O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand iqtisodiyot va servis instituti «oliy matematika» kafedrasi

2-mavzu: Qattiq jism mexanikasi. Mexanik tebranishlar va to‘lqinlar
Mashg‘ulot rejasi:
1.
Qattiq jism harakatlari va ularning turlari.
2.
Mexanik tebranishlarning turlari va harakteristikalari.
3.
Mexanik to‘lqinlarning turlari va harakteristikalari.
Mexanikada   ko‘p   foydalaniladigan   modellardan   yana   biri   absolyut   qattiq 
jism tushunchasidir.
Qattiq   jismning   har   qanday   harakatini   ikkita   asosiy   harakat   turiga     - 
ilgarilanma va aylanma harakatlarga ajratish mumkin.
Qattiq eismni ilgarilanma harakati to‘g‘ri va egri chiziqli, tekis va notekis 
bo‘lishi mumkin.
Qattiq jismning aylanma harakati tekis va notekis bo‘ladi.
Ilgarilanma   va   aylanma   harakatlarning   harakterlovchi   fizik   kattaliklari, 
harakat tenglamalari mos keladi (jadval 1).
Ilgarilanma harakat
Aylanma harakat
1.
Vaqt
2.
Chiziqli yo‘l
3.
Chiziqli tezlik
4.
Chiziqli tezlanish
5.
Kuch
6.
Massa
7.
Kuch impulsi
8.
Harakat miqdori
9.
ma
F
=
10.
 
vt
S
=
11.
 
at
v
v
±
=
0
t
S
v
a
F
m
Ft
mv
1.
Vaqt
2.
Burchak yo‘l
3.
Burchak tezligi
4.
Burchak tezlanishi
5.
Kuch momenti
6.
Inersiya momenti
7.
Kuch momentining 
impulsi
8.
Jism impulsining 
momenti
9.
β
I
M
=
10.
 
t
ω
ϕ
=
11.
 
at
±
=
0
ω
ω
t
ϕ
ω
β
M
I
Mt
ω
I
204

12.
 
2
2
0
at
t
v
S
±
=
13.
 
∑
=
=
⋅
=
n
i
i
i
const
v
m
P
1
14.
 
2
2
mv
W
k
=
12.
 
2
2
0
t
t
β
ω
ϕ
±
=
13.
 
∑
=
=
⋅
=
n
i
i
const
I
L
1
ω
14.
 
2
2
ω
I
W
k
=
Mexanik tebranishlar va to‘lqinlar 
Tabiat   va   texnikada   juda   ko‘p   tarqalgan   takrorlanuvchi   jarayon   asosida 
tebranishlar va ularni hosil qilgan to‘lqinlar yotadi.
Tebranma harakat quyidagi fizik kattaliklar bilan harakterlanadi: amplituda 
A, davrT, chastota 
ν
, faza 
ϕ
, doiraviy yoki siklik chastota 
ω
.
N
t
T
=
;  
t
N
=
ν
;  
ν
1
=
T
;    
c
T
1
]
[
=
;   
Гц
c
1
1
]
[
=
=
ν
bu yerda: t – tebranish vaqti; N – tebranishlar soni.
Tebranma  harakatning  siklik  chastotasi,  davri  va  chastotasi  bog‘lanish 
quyidagicha bo‘ladi:
T
π
ω
2
=
;      
ν
π
ω
⋅
=
2
Tebranish fazasinii davr va chastota orqali ifodalash mumkin:
t
ω
ϕ
=
;    
t
T
π
ϕ
2
=
;   
t
∂
=
π
ϕ
2
Garmonik tebranma harakat tenglamasi quyidagi ko‘rinishga ega:
(
)
0
sin
ϕ
ω
+
⋅
=
t
A
X
;   






+
⋅
=
0
2
sin
ϕ
π
t
T
A
X
ϕ
sin
⋅
=
A
X
;   
(
)
0
2
sin
ϕ
π
+
∂
⋅
=
t
A
X
Garmonik tebranayotgan nuqta yoki sistemaning tezligi:
dt
dx
v
=
;  
'
x
v
=
; 
t
A
v
ω
ω
cos
=
va tezlanishi
dt
dv
a
=
  yoki 
2
2
dt
S
d
a
=
;     
v
a
′
=
 yoki  
x
a
′′
=
t
A
a
ω
ω
sin
2
−
=
Tebranayotgan nuqta yoki sistematik kinetik energiyasi
(
)
0
2
2
2
2
cos
2
1
2
ϕ
ω
ω
+
=
=
t
A
m
mv
W
k
va potensial enregiyasi
(
)
0
2
2
2
sin
2
1
ϕ
ω
ω
+
=
t
A
m
W
n
to‘la energiyasi
2
2
2
1
A
m
W
ω
=
So‘nuvchi tebranma harakat tenglamasi
(
)
0
2
sin
ϕ
ω +
⋅
=
−
t
Ae
x
t
m
r
So‘nish koeffitsiyenti
m
r
2
=
β
205

va so‘nishning logarifm dekrementi
T
A
A
n
n
n
β
δ
=
=
+
1

Majburiy tebranishlarning amplitudasi
(
)
2
2
2
2
2
0
0
4
ω
β
ω
ω
+
−
=
m
F
A
Bo‘ylama to‘lqinning tezligi
ρ
E
v
б
=
va ko‘ndalang to‘lqinning tezligi
ρ
G
v
k
=
bu yerda 
E – elstaik yoki Yung moduli;
G – siljish moduli; 
ρ
 - muhitning zichligi.
To‘lqin tenglamasi





 −
=
λ
π

T
t
A
x
2
sin
Tovush intensivligi
t
S
W
I
⋅
=
bu   yerda:   W   –   tovush   to‘lqinning   energiyasi;   S   –   to‘lqin   o‘tgan   yuza; 
t – to‘lqinning tarqalish vaqti.
Tovushning qattiqlik darajasi quyidagi qonun asosida aniqlanadi:
0
I
I
g
k
L

=
bu yerda: k – proporsionallik koeffitsiyenti.
Agar   k=1   deb   olinma,   tovushning   qattiqligi   bel   (
Б
)   ataluvi   birlikda 
o‘lchanadi, ya’ni;
0
I
I
og
L

=
,        
Б
L
1
]
[
=
Bel   bilan   bir   qatorda   undan   10   marta   kichik   bo‘lgan   desibel   (
дБ
)larda   ham 
o‘lchanadi, bu holda:
0
10
I
I
g
L

=
.
Masala yechish namunalari 
1-masala. Tekis tezlanish bilan aylanayotgan g‘ildirak harakat boshidan 10 
marta   aylangandan   so‘ng   20   rad/s   burchak   tezlikkka   erishsa,   uning   burchak 
tezlanishi topilsin.
Berilgan:
10
=
N
с
рад /
20
=
ω
?
−
β
Yechilishi. Tekis o‘zgaruvchan aylanma harakatda quyidagi ikkita harakat 
tenglamasi o‘rinlidir:
2
2
0
t
t
β
ω
ϕ
+
=
 
(1)
va
206

t
β
ω
ω
+
=
0
(2)
Shartga ko‘ra 
0
0
=
ω
. U vaqtda (1) va (2) tenglama quyidagi ko‘rinishga ega 
bo‘ladi:
2
2
t
β
ϕ
=
 
(3)
va
t
β
ω
=
(4)
(3) va (4)larni birgalikda yechib
va
N
π
ϕ
2
=
ekanligini nazarga olib, 
β
  topamiz:
N
π
ω
β
4
2
=
(5)
2
2
/
2
,
3
10
14
,
3
4
20
с
рад
=
⋅
⋅
=
β
2-masala. Harakat tenglamasi 
см
t
x
)
5
,
0
(
sin
2
+
=
π
ko‘rinishda bo‘lgan kichik 
jism  tebranma  harakat  qilmoqda.  Tebranishning  amplitudasi,  davri,  boshlang‘ich 
fazasi, shuningdek, tezlik va tezlanishning maksimal qiymatini toping.
Berilgan:
м
t
см
t
x
)
5
,
0
(
sin
02
,
0
)
5
,
0
(
sin
2
+
⋅
=
+
=
π
π
?
−
А
, 
?
−
Т
,
?
0
−
ϕ
, 
?
max
−
v
, 
?
max
−
а
Yechilishi. Jismning harakat tenglamasini quyidagi ko‘rinishda yozamiz:
м
t
x
)
5
,
0
sin(
02
,
0
π
π
+
⋅
=
va uni garmonik tebranma harakat tenglamasi






+
⋅
=
0
2
sin
ϕ
π
t
T
A
x
Bilan taqqoslak, 
м
A
02
,
0
=
, 
t
Т
π
π
=
2
dan  
c
T
2
=
; 
π
ϕ
5
,
0
0
=
Tebranish tezligi
x
dt
dx
v
′
=
=
;   
c
м
t
v
/
)
5
,
0
cos(
02
,
0
π
π
π
+
⋅
=
tezlanish esa
v
dt
dv
a
′
=
=
;   
2
2
/
)
5
,
0
sin(
02
,
0
c
м
t
a
π
π
π
+
⋅
=
1
)
5
,
0
cos(
=
+
π
π
t
 bo‘lganda tezlik maksimal,
1
)
5
,
0
sin(
=
+
π
π
t
  bo‘lganda   tezlanish   maksimal   qiymatga   ega   bo‘ladi. 
Binobarin,
с
м
v
π
02
,
0
max
=
   va    
с
м
б
а
2
max
02
0
π
−
=
3-masala. Kametron bilan suvda hosil qilingan to‘lqin bir qirg‘oqdan 200 m 
masofadagi ikkinchi qirg‘oqqa 125 s yetib kelgan. Agar suv to‘lqinning qirg‘oqqa 
urilish chastotasi 0,4 Gs teng bo‘lsa, uning to‘lqin uzunligi topilsin.
Berilgan:
м
S
200
=
c
t
125
=
Гц
4
,
0
=
ν
 
    
?
−
λ
Yechilishi.  To‘lqinning  uzunligi  uning  tarqalish  tezligi  va  chastotasi  orqali 
quyidagi bog‘lanishga ega:
207

ν
λ
v
=
Bunda to‘lqinning tarqalish tezligini o‘rniga qo‘yilsa, quyidagi hisoblash formula 
kelib chiqadi:
t
S
v
ν
ν
λ
=
=
Kattaliklarning son qiymatlarini o‘rniga qo‘yib, hisoblaymiz:
 
м
4
125
4
,
0
200
=
⋅
=
λ
4-masala.  Cho‘yan  trubaning  uzunligi  930  m,  yetib  kelgan  tovushlar 
vaqtining farqi 2,5 s ga teng bo‘lsa, tovushning cho‘yanda tarqalish tezligi topilsin. 
Tovushning havoda tarqalish tezligi 340  с
м .
Berilgan:
м
S
930
=
c
t
5
,
2
=
∆
с
м
v 340
=
?
1
−
v
Yechilishi.   Tovush   bir   jinsli   muhitda   to‘g‘ri   chiziqli   tekis   tarqalganligi 
uchun, uning tarqalish masofasi quyidagi formuladan aniqlanadi:
t
v
S
1
=
Bundan tovushning havoda tarqalish vaqti
v
S
t
=
0
cho‘yanda tarqalish vaqti esa
1
v
S
t
=
Masala shartiga ko‘ra 
t
t
t
−
=
∆
0
bo‘lganligi uchun:
v
t
v
S
t
v
S
v
S
∆
⋅
−
=
∆
−
=
1
Bundan tovushning cho‘yanda tarqalish tezligi quyidagiga teng bo‘ladi:
t
v
S
S
v
v
∆
⋅
−
=
1
Kattaliklarning son qiymatlarini qo‘yib, hisoblaymiz:
с
м
v
3952
80
930
340
1
=
=
.
Masalalar: 2.132; 2.145; 3.3; 3.16; 12.12; 12.30; 12.65
Mustaqil yechish uchun masalalar: 2.140; 2.158; 3.9; 3.22; 3.34; 12.16; 13.2
Adabiyot: [5] 53-62
3-mavzu: Gazlarning molekulyar-kinetik nazariyasi. Termodinamikaning 
asoslari
Mashg‘ulot rejasi: 
1.
Ideal gaz qonunlari va holat tenglamasi.
2.
Gaz molekulalarini tezliklari.
3.
Termodinamika asoslari.
208

Molekulyar fizika va termodinamika ayni bir doiradagi hodisalarni, xususan, 
jismlardagi makroskopik jarayonlarni, ya’ni jismlar tarkibidagi ulkan miqdordagi 
atomlar va molekulalar bilan bog‘liq bo‘lgan hodisalarni o‘rganadi.
Molekulyar   fizikada  ideal   gaz  modeli  olingan  1  mol  ideal  gazning  holat 
tenglamasi:
RT
PV
=
Ixtiyoriy massali gaz uchun Mendeleev-Klapeyron tenglamasi quyidagicha 
bo‘ladi:
RT
PV
ν
=
 yoki 
RT
m
PV
µ
=
bu yerda:  
P
 - gazning bosimi; 
V
 - gazning hajmi; 
T
 - absolyut temperatura;  
ν
 - mollar soni;  m  - gazning massasi; 
µ
 - gazning molyar massasi;                 
R
 - universal gaz doimiysi.
Maksimal taqsimoti asosida gaz holatini uchta tezliklar harakterlaydilar:
Ehtimollik tezligi
µ
µ
RT
RT
v
э
41
,
1
2
≈
=
o‘rtacha arifmetik tezlik
µ
πµ
RT
RT
v
a
60
,
1
8
≈
=
o‘rtacha kvadratik tezlik
µ
µ
RT
RT
v
кв
73
,
1
3
≈
=
Gaz   molekulalarning   xoatik   harakat   jarayonida   fizik   harakteristikalarini: 
massa (diffuziya) yoki energiya (issiqlik o‘tkazuvchanlik) yoki harakat miqdori 
(ichki ishqalanish)ni ko‘chirish xususiyatidir. Bunday hodisalarning mexanizmi bir 
xil va ular ko‘chish hodisalari deb ataladi.
Diffuziya hodisasida massani ko‘chirishi ro‘y beradi, ya’ni:
t
S
x
D
M
∆
⋅
∆
⋅
∆
∆
−
=
∆
ρ
 
bu yerda D – diffuziya koeffitsiyenti; 
x
∆
∆
ρ
 - zichlik gradiyenti; 
S
∆
 - yuza orqali 
ko‘chib o‘tgan 
M
∆
gaz massasi; 
t
∆
 - ko‘chish vaqti oralig‘i.
Gazning 
t
∆
  vaqt  oralig‘ida  ko‘chirilgan  harakat  miqdori  gazdagi  ichki 
ishqalanishning kuchi F ni aniqlaydi:
S
x
v
F
∆
⋅
∆
∆
−
=
η
bu yerda 
x
v
∆
∆
 - yuz 
S
∆
ga tik yo‘nalishdagi gaz oqimining tezlik gradiyeti,         
η
 
- ichki ishqalanish koeffitsiyenti.
Issiqlik o‘tkazuvchanlik natijasida  
t
∆
  vaqt oralig‘ida ko‘chirilgan issiqlik 
miqdori quyidagiga teng
t
S
x
T
K
Q
∆
⋅
∆
⋅
∆
∆
−
=
bu yerda  
x
T
∆
∆
 - yuz 
S
∆
ga tik yo‘nalishdagi temperatura gradiyetni; 
     K – issiqlik o‘tkazuvchanlik koeffitsiyenti.
209

Jismga berilgan yoki undan olingan issiqlik moqdori quyidagiga teng:
T
cm
Q
∆
⋅
=
bu  yerda   C  –  solishtirma  issiqlik  sig‘imi;  m  –  jism  massasi;  
T
∆
  -  jism 
temperaturasining o‘zgarishi.
Solishtirma issiqlik sig‘imi
)
(
1
2
T
T
m
Q
C
−
=
   yoki     
T
m
Q
C
∆
⋅
=
va molyar issiqlik sig‘imi
)
(
1
2
T
T
Q
C
−
=
µ
µ
   yoki     
T
Q
C
∆
⋅
=
µ
µ
µ
C
  molyar   va   C   solishtirma   issiqlik   sig‘imlari   quyidagicha   o‘zaro 
bog‘langandir:
C
C
⋅
=
µ
µ
   
O‘zgarmas hajmdagigazning molyar issiqlik sig‘imi 
R
i
C
v
2
=
o‘zgarmas bosimdagi 
R
C
C
v
p
+
=
  yoki   
R
R
i
C
p
+
=
2
bu yerda 
i
 – gaz molekulalari erkinlik darajasining soni.
Termodinamikani birinchi qonunini quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:
A
U
Q
+
∆
=
   yoki   
dA
dU
dQ
+
=
bu yerda: 
Q
; 
dQ
 - termodinamik sistemani olgan issiqlik miqdori;  
U
∆
; 
dU
 - sistemani ichki enregiyasining o‘zgarishi;
A
; 
dA
 - sistemani tashqi kuchini yengish uchun bajargan ishi.
Gazning ichki energiyasining o‘zgarishi
RdT
i
m
dU
2
µ
=
Gazning hajmi o‘zgrganda bajargan ish termodinamik ish deb ataladi va u 
quyidagicha bo‘ladi:
dV
P
dA
⋅
=
Izotermik jarayonda bajargan ish
1
2
V
V
n
RT
A

⋅
=
   yoki  
1
2
P
P
n
RT
A

⋅
=
Adiabatik jarayoni Puasson tenglamasi bilan ifodalanadi:
const
PV
=
γ
bus yerda:   
v
p
C
C
=
γ
.
Issiqlik mashinaning foydali ish koeffitsiyenti
%
100
1
2
1
⋅
−
=
Q
Q
Q
η
 
bu yerda:  Q
1
 – ishchi jismga berilgan issiqlik miqdori; Q
2
 – sovitgichga berilgan 
issiqlik miqdori.
Karnoning ideal sikli uchun FIK
%
100
1
2
1
⋅
−
=
T
T
T
η
 
bu yerda T
1
 – isitgichning temperaturasi; T
2
 – sovittgichning temperaturasi.
210

B
 va 
A
 ikkita holatdagi entropiyaning 
A
B
S
S
−
 farqi quyidagi formuladan 
aniqlanadi:
∫
=
−
B
A
A
B
T
dQ
S
S
.
Masalalar: 5.2; 5.10; 5.13; 5.46; 5.163; 7.22; 8.12
Mustaqil ish: 5.6; 5.15; 5.22; 5.195; 5.201; 7.41; 8.21
Adabiyot: [5] 70-120
Masalalar yechish namunalari 
1-masala. Norma sharoitda 1) 0,001 kg azot va 2) 1 m
3
 kislorod tarkibidagi 
molekulalar sonini hisoblang. Normal sharoitda kislorodning zichligi 1,43 kg/m
3
.
Berilgan:
кг
кг
m
3
1
10
001
,
0
−
=
=
3
2
1м
V
=
3
2
43
,
1
м
кг
=
ρ
моль
кг
3
1
10
28
−
⋅
=
µ
моль
кг
3
2
10
32
−
⋅
=
µ
     
?
−
N
     
?
−
n
Yechilishi:   1)  Berilgan  massadagi  azot  gazining  molekulalar  soni  shu 
berilgan  massani  bitta  azot  molekulasining  massasiga  nisbatiga  teng  bo‘lib, 
quyidagicha ifodalanadi:
0
1
m
m
N
=
,
bunda
A
N
m
1
0
µ
=
bu yerda:
1
µ
 - azot molekulasining molyar massasi;
1
23
10
02
,
6
−
⋅
=
моль
N
A
 - Avogadro soni.
Bu ikkala tenglikdan quyidagi ifodaga ega bo‘lamiz:
1
1
µ
A
N
m
N
=
hisoblash:
20
3
23
3
10
215
10
28
10
02
,
6
10
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
−
−
N
 dona.
2)  Normal  sharoitda  hajm  birligidagi  kislorod  molekulalarining  soni 
quyidagicha topiladi. Kislorod massasi:
2
2
2
ρ
⋅
=
V
m
molekulalar soni:
2
2
2
2
2
2
2
0
2
2
ρ
µ
µ
ρ
⋅
=
⋅
=
=
=
A
A
N
V
N
V
V
m
m
V
N
n
Hisoblash:
211

3
25
3
3
23
10
7
,
2
43
,
1
10
32
10
02
,
6
−
−
⋅
≈
⋅
⋅
⋅
=
м
м
кг
n
.
2-masala.  Temperaturasi  448  K  bo‘lgan  0,01  kg  massali  gazning  dastlabki 
hajmi 
3
3
10
3
м
⋅
  bo‘lgan.  Qanday  temperaturada  berilgan  massali  gazning  zichligi 
3
6
10
5
см
кг
−
⋅
ga teng bo‘ladi. gaz bosimi o‘zgarmas.
Berilgan:
К
Т
448
1
=
кг
m
01
,
0
=
3
3
1
10
3
м
V
⋅
=
3
3
6
2
5
10
5
м
кг
см
кг
=
⋅
=
−
ρ
const
P
=
     
?
2
−
T
     
Yechilishi: Berilgan gazning dastlabki zichligi:
1
1
V
m
=
ρ
bo‘lib,  turli  temperaturalardagi  zichliklarning  nisbati  hajmlar  nisbatiga  teskari 
proporsional bog‘lanishdir:
1
2
2
1
V
V
=
ρ
ρ
 
(1)
Gey-Lyussak  qonuniga  ko‘ra 
const
P
=
  bo‘lganda  berilgan  gazning  turli 
temperaturalardagi hajmlari temperaturalarga quyidagicha bog‘langan bo‘ladi:
1
2
1
2
T
T
V
V
=
 
(2)
(1) va (2) tengliklarni taqqoslab, quyidagi tenglikni yozish mumkin:
T
T
2
2
1
=
ρ
ρ
 
bundan
2
2
1
2
1
1
2
V
m
T
T
T
ρ
ρ
ρ
⋅
=
⋅
=
  
Hisoblash:
K
T
290
5
10
3
01
,
0
448
3
2
=
⋅
⋅
⋅
=
.  
3-masala.  Karno  aylanish  jarayoni  bo‘yicha  ishlaydigan  ideal  issiqlik 
mashinasining  foydali  ish  koeffitsiyenti  20 %,  isitgichning  temperaturasi  373  K, 
sovitkichga berilgan issiqlik miqdori 200 kJ ga teng. Mashinaning aylanma jarayon 
davomida  bajargan  ishi,  isitkichdan  olgan  issiqlik  miqdori  movitkichning 
temperaturasi topilsin.
Berilgan:
2
,
0
%
20
=
=
η
К
Т
373
1
=
Ж
кЖ
Q
5
2
10
2
200
⋅
=
=
     
?
−
А
  
?
2
−
T
 
?
1
−
Q
    
Yechilishi: Issiqlik mashinani FIK fomulasidan:
1
1
2
1
Q
A
Q
Q
Q
=
−
=
η
212

isitkichdan olingan issiqlik miqdori quyidagiga teng:
2
1
1
Q
Q
Q
−
=
η
bundan
 
η
−
=
1
2
1
Q
Q
Bajargan ish esa:
1
Q
A
⋅
=
η
Sovitkichning temperaturasi quyidagi formuladan topamiz:
1
2
1
T
T
T
−
=
η
bundan 
)
1
(
1
2
η
−
=
T
T
Hisoblash:
Ж
Q
5
5
1
10
5
,
2
2
,
0
1
10
2
⋅
=
−
⋅
=
К
T
4
,
298
)
2
,
0
1
(
373
2
≈
−
⋅
=
Masalalar: 5.2; 5.10; 5.13; 5.46; 5.163; 7.22; 8.12
Mustaqil yechish uchun masalalar: 5.6; 5.15; 5.22; 5.195; 5.201; 7.41; 8.21
Adabiyot: [5] 70-120