O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi zahiriddin muhammad bobur nomli andijon davlat universiteti axborot texnologiyalari va kompyuter

1. 2- tartibli determinantlar.
bo’ladi.

2. 
   
   3- tartibli determinantlar.
   

^a11^a12^a13


^a21^a22^a23 ^a11^a22^a33^^a21^a32^a13^^a31^a12^a23^^a13^a22^a31^^a12^a21^a33^
a31^a32^a33
 а₁₁а₂₃а₃₂ (3)
bo’ladi. (3) formulani esda saqlash uchun uchburchak qoidasidan foydalanish mumkin. Elementlarni nuqtalar bilan belgilasak, ushbu sxema hosil bo’ladi :

Determinantlarni hisoblashda uning biror satri yoki ustunlarida no’llar ko’proq bo’lsa, o’sha satr yoki ustun elementlari b o’yicha yoyib hisoblash ancha qulaylik keltiradi, masalan, yuqoridagi misolda 1-satr elementlari bo’yicha yoyganimiz uchun, ya’ni unda 2 ta no’l ele ment bo’lgani uchun 2 ta 3-tartibli determinantlarni hisoblab chiqishga hojat qolmadi. Bunday satr yoki ustunlar bo’lmasa determinantlarning 8-xossasidan foydalanib, uni bunday satrga yoki ustunga ega bo’ladigan qilib o’zgartiri sh mumkin, misol uchun ushbu

1	 2	 5	4
0	3	1	- 3
1	- 2	2	4
3	1	- 2	1

determinantni hisoblaylik. Buning uchun 1-ustun elementlarini oldin 2 ga keyin mos ravishda 5 ga, -4 ga ko’paytirib, 2,3 va 4- ustunlarning mos elementlariga qo’shamiz, bu holda:

									1	0	0			0		3	1	- 3
									0	3	1			- 3
															= 1×	0 7		0
									1	0	7			0		7	13	-11
									3	7	13			-11
bo’lib, keyingi 3-tartibli											determinantni 2- satr						elementlari bo’yicha yoysak:
		3	1	 3		= 7 ×		3		- 3			= 7 × - 33 + 21 = 7 × -12 = -84
		0	7	0
		7	13	-11				7		-11

bo’ladi.

(+) ishora bilan, (-) ishora bilan olinadi.

2 1 0
2-misol. 1 3 2 determinantni hisoblang.

• 3 0 4
  

Iechish. (3) fo’rmulaga asosan

2 1 0

1. 3  2  24  6  0  0  4  0  22
   

• 3 0 4
  

bo’ladi.
3. Minor va algebraik to’ldiruvchilar.

^a11^a12 ^a13

1) 

^a21^a22 ^a23

determinantda i - satrni va

j - ustunni o’chirishdan

^a31^a32 ^a33

2- tartibli determinant hosil bo’ladi, bunga

^aij

elementga mos minor

deyiladi va M ij bilan belgilanadi. Masalan,

M 21 

^a12 ^a13

, M 22



^a11^a13

^a32 ^a33

^a31^a33

va boshqalar.

2. 
   
   a_ij elementning algebraik to’ldiruvchisi deb unga mos minorning
   

musbat yoki manfiy ishora bilan olingan kattaligiga aytiladi,bunda i  j

juft bo’lsa, musbat ishora bilan, i  j				toq bo’lsa manfiy ishora olinadi.
aijelementning algebraik to’ldiruvchisini					Aij bilan belgilanadi.
Demak,
							^а11^а13
А М	21		^а12 ^а13	, А  М	22	
21			^а32 ^а33	22			^а31^а33

bo’ladi va boshqalar.

4. Determinantlarning xossalari.
Determinantlar quyidagi xossalarga ega:

1. Determinantning barcha satridagi elementlarini mos ustun elementlari bilan almashtirilsa uning kattaligi o’zgarmaydi, ya’ni

   
   

^a11^a12 ^a13 ^a11^a21^a31


^a21^a22 ^a23 ^a12^a22^a32^.
a31^a32 ^a33 ^a13 ^a23 ^a33
2 1 0
1-misol. 1 3 2 246004022

• 3 0 4
  

bo’lib, bu determinantda barcha satrlarini mos ustunlar bilan almashtirsak,

2	1	 3
1 3 0			 24  6  0  0  4  0  22
0	 2	4

bo’ladi. Bundan ko’rinadiki, ikkala holda ham bir x il kattalik hosil bo’ldi, bu birinchi xossaning to’g’riligini ko’rsatadi.

2. Ikkita satr (ustun)ni o’zaro almashtirilsa determinant kattaligining ishorasi teskarisiga o’zgaradi; haqiqatan ham 1- misoldagi determinantda 1-satrini 3-satri bilan o’zaro almashtirsak,

   
   

 3 0 4

1. 3  2  0  0  4  24  0  6 28  6 22 2 1 0
   

bo’lib, bu 2-xossaning o’rinli ekanligini ko’rsatad i.

3. Ikkita bir xil satr (ustun)li determinant kattaligi no’lga teng; ikkita satri bir xil bo’lgan determinantni hisoblasak,

   
   

- 3 0 4

1. 3 - 2 = -36 + 0 + 0 + 36 - 0 - 0 = 0

   
   

• 3 0 4
  

bo’ladi, bu esa 3-xossaning to’g’riligini ko’rsata di.

4. Determinantning biror satr (ustun) ning hamma elementlarini m ¹0 songa ko’paytirilsa, uning kattaligi shu m songa ko’payadi.

Haqiqatan ham, 1-xossada keltirilgan determinantning 2-satri elementlarini 2 ga ko’paytirsak,

2	-1 0
2	6 - 4 = 48 -12 + 0 - 0 + 8 - 0 = 44

• 3 0 4
  

bo’lib, bu xossaning ham to’g’riligi ko’rinadi.

5. Determinantning ikkita satri (ustuni) elementlari o’zaro proporsional (mutanosib) bo’lsa, uning kattaligi no’lga teng, m isol uchun,

2 -1 1
6 - 3 3
0 - 2 1
determinant berilgan bo’lsin. Bu determinantning 1 va 2-satri elementlari o’zaro proporsional, uni hisoblasak
2 -1 1

6. - 3 3 = -6 + 0 -12 - 0 + 6 +12 = 0

   
   

0. - 2 1
   

bo’lib, bu esa 5-xossaning to’g’riligini ko’rsatadi .

6. Determinantning kattaligi, biror satri (ustuni) elementlarini unga mos algebraik to’ldiruvchilariga ko’paytirib qo’shilgan iga teng. 1-xossada keltirilgan misolni qaraymiz:

   
   

2 -1 0

1. 3 - 2
   

• 3 0 4
  

bu determinantni 3-satr elementlari bo’yicha yoyib yozsak,

	2 -1	0			-1 0		2	0		2	-1
	1 3 - 2			= -3 ×		- 0 ×			+ 4 ×			= -6 + 0 + 28 = 22
	- 3 0	4			3 - 2		1	- 2		1	3

kelib chiqadi, bu esa 6-xossaning ham o’rinli ekanligini ko’rsatadi.

7. Determinant biror satri (ustuni)ning har bir elementi ikkita qo’shiluvchidan iborat bo’lsa, u holda bu determinant ikkita determinant yig’indisiga teng bo’ladi, ya’ni

   
   

^ ^a11 ^ ^b1	^^a12 ^a13				^a11^a12 ^a13			^b1^a12 ^a13
 ^a21 ^ ^b2	^a22 ^a23 ^				^a21^a22 ^a23 ^			^b2 ^a22 ^a23 ^.
 a31  b3	^a32 ^a33				^a31^a32 ^a33^b3 ^a32 ^a33
Ushbu determinantni
			2	1	 3
			1	3	0
			0	 2	4

quyidagicha almashtiramiz:

		2			1	 3							2	1	 3				2	1	 3
		1			3			0					1	3	0				1 3		0
		 2  2 1 1 3  1											 2	1 3					2	1 1
keyingi ikkita determinantni hisoblasak,
				2	1	 3
				1 3		0			 18  0  3 18  3  0  0;
				 2	1	3

2	1	 3
1	3	0	 6  0  3 18 1  0  22;
2	1	1

1-xossadagi misoldan ma’lumki, u 22 ga teng edi, keyingi ikki determinant yig’indisi ham 22ga teng bo’ladi,bu esa 7-xossaning o’rinli ekanligini ko’rsatadi.

8. Determinantning biror ustini (satri) elementlariga boshqa ustini(satri)ning mos elementlarini istalgan umumiy ko’paytuvchiga ko’paytirib qo’shilsa, uning kattaligi o’zgarmaydi, ya’ni:

   
   

^a11^a12 ^a13			a11 + a12  a12
^a21^a22 ^a23 ^=			^a21 + ^a22  ^a22
^a31^a32 ^a33		a31 + a32  a32

Misol uchun,

^a13


^a23 ^.

2. 1 0
   

1. 3 - 2
   

• 3 04
  

determinantning 2-ustun elementlarini 2 ga ko’paytirib, 1-ustunning mos
elementlariga qo’shib, hosil bo’lgan determinantni hisoblasak:
		0	1	0			3	- 2		- -1×		7 - 2		7 3		7 - 2
		7	3	- 2		= 0 ×							+ 0 ×		=		= 28 - 6
		- 3	0	4			0	4				- 3 4		- 3 0		- 3 4

bo’ladi. Bu determinantning kattaligi 1- misolda hisoblaganimizdek 22 ga teng edi, bu esa 8-xossaning ham to’g’riligini ko’satadi ;

Determinantlarning xossalaridan foydalanish ko’p hollarda qulay hisoblashlarga olib keladi. Ushbu misolni qaraymiz.

12314 16536 20537

2-misol. D = 6157 8268 10268 determinantning kattaligini hisoblang.
513 689 126

Yechish. Bu determinantni uchburchak qoidasi bilan hisoblash ko’p xonali sonlar bo’lganligi uchun ancha noqulayliklarga olib keladi. Shuning uchun bu determinantni hisoblash uchun, uning xossalaridan foydalanishga urinamiz. Ikkinchi satr elementlarini -2 ga ko’paytirib 1-satr mos elementlariga qo’shamiz, bu holda ushbu determinant hosil bo’ladi :

0 0 1
D = 6157 8268 10268;

513 689 126

hosil bo’lgan determinantni 1- satr elementlari bo’ yicha yoyib,ushbuni

D = 0 × 8268 10268 + 0 × 6157 10268 +1× 6157 8268 = 6157 8268
689 126	513 126	513 689	513 689 (-12)

olamiz.Oxirgi determinant 2-satr elementlarini (-12) ga ko’paytirib 1-satr mos elementlariga qo’shib ushbu natijaga ega bo’lamiz:

6157 8268		=	10	= 1× 689 - 0 × 513 = 689.
513	689		513 689

Bu misoldan ko’rinadiki, determinantlarni hisoblashda uning xossalaridan foydalanish ancha qulayliklarga olib keladi.