O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi zahiriddin muhammad bobur nomli andijon davlat universiteti axborot texnologiyalari va kompyuter

II darajali testlar

1. 0 1
   

9. 3 0  2 determinantning kattaligi nimaga teng?

   
   

1. 4 5
   

A) -4			В) 0		D) 4			E)	5
10. 		0		0	1
		6157		8268	10268		determinantning kattaligini toping.
		513		689	126
A) 689			В) 513		D) 85			E)	108

8.6-ilova


Berilgan mazmunga qarab “Determinantlar va ularning xossalari.” mavzusi


bo‘yicha talabalar bilishi lozim bo‘lgan savol(javo b)lar
savollar javoblar

2

4. 3 - tartibli determinant nima va u qanday belgilanadi?

   
   

5.Minor deb nimaga aytiladi?

6. a_ij elementning algebraik

to’ldiruvchisi ganday aniqlanadi?

7..Determinantlar qanday xossalarga ega?

4.  a	^a22 ^a23	 a		^a13 ^a12	 a		^a12 ^a13
11	^a32 ^a33		21	^a33^a32		31	^a22 ^a23

ifodaga 3- tartibli determinant deyiladi va

^a11^a12 ^a13

• 
  
  ^{ a}21^a22 ^a23
  

^a31^a32 ^a33
bilan belgilanadi.
^a11^a12 ^a13
5.  a₂₁a₂₂ a₂₃ determinantda i - satrni va j -

^a31^a32 ^a33
ustunni o’chirishdan 2- tartibli
determinant hosil bo’ladi, bunga a_ij elementga mos minor deyiladi va M _ij bilan belgilanadi. Masalan,

^M 21		^a12 ^a13	, M 22		^a11^a13
		^a32 ^a33			^a31^a33

va boshqalar.

6. a_ij elementning algebraik to’ldiruvchisi deb unga

mos minorning musbat yoki manfiy ishora bilan olingan kattaligiga aytiladi,bunda i  j juft bo’lsa, musbat ishora bilan, i  j toq bo’lsa manfiy ishora

olinadi. a_ij elementning algebraik to’ldiruvchisini A_ij bilan belgilanadi. Demak,

А М	21		^а12 ^а13	, А  М	22		^а11^а13
21			^а32 ^а33	22			^а31^а33

bo’ladi va boshqalar.

7. Determinantlar quyidagi xossalarga ega:

1)determinantning barcha satridagi elementlarini mos ustunelementlari bilan almashtirilsa uning kattaligi o’zgarmaydi;

2. ikkita satr (ustun)ni o’zaro almashtirilsa determinant kattaligining ishorasi teskarisiga o’zgaradi;

   
   

2. ikkita bir xil satr(ustun)li determinant kattaligi no’lga teng;

   
   

2. determinantning biror satr(ustun)ning hamma elementlarini m ¹0 songa ko’paytirilsa, uning kattaligi shu m songa ko’payadi;

   
   

8. 4-tartibli determinant qanday bo’ladi?

   
   

8. 
   
   n - tartibli determinant nimadan iborat?
   

2 1 - 3

10. ^-1	3	0	determinantni
2	-1	1

hisoblang.

5. determinantning ikkita satri(ustuni) elementlari o’zaro proporsional (mutanosib) bo’lsa, uning katt aligi no’lga teng;

   
   

5. determinantning kattaligi, biror satri(ustuni) elementlarini unga mos algebraik to’ldiruvchilariga ko’paytirib qo’shilganiga teng;

   
   

6. determinant biror satri (ustuni)ning har bir elementi

   
   

ikkita qo’shiluvchidan iborat bo’lsa, u holda bu determinant ikkita determinant yig’indisiga teng bo’ladi;

8. determinantning biror ustini(satri) elementlariga boshqa ustini(satri)ning mos elementlarini istalgan umumiy ko’paytuvchiga ko’paytirib qo’shilsa, uning kattaligi o’zgarmaydi.

   
   

8. 4-tartibli determinant ushbu ko’rinishda bo’ladi :

^a11

^a12

^a13

^a14

D =

^a21

^a22

^a23

^a24

= a × A + a × A + a × A + a × A

^a31

^a32

^a33

^a34

11

11

12

12

13

13

14

14

^a41

^a42

^a43

^a44

9.Umumiy holda n -tartibli determinant

^a11^a12 K^a1n
^a21^a22 K^a2n	 a A  a A  K a A
	11 1112 12	1n 1n
KKKKK
^an1^an2 K^ann

ko’rinishda bo’ladi. Bunda A₁₁ , A₁₂ ,K, A_1n mos ravishda a₁₁ , a₁₂ ,K, a_1n elementlarning algebraik to’ldiruvchilaridir.

		2	1	- 3
10.		-1	3	0	= 6 + 0 - 3 +18 +1 - 0 = 22
		2	-1	1

Uchinchi tartibli determinant uchta satr va uchta ustun elementlardan iborat ifoda hisoblanadi hamda
(2) kabi belgilanadi va aniqlanadi.
Uchinchi tartibli determinant uchun satr, ustun, bosh diagonal, yordamchi diagonal tushunchalari ikkinchi tartibli determinantdagi kabi kiritiladi.
Uchinchi tartibli determinantlarni hisoblashda (2) tenglikning o‘ng tomonidagi birhadlarni topishning yodda saqlash uchun oson bo‘lgan qoidalaridan foydalaniladi.
«Uchburchak qoidasi» ushbu sxema bilan tasvirlanadi ^[2]:

Bunda diagonallardagi yoki asoslari diagonallarga parallel bo‘lgan uchburchaklar uchlaridagi elementlar uchta elementning ko‘paytmasini hosil qiladi. Agar uchburchaklarning asoslari bosh diagonalga parallel bo‘lsa, u holda elementlarning ko‘paytmasi ishorasini saqlaydi. Agar uchburchaklarning asoslari yordamchi diagonalga parallel bo‘lsa, u holda elementlarning ko‘paytmasi teskari ishora bilan olinadi.

Misol. ni uchburchak qoidasi bilan hisoblang.
Yechish.
« Sarryus qoidalari» quyidagi sxemalar bilan ifodalanadi^[3]:

Sxemadagi 1-qoidada avval determinant tagiga uning birinchi ikkita satri yoziladi, 2-qoidada esa determinantning o‘ng tomoniga uning birinchi ikkita ustuni yoziladi. Bunda diagonallardagi yoki diagonallarga parallel bo‘lgan to‘g‘ri chiziqlardagi elementlar uchta ko‘paytuvchini hosil qiladi. Agar to‘g‘ri chiziqlar bosh diagonalga parallel bo‘lsa, u holda elementlarning ko‘paytmasi ishorasini saqlaydi. Agar to‘g‘ri chiziqlar yordamchi diagonalga parallel bo‘lsa, u holda elementlarning ko‘paytmasi teskari ishora bilan olinadi.

- tartibli determinant har bir satr va har bir ustundan faqat bittadan olingan ta elementning ko‘paytmasidan tuzilgan ta qo‘shiluvchilar yig‘indisidan iborat bo‘ladi, bunda ko‘paytmalar bir-biridan elementlarining tarkibi bilan farq qiladi va har bir ko‘paytma oldiga inversiya tushunchasi asosida plyus yoki minus ishora qo‘yiladi.
-tartibli determinantni bu qoida asosida ifodalash yetarlicha noqulaylikka ega. Shu sababli yuqori tartibli determinantlarni hisoblashda bir nechta ekvivalent qoidalardan foydalaniladi. Bunday qoidalardan biri yuqori tartibli determinantlarni quyi tartibli determinantlar asosida hisoblash usuli hisoblanadi. Bu usulda determinant biror satr (yoki ustun) bo‘yicha yoyiladi. Bunda quyi (ikkinchi va uchunchi) tartibli determinantlar yuqorida keltirilgan ta’riflar asosida topiladi.
-tartibli determinantlarni yoyishda minor va algebraik to‘ldiruvchi tushunchalaridan foydalaniladi.
-tartibli determinant elementining  minori deb, shu element joylashgan satr va ustunni o‘chirishdan hosil bo‘lgan - tartibli determinantga aytiladi va bilan belgilanadi.
Determinant elementining algebraik to‘ldiruvchisi deb, songa aytiladi.
Masalan, determinantning elementining minori va algebraik to‘ldiruvchisi quyidagicha topiladi:

Determinantning xossalari
Determinantning xossalarini uchinchi tartibli determinant uchun keltiramiz. (bu xossalar ixtiyoriy - tartibli determinant uchun ham o‘rinli bo‘ladi).
1-xossa. Transponirlash (barcha satrlarni mos ustunlar bilan almashtirish) natijasida determinantning qiymati o‘zgarmaydi, ya’ni

Isboti. Xossani isbotlash uchun tenglikning chap va o‘ng tomonidagi determinantlarning qiymatlarini uchburchak qoidasi orqali yozib olish va olingan ifodalarning tengligiga ishonch hosil qilish kifoya.
1-xossa satr va ustunlarning teng huquqligini belgilab beradi. Boshqacha aytganda satrlar uchun isbotlangan xossalar ustunlar uchun ham o‘rinli bo‘ladi va aksincha.
2-xossa. Determinantning istalgan ikkita satr yoki ikkita ustun elementlarini o`rinlari almashtirilsa, uning ishorasi qarama-qarshisiga o`zgaradi (agar birinchi va uchinchi satrlarning o`rinlarini almashtirsak):

Bu xossa ham 1-xossa kabi isbotlanadi.

3-xossa. Agar determinant ikkita bir xil satr (ustun) elementlarga ega bo‘lsa, uning qiymati nolga teng bo‘ladi.
Isboti. Haqiqatdan ham, determinantda ikkita bir xil satrning o‘rinlari almashtirilsa, uning qiymati o‘zgarmaydi. Ikkinchi tomondan 2-xossaga ko‘ra determinant qiymatining ishorasi o‘zgaradi. Demak, , yoki . Bundan
4-xossa. Determinantning biror satr (ustun) elementlari songa ko‘paytirilsa, determinant shu songa ko‘payadi va aksincha, biror satr (ustun) elementlarining umumiy ko‘paytuvchisini determinant belgisidan tashqariga chiqarish mumkin:
.
Isboti. Tenglikning chap tomondagi determinant hisoblanganida oltita qo‘shiluvchining hammasida ko‘paytuvchi qatnashadi.
Bu ko‘paytuvchini qavsdan tashqariga chiqarib, qavslar ichidagi qo‘shiluvchilardan determinant tuzilsa, tenglikning o‘ng tomondagi ifoda hosil bo‘ladi.
5-xossa. Agar determinant biror satrining (ustunining) barcha elementlari nolga teng bo‘lsa, uning qiymati nolga teng bo‘ladi:

Xossaning isboti 4-xossadan da kelib chiqadi.

6-xossa. Agar determinantning ikki satri (ustuni) proporsional bo‘lsa, u nolga teng bo‘ladi. Masalan,

Isboti. 4-xossaga ko‘ra determinant ikkinchi satrining ko‘paytuvchisini determinant belgisidan chiqarish mumkin. Natijada ikkita bir xil satrli determinant qoladi va u 3-xossaga ko‘ra nolga teng bo‘ladi.
7-xossa. Agar determinantning biror satri (ustuni) elementlariga boshqa satrining (ustunining) mos elementlarini biror songa ko‘paytirib qo‘shilsa, determinantning qiymati o‘zgarmaydi.
Isboti. determinantning ikkinchi satri elementlariga ga ko‘paytirilgan birinchi satrning mos elementlari qo‘shilgan bo‘lsin:

Qo‘shiluvchilardan birinchisi ga va ikkinchisi esa 3-xossaga ko‘ra nolga teng. Demak, yig‘indi ga teng.

1-izoh. Determinantning xossalari asosida quyidagi teorema isbotlangan.
1-teorema. Bir xil tartibli va kvadrat matritsalar ko‘paytmasining determinanti bu matritsalar determinantlarining ko‘paytmasiga teng, ya’ni

Chiziqli tenglamalar sistemasi. Kramer formulalari
a) Quyidagi sistema ikki noma’lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasi deyiladi: …….....(1)
Bu sistemani yechishning qo`shish, o`rniga qo`yish va grafik usullari bilan o`rta umumta’lim dasturlarida tanishganmiz. Quyida sistemani 2-tartibli determinanatdan foydalanib yechish usulini ko`rib chiqamiz.
(1) tenglamalar sistemasini analitik usulda tekshiramiz. (1) sistema yechimga ega deb faraz qilamiz:
; .. ; .
Ushbu ; …. ; belgilashlarni kiritamiz, natijada ; munosabatlar ushbu ko‘rinishni oladi: ; ;
bu yerda (1) sistemaning determinanti deyiladi. (1) sistema yechimga ega bo‘lishi uchun uning determinanti noldan farqli bo‘lishi zarur:


MUNDARIJA:
Kirish
1-mavzu: Ikkinchi va uchinchi tartibli determinantlar.
2-mavzu: N-tartibli determinantlar

2-mavzu: Determinantning xossalari.

3-mavzu: Chiziqli tenglamalar sistemasi. Kramer formulalari.

Mavzuga oid testlar va masalalar

Foydalanilgan adabiyotlar…

http://hozir.org