometrik shaklda berilgan kompleks sonni darajaga ko'tarish uchun ushbu sonni modulini shu darajaga ko'tarish, argumentini esa shuncha marta ottirish lozim.
   

Foydalanilgan adabiyotlar

1. 
   N. Xojiyev, A.S.Faynleyb. Algebra va sonlar nazaryasi. Darslik, T. 2001
   
2. 
   R. N.Nazarov. Algebra va sonlar nazaryasi T. O'qituvchi II q. 1995
   
3. 
   D. I.Yunusova va boshqalar. Algebra va sonlar nazaryasi. O'quv qo'llanma. T ilm ziyo 2009.
   
4. 
   A. Abdulhamidov va boshqalar. Algebra va matematik analiz asoslari(Akademik litseylar uchun o’quv qo'llanma ) l q. T: O’qituvchi 2007.