O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi zahiriddin muhammad bobur nomli andijon davlat universiteti

1.1.10-misol. Musbat a,b va c sonlar uchun

tengsizlikni isbotlang.
Yechilishi. Tengsizlikning chap qismida shakl almashtirish bajarib uni quyidagi ko’rinishga keltiramiz.



(1.1.1)
Ikkita musbat son uchun o’rta arifmetik va o’rta geometrik qiymatlar orasidagi Koshi tengsizlikdan foydalanamiz.

Bu tengsizlikdan foydalanib (1.1.1) tengsizlikni xosil qilamiz.
1.4 O’rtacha qiymatlar va ular orasidagi munosobatlar.
1.O’rtacha qiymatlar musbat sonlar ketma ketligi uchun o’rta arifmetik qiymat


2.O’rta geometrik qiymat

3.O’rta kvadratik qiymat

4.O’rta garmonik qiymat larni aniqlaymiz.

Xususan x,y musbat sonlar uchun bu o’rta qiymatlar quyidagicha aniqlanadi.



Oʼrta arifmetik va o’rta geometrik qiymatlar haqida
Koshi tengsizligi va unining isboti.


1.1.2 Teorema. va tenglik faqat va faqat tenglik bo’lganda o’rinli.
Isboti.
ekanligini isbotlaymiz da Bu tengsizlik uchun ixtiyoriy musbat va sonlar uchun o’rinli bo’lgan )² tengsizlikdan oson hosil qilinadi. Berilgan tengsizlikni xtiyoriy n ta natural sonlar uchun to’g’ri deb, ta natural sonlar uchun to’g’riligini isbotlaymiz. Bu sonlar bo’lsin ularning orasida eng kattasi bo’lsin. Ya’ni,

Shuning uchun

quyidagicha belgilash kiritamiz:






bo’lgani uchun deb yozish mumkin, bu yerda U holda

Bu tenglikni ikkala qismini (n+1) – darajaga ko’tarib, quyidagini topamiz = = +

Farazga ko’ra, .…. Buni e’tiborga olib

_. …. .
Bundan

Tenglik =….. bo’lganda o’rinli bo’ladi. isbotlandi
1.1.11-misol. bo’lsa, tengsizlikni isbotlang.









.