O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi m. M. Mirsaidov, T. M. Sobirjonov nazariy mexanika

Lagranj funksiyasi
yoki 
kinetik 
potentsial
deb ataladi. U holda, potentsial kuchlardan iborat bo‘lgan sistema 
uchun, Lagranjning tenglamalari quyidagi ko‘rinishga keladi: 

---

294 
(5.26) 
…………………… 
Olingan natijalardan ko‘rinib turibdiki, potentsial kuchlar ta’siridagi mexanik 
sistemaning holati, faqat bitta Lagranj funksiyasi orqali berilar ekan, shu sababli 
ushbu funksiya ma’lum bo‘lsa sistemaning differentsial tenglamasini tuzish 
mumkin ekan. 
Ushbu 
tushunchalarni 
tegishlicha 
umumlashtirsak, 
Lagranjning 
funktsiyasiga o‘xshash bo‘lgan funktsiyalar turli fizik sistemalarning holatlarini 
ifodalab beradi(uzluksiz muhitni, gravitatsion yoki elektr maydonini va h.k.). Shu 
sababli, (5.26) ko‘rinishdagi Lagranj tenglamalari fizikaning qator sohalarida 
muhim ahamiyat kasb etadi. 

1-masala.
 
Massasi 
m
1 
gardishi bo‘ylab tarqalgan, 
R
radiusli baraban 1 -ga, 
tros o‘ralib, trosning uchiga qattiqligi 
C 
bo‘lgan prujina orqali, 
m
2
massali yuk 
osilgan (5.9-shakl). Barabanga momenti 
M
bur
 
bo‘lgan juft qo‘yilgan. Shu sistema 
uchun Lagranj tenglamasi tuzilsin va yukning harakatidagi tebranishlarning 
chastotasi aniqlansin. 

---

295 
5.9-shakl. 
Yechish.
Sistema ikkita erkinlik darajasiga ega. Umumlashgan koordinatalar 
sifatida, barabanning burilish burchagi 

va prujinaning uzayishi 
x
ni tanlab olamiz 
(
q
1
=

, q
2
=x
). U holda Lagranj tenglamalari 
(
1
) 
(2)
Sistemaga ta’sir etuvchi kuchlarni shaklda tasvirlaymiz: prujinaning 
elastiklik kuchlari; son qiymtlari
F=
=cx
). Umumlashgan kuchlarni 
Q
1
va 
Q
2
 
larni aniqlaymiz.
Sistemaga

>0
mumkin bo‘lgan ko‘chish beramiz va 
x=const
deb 
hisoblaymiz, bunday ko‘chishda va kuchlarning bajargan ishlari nolga teng 
bo‘ladi, shu sababli bunday ko‘chishdagi elementar bajarilgan ish


A
1
=(M
bur
-m
2
gR)

.
Erkin o‘zgaruvchi ikkinchi umumlashgan koordinata (

x>0, 

=const)ning 
o‘zgarishidagi

A
2
=(m
2
g-cx)

x
bo‘ladi. Shu sababli, 
Q
1
=M
bur
-m
2
gR,
Q
2
= m
2
g-cx. 
Sistemaning kinetik energiyasi, 
T=T
1
+T
2
, bu yerdagi

Ushbu masalada

---

296 
I
1
=m
1
R
2
, 
V
2
=V
nis
+V
ko‘ch
va
V
2
=
x

-R
.
U holda, 
T= m
1
R
2


2
/2+m
2
(
x

-R )
2
/2. 
xususiy hosilalar olib,
m
1
R
2
-m
2
R(
x

-R


);
m
2
(
x

-R


),
0







x
T
T
hosil boʻlgan ifodalarni (1) va (2) ga qo‘ysak: 
(m
1
+m
2
)R
m
2
x


=
(3) 
-m
2
R +m
2
x


=m
2
g-cx. 
(4) 
Izlanayotgan tenglamalar shulardan iborat. Oxirgi ikkita tenglamani hadma-
had qo‘shsak, 
m
1
R =M
bur
/R-cx,
ushbu tenglikdan va (d,e) tenglamadan R ni chiqarib tashlasak, yukning nisbiy 
tebranma harakatining differentsial tenglamasini olamiz, uning tebranish chastotasi 
k ga teng bo‘ladi 
g
R
m
M
x
k
x
bur



1
2


,
k=
c
m
m
m m
1
2
1
2

.
Yukning absolyut harakati 
s= x - R

qonuniyat bo‘yicha sodir bo‘ladi. 
Ushbu harakat ham, 
k
-chastotali tebranish bilan sodir bo‘ladi. Barabanning 
aylanma harakati ham shunday tebranishlar bilan sodir bo‘ladi.

---

297