O`zbekiston respublikasi oliy va

Murr bahosi

Ta'rif(Murr bahosi) o'z-o'ziga qo'shma bo'lgan H operator ∆ intervalda Murray bahosini qanoatlantiradi deyiladi.Agar quydagi 2 ta shartni qanoatlantiruvchi o'z-o'ziga qo'shma operatorlar mavjud bo'lsa,

1. 
   H va A operatorlar 1 2^j shartlarni qanoatlantiradi.
   
2. 
   Shunday musbat 2 son va kompakt K operator mavjudki, bunda quydagi tengsizlik o'rinli
   

E_∆[H, iA]E_∆ “ aE_∆ + K. (4)
Bu yerda E_∆ = E_∆(H) H operatorning ∆ intervalga mos spektral proektori.
Agar λ ni o'z ichiga oluvchi ∆ interval mavjud bo'lib, bu ∆ da H
operator Murray bahosini qanoatlantirsa, H operator λ ∈ R nuqtada Murray bahosini qanoatlantiradi deyiladi. Ushbu bo'lim yakunida Murray bahosi orqali Shryodinger operatoriga o'tishning 4 ta misol keltiramiz.

1. 
   misol (Ikki qismli potensiallar) L²(R^v) da H₀ = −∆ operator berilgan.
   

A-generator kuchlanishi.Bunda A = (x· D + D · x)/2i. D− gradiend operatori.
bunda Df = ∇f . Biz quydagi tenglikdan foydalanamiz.
[H₀, iA] = 2H₀
Yuqoridagi tenglikdan H₀ operator nolni o'z ichiga oladigan ixtiyoriy
∆ intervalda Murray bahosini qanoatlantirishini topamiz. Xuddi shiningdek
xulosa H = H₀ + V operator uchun ham o'rinli ekanligini ko'rsatamiz. Bunda
V operator quyidagi ikki shartni qanoatlantiradi.

1. 
   V (−∆ + I)⁻¹ operator kompakt
   
2. 
   (−∆ + I)⁻¹x · ∇V (−∆ + I)⁻¹ operator kompakt
   

C₀^∞(R^v) ⊂ D(H) ∩ D(A), munosabatdan 1-shart bajarilishini topamiz.
Bundan tashqari
[H, iA] = 2H₀ − x · ∇V, (5)
(3) va (ii) shartlardan 2^j shartni to'g'riekanligini topamiz. (3) tenglikdan
quydagi hisob kelib chiqadi.
E_∆[H, iA]E_∆ = 2E_∆HE_∆ + E_∆WE_∆,
bu yerda W = 2V + 2∇V . Masala shartiga ko'ra E_∆WE_∆ operator ixtiyoriy chekli ∆ intervalda 0 nuqtadan pastda bo'lsa, u holda E_∆ va E_∆HE_∆ operatorlar kompakt bo'ladi, hamda (i) shartdan σ_ess(H) = σ_ess(H₀) = [0, ∞)
bajariladi. Agar a > 0 ∆ = (a, b) kesma bo'lsa, u holda E_∆HE_∆ “ aE_∆ tenglik bajariladi. Bundan kelib chiqadiki, Murray bahosi to'g'ridan to'g'ri tengsizlik o'rinli. Bu holda Murray bahosi o'rinliligini ko'rish qiyin emas.

2. 
   
   dx²
   misol (Froese-Herbst). L²(R) fazoda H = − ^d2
   

+ V operatorni qaraymiz.

Bunda