O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi zahiriddin muhammad bobur nomli andijon davlat universiteti

Izoh 1. Yuqoridagi misolllardan
Max ekanligi kelib chiqadi.
1.1.15-misol. a, b,c bo’lsa ) tengsizlikni isbotlang.
Yechish:
3

1.1.16-misol. 6( )( ) isbotlang.
Yechish.

=

6( )(

Teng kuchli tengsizliklar


1.2.1.Ta’rif. Ikki tengsizliklarning har birining yechimi ikkinchisining ham yechimi bo’lsa, bunday tengsizliklarga teng kuchli (ekvivalent) tengsizliklar deyiladi.
Masalan, va tengsizliklar teng kuchli tengsizliklardir (chunki ularni ham ning 2 dan katta barcha qiymatlari qanoatlantiradi). Bu teng kuchli tengsizliklar kabi yoziladi.
Yechimga ega bo’lmagan tengsizliklar ham teng kuchli tengsizliklar deb ataladi. Masalan, va teng kuchli tensizliklardir.
Teng kuchli tensizliklarning xossalarini ifoda qiluvchi teoremalarni (isbotsiz) keltiramiz.
1.2.1-teorema. Tengsizlikning ikkala qismiga son yoki o’zgaruvchining barcha qiymatlari uchun aniqlangan ifoda qo’shilsa yoki ikkala qismidan ayrilsa, berilgan tengsizlikka teng kuchli tengsizlik hosil bo’ladi.
Masalan, tengsizlikning ikkala qismiga 1 ni qo’shsak,
tengsizlik berilgan tengsizlikka teng kuchli bo’ladi, ya’ni tengsizlikning har ikkala qismiga ni qo’shsak, berilganiga teng kuchli bo’lgan tengsizlik hosil bo’ladi, ya’ni

1.2.1.Natija. Sonning yoki o’zgaruvchili ifodaning ishorasini qarama-qarshisiga almashtirib, tengsizlikning bir qismidan ikkinchi qismiga o’tkazish mumkin.
tengsizlikning chap qismidagi o’ng qismga qilib, o’ng qismidagi ni chap qismga qilib o’tkazsak: yoki
1.2.2-teorema. Agar tengsizlikning ikkala qismi musbat songa yoki o’zgaruvchining barcha qiymatlarida faqat musbat qiymatlarni qabul qiladigan ifodaga ko’paytirilib (yoki bo’linib), berilgan tengsizlikka teng kuchli tengsizlik hosil bo’ladi.
Masalan, 1)

1. 
   
   

tengsizlikni ga ko’paytirsak, hosil bo’lgan tengsizlik tengsizlikka teng kuchli bo’la olmaydi, chunki ifoda o’zgaruvchi bo’lganda musbat emas ( ifoda bo’lganda manoga ega emas ). Haqiqatan ham, berilgan tengsizlikni qanoatlantiradi, ammo hosil bo’lgan tengsizlik bo’lganda ma’noga ega bo’lmaydi.
1.2.3-teorema. Agar tengsizlikning ikkala qismi manfiy songa yoki o’zgaruvchining barcha qiymatlarida faqat manfiy qiymatlarni qabul qiladigan ifodaga ko’paytirilib (yoki bo’linib), tengsizlikning belgisini qarama-qarshisiga almashtirilsa, berilgan tengsizlikka teng kuchli tengsizlik hosil bo’ladi.
1.2.1.Misollar.

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   
5. 
   
   
6. 
   
   
7. 
   
   
8. 
   
   
9. 
   
   

10)

Kasr chiziqli tengsizliklar.


Bunday tengsizliklarni yechishga doir misollar ko’ramiz:
1.3.1-misol. tengsizlikni yeching.
Yechish. Kasr musbat bo’lishi uchun surat va maxraj bir xil ishoraga ega bo’lishi kerak, ya’ni yo ularning ikkalasi musbat, yo ikkalasi manfi bo’lishi kerak. Demak, ikkita tengsizliklar sistemasiga ega bo’lamiz.
yoki
Birinchi sistemada topamiz:
ya’ni
Ikkinchi sistemadan topamiz:
ya’ni
Natijada berilgan tengsizlikning quydagi yechimlarini hosil qilamiz:

1.3.2-misol. tengsizlikni yeching.
Yechish. Birin-ketin quydagilarni topamiz.

Tengsizlikning ikkala qismini -1 ga ko’paytirib va bunda tengsizlik belgisi o’zgartirilib, quydagiga ega bo’lamiz:

Agar kasrning: 1) surati noldan kichik yoki nolga teng bo’lib, maxraji esa noldan katta bo’lsa; 2) surati noldan katta yoki nolga teng bo’lib, maxraji esa noldan kichik bo’lsa, kasr nolga teng yoki noldan kichik bo’ladi. Demak, tengsizliklarning ikkisistemasini hosil qilamiz:

Birinchi sistemadan topamiz:
ya’ni
Ikkinchi sistemadan topamiz:
tengsizlk sistemasi yechimga ega emas.
Demak, berilgan tengsizlikning yechimlar to’plami oraliqdan iborat ekan.
1.4.Bir o’zgaruvchili chiziqli tengsizlik.
1.4.1.Tarif. Bir o’zgaruvchili chiziqli tengsizlik deb (1) yoki ko’rinishdagi tengsizliklarga yoki soddalashtirilgandan so’ng yoki ko’rinishga keltirish mumkin bo’lgan tengsizliklarga aytiladi (bunda o’zgaruvchi, va o’zgarmas sonlar ).
Masalan, bir o’zgaruvchili chiziqli tengsizliklardir. 1. tengsizlikni grafik usulda yechish uchun funksiyaning grafigini chizamiz
Grafik oraliqda o’qning yuqorisiga joylashadi. Bu esa to’plamida funksiya musbat ekanligini bildiradi.shu sababli berilgan tengsizlikning yechimi to’plamdan iborat bo’ladi. Yechim koordinata to’g’ri chizig’ida sonli oraliq bilan tasvirlanad
2. Bir o’zgaruvchili chiziqli tengsizlikni tengsizliklarning teng kuchliligi haqidagi teoremadan foydalanib yechamiz. tengsizlikning har ikkala qismini ga ko’paytirib, ko’rinishdagi tegsizlikka keltirish mumkin bo’lgani uchun tengsizlikning har ikki qismiga ni qo’shsak, berilganiga teng kuchli tengsizlik hosil bo’ladi. Bunda bo’lsa, tengsizlikning har ikkala qismini ga bo’lib, unga teng kuchli tengsizlikni hosil qilamiz. Bu tengsizlikning va unga teng kuchli bo’lgan berilgan tengsizlikning yechimi to’plamdan iborat bo’ladi .
da bo’lsa, tenglikning har ikki qismini ga bo’lib, unga teng kuchli tengsizlikni hosil qilamiz. U holda yechim to’plamdan iborat bo’ladi.
1.4.1-misol. Tengsizlikni yeching:
Yechish: Qavislarni ochamiz: yoki

O’zgaruvchi bo’lgan hadlarni tengsizlikning chap qismiga, o’zgarmas bo’lgan sonlarni o’ng qismga o’tkazib, o’xshash hadlarni ixchamlaymiz: bundan . Jovob: .
1.4.2-misol. Tengsizlikni yeching:



Yechish: kasr manfiy bo’lish uchun uning maxraji manfiy bo’lishi kerak, ya’ni tengsizlikni yechsak: Jovob: .
Agar bir o’zgaruvchili kasr ko’rinishda bo’lib, kasr maxrajida noma’lum ishtirok etmasa, uni narmal ko’rinishga keltirish uchun quydagi ishlar qilinadi:

1. 
   tengsizlik butun ko’rinishga keltiriladi; 2) qavslar ochiladi; 3) noma’lumlar
   

tengsizlikning bir qismiga, ma’lumlar esa ikkinchi qismiga o’tkaziladi;4) o’xshash
hadlar iixchamlanadi; 5) tengsizlikning har ikkala qismi o’zgaruvchining koeffitsientiga bo’linadi (bo’linuvchi musbat son bo’lsa, tengsizlik belgisi saqlanadi, bo’linuvchi manfiy son bo’lsa, tengsizlik belgisi qarama-qarshisiga almashtiriladi).
1.4.3-misol. Tengsizlikni yeching:

Yechish. Tengsizlikning barcha hadlarini ga ko’paytirib yechamiz:


yoki Bunda yoki ya’ni Jovob: .
1.4.4-misollar.Tengsizliklarni yeching.




Kasr musbat bo’lishi uchun surat musbat bo’lishi kerak.
Jovob: 0,6
Kasr manfiy bo’lishi uchun maxraji manfiy bo’lishi kerak, ya’ni Jovob:

Jovob:


9) Jovob:
10)

Jovob:

Jovob:

Jovob:
1.5. Qo’sh tengsizliklarning xossalari va ular ustida amallar
1.5.1.Ta’rif. Qo’sh tengsizliklar deb yoki ko’rinishdagi tengsizliklarga aytiladi.
Qo’sh tengsizliklarning ba’zi asosiy xossalari bilan tanishaylik:
1.Agar bo’lsa bo’ladi, ya’ni .
2.Agar bo’lib, ixtiyoriy son bo’lsa, bo’ladi, ya’ni ixtiyoriy son )
3.Agar bo’lib, bo’lsa, yoki bo’ladi, ya’ni
4.Agar bo’lib, bo’lsa, yoki bo’ladi, ya’ni
1.5.2.Tarif. va yoki va tengsizliklarga bir xil ma’noli va yoki va tengsizliklarga esa qarama-qarshi ma’noli qo’sh tengsizliklar deyiladi.
Agar va bo’lsa, bo’ladi.
Masalan,



teengsizlik bilan tengsizliklarni qo’shish uchun ularni bir xil ma’noli qo’sh tengsizliklarga keltirish kerak,ya’ni






6.Agar va bo’lsa, bo’ladi.
va bo’lsa, bo’ladi.
Masalan,



Bir xil ma’noli tengsizliklarni ayirish uchun avval ularni qarama-qarshi ma’noli tengsizlik ko’rinishda yozib olib, so’ngra ayirish kerak.
7. Agar va bo’lsa, bo’ladi.
Masalan, va bo’lsa, yoki bo’ladi.
8. Agar va bo’lsa, bo’ladi. Ya’ni
9. Agar bo’lsa, bo’ladi, ya’ni

1.5.1Misollar.