O’zbekiston raqamli tehnalogiyalar vazirligi muhammad al xorazmiy nomidagi

Birinchi matritsa normasi= modul bo'yicha olingan har bir ustunning barcha elementlarini qo'shish orqali olingan raqamlarning maksimali.
Misol: 3x2 A matritsa berilsin (10-rasm). Birinchi ustunda elementlar mavjud: 8, 3, 8. Barcha elementlar ijobiy. Ularning yig‘indisini topamiz: 8+3+8=19. Ikkinchi ustun quyidagi elementlarni o'z ichiga oladi: 8, -2, -8. Ikki element salbiy, shuning uchun bu raqamlarni qo'shganda, bu raqamlarning modulini (ya'ni minus belgilarisiz) almashtirish kerak. Ularning yig‘indisini topamiz: 8+2+8=18. Ushbu ikkita raqamning maksimali 19 ga teng. Shunday qilib, matritsaning birinchi normasi 19 dir.

10-rasm.
Ikkinchi matritsa normasi a ifodalaydi Kvadrat ildiz matritsaning barcha elementlari kvadratlari yig'indisidan. Va bu degani, biz matritsaning barcha elementlarini kvadratga aylantiramiz, keyin olingan qiymatlarni qo'shamiz va natijadan kvadrat ildizni chiqaramiz.
Bizning holatda, matritsaning 2 normasi 269 ning kvadrat ildiziga teng bo'lib chiqdi. Diagrammada men taxminan 269 ning kvadrat ildizini oldim va natija taxminan 16,401 edi. Ildizni chiqarmaslik to'g'riroq bo'lsa-da.

Uchinchi norma matritsasi moduli olingan har bir satrning barcha elementlarini qo'shish orqali olingan raqamlarning maksimali.
Bizning misolimizda: birinchi qatorda elementlar mavjud: 8, 8. Barcha elementlar musbat. Ularning yig‘indisini topamiz: 8+8=16. Ikkinchi qatorda elementlar mavjud: 3, -2. Elementlardan biri manfiy, shuning uchun bu raqamlarni qo'shganda siz ushbu raqamning modulini almashtirishingiz kerak. Ularning yig‘indisini topamiz: 3+2=5. Uchinchi qator 8 va -8 elementlarini o'z ichiga oladi. Elementlardan biri manfiy, shuning uchun bu raqamlarni qo'shganda siz ushbu raqamning modulini almashtirishingiz kerak. Ularning yig‘indisini topamiz: 8+8=16. Ushbu uchta raqamning maksimali 16 ga teng. Shunday qilib, matritsaning uchinchi normasi 16 ga teng.

Matritsa normasi bu matritsaga tayinlangan haqiqiy sonni ||A|| deb ataymiz Shunday qilib, haqiqiy son sifatida u har bir matritsaga n o'lchovli fazodan tayinlanadi va 4 ta aksiomani qanoatlantiradi:
1. ||A||³0 va ||A||=0 faqat agar A nol matritsa bo'lsa;
2. ||aA||=|a|·||A||, bu yerda a R;
3. ||A+B||£||A||+||B||;
4. ||A·B||£||A||·||B||. (ko'plik xususiyati)
Matritsa me'yori turli yo'llar bilan kiritilishi mumkin. A matritsasi sifatida ko'rish mumkin n 2 - o'lchovli vektor.
Bu norma matritsaning Evklid normasi deyiladi.
Agar har qanday kvadrat A matrisa va o'lchami matritsa tartibiga teng bo'lgan har qanday x vektor uchun ||Ax||£||A||·||x||
u holda A matritsaning normasi vektor normasiga mos keladi, deymiz. E'tibor bering, vektor normasi oxirgi holatda chap tomonda (Ax - vektor).
Turli matritsa normalari berilgan vektor normasiga mos keladi. Ulardan eng kichigini tanlaymiz. Shunday bo'ladi
Bu matritsa normasi berilgan vektor normasiga bo'ysunadi. Bu ifodada maksimalning mavjudligi normaning uzluksizligidan kelib chiqadi, chunki har doim vektor x -> ||x||=1 va ||Ax||=||A|| mavjud.
N(A) normasi xech qanday vektor normasiga bo'ysunmasligini ko'rsatamiz. Ilgari kiritilgan vektor normalariga bo'ysunuvchi matritsa normalari quyidagicha ifodalanadi:
1. ||A|| ¥ = |a ij | (norma-maksimal)
2. ||A|| 1 = |a ij | (norma-sum)
3. ||A|| 2 = , (spektral norma)
bu yerda s 1 - A¢A nosimmetrik matritsaning eng katta xos qiymati bo‘lib, u ko‘chirilgan va original matritsalarning ko‘paytmasi hisoblanadi. Agar A¢A matritsasi nosimmetrik bo'lsa, uning barcha xos qiymatlari haqiqiy va ijobiydir. l soni xos qiymat, nolga teng bo'lmagan vektor x esa A matritsaning xos vektori (agar ular Ax=lx munosabati bilan bog'langan bo'lsa). Agar A matritsaning o'zi simmetrik bo'lsa, A¢ = A, u holda A¢A = A 2 va keyin s 1 = , bu erda eng katta mutlaq qiymatga ega A matritsaning xos qiymati.Demak, bu holda bizda = .
Matritsaning o'ziga xos qiymatlari uning kelishilgan me'yorlaridan oshmaydi. Xususiy qiymatlarni aniqlovchi munosabatni normallashtirib, biz ||lx||=||Ax||, |l|·||x||=||Ax||£||A||·||x||, | l| £||A||
beri ||A|| 2 £||A|| e , bu erda Evklid normasini oddiygina hisoblash mumkin, spektral norma o'rniga, matritsaning Evklid normasi taxminlarda ishlatilishi mumkin.
30. Tenglamalar sistemasining shartliligi. Konditsioner omil .
Shartlilik darajasi- qarorning dastlabki ma'lumotlarga ta'siri. ax = b: vektor b qaroriga mos keladi x. Mayli b tomonidan o'zgaradi. Keyin vektor b+ yangi yechimga mos keladi x+ : A(x+ ) = b+. Tizim chiziqli bo'lgani uchun, demak Ax+A = b+, Keyin A = ; = ; = ; b = Ax; = keyin; * , bu erda eritmaning buzilishining nisbiy xatosi, - konditsioner omilkond(A) (eritmaning xatosi necha marta oshishi mumkin), vektorning nisbiy tebranishi b. kond(A) = ; kond(A)* Koeffitsient xususiyatlari: matritsa me'yorini tanlashga bog'liq; shart ( = kond(A); matritsani songa ko'paytirish shart omiliga ta'sir qilmaydi. Koeffitsient qanchalik katta bo'lsa, dastlabki ma'lumotlardagi xatolik SLAE yechimiga shunchalik kuchli ta'sir qiladi. Shart raqami 1 dan kam boʻlmasligi kerak.
31. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemalarini yechishning supurgi usuli.
Ko'pincha matritsalari zaif to'ldirilgan tizimlarni hal qilish kerak, ya'ni. nolga teng bo'lmagan ko'plab elementlarni o'z ichiga oladi. Bunday tizimlarning matritsalari odatda ma'lum bir tuzilishga ega bo'lib, ular orasida tarmoqli tuzilish matritsalari bo'lgan tizimlar mavjud, ya'ni. ularda nolga teng bo'lmagan elementlar asosiy diagonalda va bir nechta ikkilamchi diagonallarda joylashgan. Tarmoqli matritsali tizimlarni yechish uchun Gauss usulini ko'proqqa aylantirish mumkin samarali usullar. Keling, lenta tizimlarining eng oddiy holatini ko'rib chiqaylik, keyinroq ko'rib turganimizdek, chegaraviy muammolar uchun diskretizatsiya masalalarini hal qilish. differensial tenglamalar chekli farqlar usullari, chekli elementlar va boshqalar. Uch diagonalli matritsa - bu nolga teng bo'lmagan elementlar faqat asosiy diagonalda va unga qo'shni bo'lgan matritsa:
Nolga teng bo'lmagan elementlarning uchta diagonal matritsasi jami (3n-2) ga ega.
Matritsaning koeffitsientlarini qayta nomlang:
Keyin, komponent-komponent belgisida tizimni quyidagicha ko'rsatish mumkin:
A i * x i-1 + b i * x i + c i * x i+1 = d i , i=1, 2,…, n; (7)
a 1 =0, c n =0. (8)
Tizimning tuzilishi faqat qo'shni noma'lumlar o'rtasidagi munosabatni nazarda tutadi:
x i \u003d x i * x i +1 + h i (9)
x i -1 =x i -1* x i + h i -1 va (7) ga almashtiring:
A i (x i-1* x i + h i-1)+ b i * x i + c i * x i+1 = d i
(a i * x i-1 + b i)x i = –c i * x i+1 +d i –a i * h i-1
Olingan ifodani (7) tasvir bilan taqqoslab, biz quyidagilarni olamiz:
Formulalar (10) tozalash koeffitsientlarini hisoblash uchun rekursiv munosabatlarni ifodalaydi. Ular dastlabki qiymatlarni ko'rsatishni talab qiladi. Birinchi shartga (8) muvofiq i =1 uchun bizda 1 =0 ga ega bo'lamiz, ya'ni
Bundan tashqari, qolgan tozalash koeffitsientlari i=2,3,…, n uchun formulalar (10) bo'yicha hisoblab chiqiladi va saqlanadi va i=n uchun ikkinchi shartni (8) hisobga olgan holda biz x n =0 ni olamiz. . Shuning uchun (9) formulaga muvofiq x n = h n .
Shundan so'ng (9) formula bo'yicha noma'lumlar x n -1 , x n -2 , …, x 1 ketma-ket topiladi. Hisoblashning bu bosqichi teskari yugurish deb ataladi, supurish koeffitsientlarini hisoblash esa oldinga siljish deb ataladi.
Supurish usulini muvaffaqiyatli qo'llash uchun hisob-kitoblar jarayonida nolga bo'linish holatlari bo'lmasligi va tizimlarning katta o'lchamlari bilan yaxlitlash xatolarining tez o'sishi bo'lmasligi kerak. Biz yugurishni chaqiramiz to'g'ri, agar supurish koeffitsientlarining (10) maxraji yo'qolmasa va barqaror, agar ½x i ½ bo'lsa<1 при всех i=1,2,…, n. Достаточные условия корректности и устойчивости прогонки, которые во многих приложениях выполняются, определяются теоремой.