O‘zbеkiston rеspublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi namangan davlat univеrsitеti

DIFFERENSIAL TENGLAMALAR VA MATEMATIK FIZIKA
Hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli differensial tenglamalar. Yechim tushunchasi. Xususiy va umumiy yechim. Integral chiziq. Koshi masalasi. Yechimning mavjudligi va yagonaligi haqida teorema. O‘zgaruvchilari ajralgan va unga keltiriladigan differensial tenglamalar. O‘zgaruvchilariga nisbatan bir jinsli va umumlashgan bir jinsli tenglamalar. Chiziqli differensial tenglamalar. Yechimning xossalari. O‘zgarmasni variasiyalash usuli. Bernulli va Rikkati tenglamalari. To‘la differensial tenglamalar. Integrallovchi ko‘paytuvchi va uning mavjudligi haqidagi teoremalar. tenglama yechimining mavjudligi va yagonaligi haqidagi teore­maning isboti. Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial tenglamalar va ularni integrallash usullari. Mavjudlik va yagonalik teoremasi. Maxsus yechimlar va ularning mavjudligi. Parametr kiritish yo‘li bilan tenglamalarni integrallash. Lagranj va Klero tenglamalari. tartibli diffe­ren­sial tenglamalar. Kanonik ko‘rinishdagi tar­tibli differensial tenglamalar yechimining mavjudligi va yagonaligi haqidagi teorema. Yuqori tartibli tenglamalarning tartibini pasaytirish. O‘zgaruvchilariga nisbatan bir jinsli va umumlashgan bir jinsli yuqori tartibli tenglamalarni integrallash. tartibli chizikli differensial tenglamalar va ularning umumiy xossalari. Umumiy yechimning xossalari. Mavjudlik va yagonalik teoremasi. Bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar. Yechimning asosiy xossalari. Chiziqli bogliq va chiziqli erkli funksiyalar. Vronskiy determinanti va uning xossalari. Yechimning fundamental sistemasi. Ostrogradskiy -Liuvill formulasi. Bir jinsli bo‘lmagan tartibli chizikli differensial tenglamalar va ularning umumiy va xususiy yechimlarini topish. Umumiy yechim haqida teorema. O‘zgarmasni variasiyalash metodi. Koshi formulasi. O‘zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamalar, Eyler tenglamasi. Bir jinsli bo‘lmagan o‘zgarmas koeffisiyenti chiziqli dif­feren­sial tenglamalar va ularning xususiy yechimlarini topish usullari. (O‘ng tamoni maxsus ko‘rinishda bo‘lgan tenglamalar). Differensial tengla­ma­lar sistemasini normal ko‘rinishga keltirish. Differensial tenglamalar­ning normal sistemasi uchun mavjudlik va yagonalik teoremasi. Gronuolla-Belman lemmasi. Chiziqli differensial tenglamalar sistemasi. sistema uchun mavjudlik va yagonalik teoremasi. Chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasi yechimlarining xossalari. Ostrogradskiy–Liuvill formulasi. Chiziqli bir jinsli tengla­malar sistemasining umumiy yechim haqida teorema. Chiziqli bir jinsli bo‘lgan tenglamalar sistemasi. Yechimlarning xossalari. Yechimning mavjudligi va yagonaligi haqida teorema. O‘ng tamoni maxsus ko‘rinishda bo‘lgan chiziqli o‘zgarmas koeffisiyentli differensial tenglamalar sistemasi. Matrisa ko‘rinishdagi chiziqli tenglamalar sistemasi. Koshi integral for­mu­lasi. Eksponensial matrisa. Matrisali differensial tenglamalar­ni integrallash. Yechimning davomiyligi. Yechimning boshlangich qiymatlarga va parametr­larga uzluksiz bogliqligi haqida teorema. Yechimning boshlangich qiymatlar va parametrlar bo‘yicha differensiallanuvchanligi haqida teorema. Avtonom sistemalar. Avtonom yechimining xossalari. Avtonom sistemaning muvozanat xolati. Xolatlar fazosi va trayektoriyasi. Chiziqli bir jinsli ikkinchi tartibli o‘zgarmas koeffisiyentli avtonom sistemaning xolatlar teksligi. Lyapunov ma’nosida turgunlik. Yechimning turgunligi. Trivial yechimning turgunligi, noturgun va asimptotik turgunlik haqidagi teoremalar. Lyapunovning birinchi metodi. Birinchi yakinlanish bo‘yicha turgunlik. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamani sodda ko‘ri­nishga keltirish. Chegaraviy masalalar. Grin funksiyasi. Grin funksiya­sining mavjudligi va yagonaligi haqida. Xos sonlari va xos funksiyalari tushunchasi. Ikkinchi tartibli differensial tenglamalarni darajali qatorlar yordamida integrallash. Xususiy hosilali differensial tenglamalar haqida tushuncha. Xususiy hosilali birinchi tartibli kvazichiziqli differensial tenglamalarning xarak­teristikalari. Yechim, umumiy yechim va maxsus yechim tushunchasi. Koshi masalasi. Mavjudlik va yagonalik teoremasi. Koshi-Kovalevskaya teoremasi. Koshi masala­sining geometrik talqini. Xususiy hosilali differensial tenglamalar va ularning yechimlari to‘g‘risida tushunchalar. Xarakteristik forma. Ikkinchi tartibli xususiy hosi­lali differensial tenglamalarning klas­sifikasiyasi va kanonik ko‘ri­nishi. Yuqori tartibli differen­sial tenglamalar va sistemalarning klassifiksiyasi. Ikkinchi tartibli ikki o‘zgaruvchili differensial tengla­ma­larni kanonik ko‘rinishga keltirish. Matematik fizikaning asosiy teng­lamalarini keltirib chiqarish: tor tebranish tenglamasi; Issiqlik tarqalish tenglamasi; Stasionar tenglamalar; moddiy nuqtaning og‘irlik kuchi ta’siridagi harakati. Matematik fizika tenglamalari uchun asosiy masalalarning qo‘yilishi: Koshi masalasi; Chegaraviy masala va boshlang‘ich-chegaraviy masalalar; Koshi masalasi va uning qo‘yilishida xarakteris­tika­larning roli. Korrekt qo‘yilgan masala tushunchasi. Tor tebranish tenglamasi. Dalamber yechimi va formulasi. Dalamber formulasi bilan aniqlangan yechimning fizik ma’nosi. Chegaralangan tor. To‘lqin tenglamasi uchun Koshi masalasi yechimining yagonaligi. Koshi masalasi yechimini beradigan formulalar va ularni tekshirish. Gyuygens prinsipi. To‘lqinlarning diffuziyasi. Bir jinsli bo‘lmagan to‘lqin tenglamasi. Kechikuvchi potensial. Gursa masalasi. Aysgeyrson prinsipi. qo‘shma differensial operatorlar. Riman usuli. Aralash masalalar. Tor tebranish tenglamasi uchun birinchi aralash masalani Fur’ye usuli bilan yechish. Xos sonlar va xos funksiyalar. Masala yechimining yagonaligi. Bir jinsli bo‘lmagan tenglama. To‘g‘ri turtburchakli membrana tebranish tenglamasi uchun aralash masalani yechish. Issiqlik tarqalish tenglamasi. Ekstremum prinsipi. Birinchi chegaraviy masala yechimining yagonaligi. Koshi masalasi va uning yechimini yagonaligi va turg‘unligi. Fundamental yechim. Koshi masalasi yechimining mavjudligi. Bir jinsli bo‘lmagan tenglama uchun Koshi masalasi. Bir o‘lchovli issiqlik tarqalish tenglamasi uchun birinchi chegaraviy masalani Fu’re usuli bilan yechish. Bir jinsli tenglama bo‘lgan hol va bir jinsli tenglama bo‘lmagan hol. Koshi masalasini Fur’ye usuli bilan yechish. Garmonik funksiyalar. Laplas tenglamasining fundamental yechimi. Grin formulalari. sinf funksiyalari va garmonik funksiya­larning integral ifodasi. O‘rta qiymat haqidagi teorema. Ekstremum prinsipi va undan kelib chiqadigan natijalar. Kelvin almashtirishi. Laplas tenglamasi uchun Dirixle va Neyman masala­lari­ning qo‘yilishi va ular yechimlarining yagonaligi. Dirixle masalasining Grin funksiyasi va uning xossalari. Dirixle masalasining shar uchun yechilishi. Sharning tashqarisi uchun Dirixle masalasi. O‘rta qiymat haqidagi teoremaga teskar teorema. Chetlashtiriladigan maxsuslik to‘g‘risidagi teorema. Garnak tengsizligi. Liuvill va Garnak teoremalari. Doira uchun Dirixle masalasini Furye usuli bilan yechish. Potensiallar tushunchasi va ularning fizik ma’nosi. Parametrga bog‘liq bo‘lgan xosmas integrallar. Hajm potensiali. Lyagunov sirtlari va egri chiziqlari. Teles burchak. Gauss integrali. Ikkilangan qatlam potensiali. Oddiy qatlam potensiali. Chegaraviy masalalarni potensiallar yordamida integral tenglamalarga keltirish. Xususiy hosilali differensial tenglamalar yechimlari silliqligining xususiyati to‘g‘risida tushuncha. Umumlashgan yechimlar to‘g‘risida tushuncha.