O`zbekiston respublikasi oliy va

Kompakt operatorlarning asosiy xossalari

Chiziqli operatorning spektri va rezolventasi bo'limida ko'rsatildiki, chekli o`lchamli fazolarda aniqlangan A chiziqli operatorning spektri chekli sondagi xos qiymatlardan iborat. Chekli o`lchamli fazolarda aniqlangan chiziqli operatorlardan farqli o`laroq, cheksiz o`lchamli fazolardagi ixtiyoriy chiziqli operatorning spektrini to`la o`rganish ancha qiyin masaladir. Lekin ba'zi bir sinf operatorlarining spektrini biz to`laroq o`rganishimiz mumkin. Operatorlarning bunday sin kompakt operatorlar deb nomlangan. Bu sinf operatorlari o`zining xossalari bo`yicha chekli o`lchamli operatorlarga o`xshab ketadi va ularning spektri yetarlicha aniq izohlanadi. Shunday qilib biz bu bo'limda Hilbert fazolarida kompakt operatorlar, ularning asosiy xossalarini o'rgandik.
Hilbert fazolarida kompakt operatorlarni o'rganishda biz Banax fazosida aniqlangan kompakt operatorlar va ularning ba'zi xossalariga tayanamiz.
Bizga H Hilbert fazosi, uning x nuqtasi hamda {x_n}H ⊂ ketma-ketligi
berilgan bo`lsin.
Ta'rif. Agar ixtiyoriy y ∈ H uchun

lim (x_n, y) = (x, y)

n→∞

bo`lsa, {x_n} ketma-ketlik x ga kuchsiz yoki kuchsiz ma'noda yaqinlashuvchi

w
deyiladi va x_n
−→ x shaklda belgilanadi.

Ta'rif Agar
lim
n→∞


ǁx_n − xǁ = 0

bo`lsa, {x_n} ketma-ketlik x ga kuchli ma'noda yaqinlashuvchi deyiladi va x_n →

x shaklda belgilanadi.

Endi H Hilbert fazosida kuchsiz ma'nodagi nisbiy kompakt to`plam ta'ri ni beramiz.
Ta'rif. AgarM ⊂ H to`plamning ixtiyoriy {x_n} ketma-ketligidan kuchsiz ma'noda yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin bo`lsa, M ga
kuchsiz ma'nodagi kompakt to`plam deyiladi. Quyidagi tasdiqni isbotsiz keltiramiz.
Teorema.** M ⊂ H to`plam kuchsiz ma'noda kompakt bo`lishi uchun uning chegaralangan bo`lishi zarur va yetarlidir.
Biz har qanday chegaralangan to`plamni nisbiy kompakt to`plamga akslantiruvchi A operatorni kompakt operator deb atadik.
(**)teoremaga ko`ra H dagi hamma chegaralangan to`plamlar (va faqat
ular) - kuchsiz kompakt. Demak, Hilbert fazosidagi kompakt operatorlarni har qanday kuchsiz kompakt to`plamni nisbiy kompakt to`plamga o`tkazuvchi operator sifatida aniqlash mumkin. Va nihoyat, ayrim hollarda Hilbert fazosidagi operatorlarning kompaktligini tekshirishda quyidagi ta'rif qulay.
Ta'rif. Agar H Hilbert fazosida aniqlangan A operator har qanday kuchsiz yaqinlashuvchi ketma-ketlikni kuchli yaqinlashuvchi ketma-ketlikka akslantirsa, u holda A kompakt operator deyiladi.
Haqiqatan ham, bu shart bajarilgan bo`lsin va M ⊂ H chegaralangan to`plam bo`lsin. M to`plamning har qanday cheksiz qism to`plami o`zida kuchsiz yaqinlashuvchi ketma-ketlikni saqlaydi. Agar bu ketma-ketlik A operator ta'sirida kuchli yaqinlashuvchi ketma-ketlikka o`tkazilsa, u holda A(M ) -nisbiy kompakt.
Aksincha, A-kompakt operator va {x<sub>n</sub>} ketma-ketlik x elementga kuchsiz ma'noda yaqinlashsin. U holda {Ax<sub>n</sub>} ketma-ketlik o`zida kuchli yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlikni saqlaydi. Shu bilan birga {Ax_n} ketma-ketlik, A ning
uzluksizligiga ko`ra, Ax ga kuchsiz yaqinlashadi. Bu yerdan kelib chiqadiki,