O`zbekiston respublikasi oliy va

I BOB. Hilbert fazosidagi operatorlar spektri

1. Hilbert fazosi haqida asosiy tushunchalar

Putnam nazaryasi bilan tanishishdan avval, biz quyida ularga asoslanadigan asosiy tushunchalarni kiritamiz.

Ta'rif. Cheksiz o'lchamli to'la Evklid fazosi Hilbert fazosi deyiladi.
Shunday qilib, ixtiyoriy tabiatli f, g, ϕ, ... elementlarning H to`plami Hilbert fazosi bo'lsa, u quyidagi uchta shartni qanoatlantiradi:

1. 
   
   √
   H Evklid fazosi, ya'ni skalyar ko`paytma kiritilgan chiziqli fazo;
   

2. 
   ρ(x, y) = (x − y, x − y) metrika ma'nosida H to'la fazo;
   
3. 
   H fazo - cheksiz o'chamli, ya'ni unda cheksiz elementli chiziqli erkli sistema mavjud.
   

Odatda separabel Hilbert fazolari qaraladi, ya'ni H ning hamma yerida. zich bo'lgan sanoqli to'plam mavjud.
Misol C₂[a, b] Evklid fazosi to`la emas. Shuning uchun C₂[a, b] Hilber fazosi
bo'la olmaydi.
Misol. l₂ va L₂[a, b] lar cheksiz o'lchamli to'la separabel Evklid fazolaridir.
Shuning uchun ham ular Hilbert fazolari bo'ladi.
Ta'rif. Agar E va E^∗ Evklid fazolari o'rtasida o'zaro bir qiymatli moslik o'rnatish mumkin bo'lib,


x → x^∗, y → y^∗, x, y ∈ E, x^∗, y^∗ ∈ E^∗

ekanligidan

x + y ↔ x^∗ + y^∗, λx ↔ λx^∗ va (x, y) = (x^∗, y^∗)
munosabatlar kelib chiqsa, E va E^∗ lar izomorf fazolar deyiladi.
Boshqacha aytganda, Evklid fazolarining izomor igi shundan iboratki, bu fazolar o'rtasida o'zaro bir qiymatli moslik mavjud bo'lib, bu moslik shu fazolardagi chiziqli amallarni va ulardagi skalyar ko'paytmani saqlaydi. Ma'lumki, n o'lchamli ixtiyoriy ikkita Evklid fazosi o'zaro izomorfdir. Cheksiz
o'lchamli Evklid fazolari o'zaro izomorf bo'lishi shart emas. Masalan l₂ va
C₂[a, b] fazolar izomorf emas, chunki l₂ to'la, C₂[a, b] esa to'la emas.
Quyidagi teorema o'rinli.

Isbot. Ixtiyoriv H Hilbert fazosini l₂ fazoga izomor igini ko'rsatamiz. Teorema1. Ixtiyoriy ikkita separabel Hilbert fazosi o'zaro izomorfdir.

Agar shuni ko'rsatsak, teorema isbot bo'lgan bo'ladi. H Hilbert fazosidan

koe tsiyentlari bo'lgan c₁, c₂, ..., c_n, ... ketma-ketlikni mos qo'yamiz. Bessel ixtiyoriy to'la ortonormal sistemani olamiz va f ∈ H elementga uning Furye tengsizligiga ko`ra,

Σ _2c
∞
_n < ∞
n=1
Shuning uchun c = (c₁, c₂, ..., c_n, ...) ketma-ketlik l₂ fazoning elementi bo'ladi. Teskarisi, Riss-Fisher teoremasiga ko'ra, l₂ fazoning ixtiyoriy c = (c₁, c₂, ..., c_n, ...) elementiga H fazoning yagona f elementi mos keladi va uning Furye koe tsiyentlari bo'lib, c₁, c₂, ..., c_n, ... sonlar xizmat qiladi. O'rnatilgan
bu moslik o'zaro bir qiymatlidir. Agar
f ↔ c = (c₁, c₂, ..., c_n, ...) va g ↔ d = (d₁, d₂, ..., d_n, ...)
bo'lsa, u holda
f + g ↔ c + d = (c₁ + d₁, c₂ + d₂, ..., c_n + d_n, ...)
va
af ↔ ac = (ac₁, ac₂, ..., ac_n, ...).
Nihoyat Parsevel tengligidan



Σ
∞
(f, g) = c_nd_n = (c, d)
n=1
ekanligi kelib chiqadi. Haqiqatdan ham,

∞ ∞

n=1

n

n=1

n
(f, f ) = ^Σ c² , (g, g) = ^Σ d²
(1)

va

∞ ∞ ∞ ∞

n=1

n=1

n

n=1

n=1

n
(f +g, f +g) = (f, f )+2(f, g)+(g, g) = ^Σ(c_n+d_n)² = ^Σ c² +2 ^Σ c_nd_n+^Σ d² .
Bu yerdan va (1) tenglikdan



Σ
∞
(f, g) = c_nd_n = (c, d).
n=1
Shunday qilib, biz o'rnatgan moslik izomor zm ekan, ya'ni bu moslik chiziqli
amallari va skalyar ko'paytmani saqlaydi.

aniqligida faqat l₂ Hilbert fazosi mavjud ekan. Boshqacha aytganda, l₂ fazo Isbotlangan teoremadan shunday xulosa keiib chiqadiki, izomor zm H Hilbert fazosining koordinat ko'rnishi desak bo'ladi.

2. Chiziqli operator spektri va rezolventasi.

Operatorlar nazariyasida spektr tushunchasi eng muhin tushunchalardan biridir. Chiziqli operator spektrini o'rganish matematik zika uchun muhimdir. Masalan, kvant mexanikasida sisterna Hamiltoniani - bu Hilbert fazosidagi o'z-o'ziga qo'shma operatordir, uning spektrini o'rganish sistema zik xususiyatiarini o'rganish uchun muhimdir. Dastlab biz Hilbert fazosida qo'shma operatorlarni qarab o'tamiz.

Ma'lumki, Hilbert fazosiga qo'shma fazo uning o'ziga izomorf, ya'ni H = H∗ (tcnglik izomor zm ma'nosida). Shuning uchun Hilbert fazolarida qo'shma operatorlar xossalarini o'rganish ancha qulay.
Ta'rif. H Hilbert fazosi va A ∈ L(H) operator berilgan bo'lsin. Agar biror
A∗ : H → H operatorning ixtiyoriy x, y ∈ H lar uchun

(Ax, y) = (x, A^∗y)

tenglik o'rinli bo'lsa, A^∗ operator A ga qo `shma operator deyiladi.

Hilbert fazosi holida A va A^∗ operatorlar aynan bitta fazoda aniqlangani uchun, ba'zan A = A^∗ tenglik ham o'rinli bo'lishi mumkin.
Ta'rif. Agar A = A^∗ bo'lsa, ya'ni ixtiyoriy x, y ∈ H uchun (Ax, y) =
(x, Ay) tenglik o'rinli bo'lsa, A operator o'z-o'ziga qo'shma operator deyiladi.


Ta'rif. Bizga A : H → H chiziqli operator va H₀ ⊂ H qism fazo berilgan bo'lsin. Agar ixtiyoriy x ∈ H₀ uchun Ax ∈ H₀ bo`lsa, u holda H₀ qism fazo A
operatorga nisbatan invariant qism fazo deyiladi.

lemma. Bizga A : H → H chiziqh operator va H₀ ⊂ H qism fazo berilgan bo'lsin. Agar H₀ qism fazo A operatorga nisbatan invariant bo'lsa, u holda uning

ortogonal to'ldiruvchisi bo'lgan H₀^⊥
⊂ H qism fazo A^∗ operatorga nisbatan

invariant bo'ladi.
Isbot. Haqiqatdan ham, agar y ∈ H₀ bo'lsa, u holda ixtiyoriy x ∈ H₀ uchun
(A^∗y, x) = (y, Ax) = 0, chunki Ax ∈ H₀. Demak, A^∗y ∈ H₀.
Xususiy holda, agar A = A^∗ bo'lsa, u holda A(H₀) ⊂ H₀ ekanligidan

A(H₀^⊥) ⊂ H₀^⊥
ekanligi kelib chiqadi.

Hilbert fazosida qo'shma operatorlar quyidagi xossalarga ega:
lemma. Agar A, B ∈ L(H) bo'lsa, u holda 1) (aA + βB)^∗ = aA^∗ + βB^∗,
2) (AB)^∗ = B^∗A^∗,
3) (A^∗)^∗ = A tengliklar o`rinli. Isbot. Birinchi tenglikni isbotlaymiz:


((aA + βB)x, y) = (aAx + βBx, y) = a(Ax, y) + β(Bx, y) =

= a(x, A^∗y) + B(x, B^∗y) = (x, aA^∗y) + (x, βB^∗y) = (x, (aA^∗ + βB^∗)y).

Bundan (aA + βB)^∗ = aA^∗ + βB^∗ tenglik kelib diiqadi.

2) ni isbotlaymiz:
((AB)x, y) = (A(Bx), y) = (Bx, A^∗y) = (x, B^∗A^∗y).

Bundan (AB)^∗ = A^∗B^∗ tenglik kelib diiqadi.

Endi biz spektr tushunchasini dastlab chekti o`lchamli fazolardagi chiziqli operatorlar uchun eslatamiz.
Faraz qilaylik, A : Cⁿ ∈ Cⁿ chiziqli operator berilgan bo'lsin. Agar biror
λ ∈ C son uchun


Ax = λx

tenglama nolmas x ∈ Cⁿ yechimga ega bolsa, u holda λ son A operatorning xos qiymati deyiladi, unga mos keluvchi nolmas x yechim esa xosvektor deyiladi. Malumki, har bir A : Cⁿ → Cⁿ chiziqli operatorga {a_ij} − n × n matritsa mos keladi va aksincha. Chiziqli algebra kursidan ma'lumki, agar λ son A operatorning xos qiymati bolsa, det(A − λI) = 0 bo'ladi va aksincha. n × n
matritsa determinanti det(A − λI), parametr λ ning n darajali ko'phadi bo'ladi va det(A − λI) = 0 tenglama ko`pi bilan n ta ildizga ega, ya'ni A : Cⁿ ∈ Cⁿ chiziqli operator ko'pi bilan n ta xos qiymatga ega. Agar λ
son A operatorning xos qiymati bo'lsa A − λI ga teskari operator mavjud emas va aksincha. Agar λ son A operator uchun xos qiymat bo'lmasa, ya'ni det(A − λI) =ƒ 0 bo'lsa, u bolda A − λI ga teskari operator mavjud va u Cⁿ fazoning hamma yerida aniqlangan bo'ladi.
Teorema. A : Cⁿ ∈ Cⁿ chizli operator chegaralangandir.
I s b o t. Cⁿ fazoda e₁, e₂, ..., e_n ortonormal bazisni tanlayimiz. U holda har bir x ∈ Cⁿ vektor yagona usulda



Σ
n
x = x_ie_i
i=1
ko'rinishda tasvirlanadi. Agar A operator Cⁿ da aniqlangan chiziqli operator
bo'lsa, u holda

Σ
n
Ax = x_iAe_i
i=1
bo'ladi. Shunday ekan, chiziqli operator o'zining e₁, e₂, ..., e_n bazis vektorlardagi
qiymatlari bilan bir qiymatli aniqlanadi. Endi Ax ning normasini baholaymiz:

n ^. n
Σ¹ . _n Σ¹

2


2

ǁAǁ ™
Σi=1
|x_i|ǁAe_iǁ ™
Σi=1
|x_i|
2

Σ
i=1
ǁAǁ
2
™ M · ǁxǁ.

Bu yerda


n
M =
i=1

1
2

._Σ

2

Σ
ǁAǁ

Demak, chekli o'lchamli fazoda aniqlangan har qanday chiziqli operator
chegaralangan bo'lar ekan.
Yuqorida aytilganlarning natijasi sifatida shuni ta'kidlash lozimki, chekli o'lchamli fazolardagi chiziqli operatorlar uchun quyidagi ikki holat sodir bodishi mumkin:

1. 
   λ son uchun Ax = λx tenglama nolmas yechimga ega, ya'ni λ son A operator uchun xos qiymat, bu holda A¯λI ga teskari operator mavjud emas;
   
2. 
   λ son uchun Cⁿ fazoning hamma yerida aniqlangan (Ax = λx)⁻¹ operator
   

mavjud va demak, chegaralangan.
Chekli o'lchamli fazolarda chiziqli operatorning xos qiymatlari to'plami operatorning spektri deyiladi. Agar λ ∈ C son A operator uchun xos qiymat bo'lmasa, u A operatorning regulyar nuqtasi deyiladi. Umuman aytganda, chekli 0'lchamli fazolarda spektr termini kam ishlatiladi.
Agar A operator cheksiz o'lchamli X fazoda berilgan bo'Isa, u holda yuqorida keltirilgan 1 va 2 holatlardan farqli bo'lgan uchinchi holat ham bo'ladi, ya'ni:

3. 
   (A − λI)⁻¹ operator mavjud, ya'ni Ax = λx tenglama faqat nol yechimga ega, lekin (Ax = λx)⁻¹ operator X ning hamma yerida aniqlanmagan yoki
   

Im(A − λI) ƒ= X.


Ta'rif Agar λ ∈ C son uchun Ax = λx ga teskari operator mavjud bo'lib, u
X ning hamma yerida aniqlangan bolsa, λ soni A operatorning regulyar nuqtasi

deyiladi,
R_λ(A) = (A − λI)⁻¹

operator esa A operatorning λ nuqtadagi rezolventasi deyiladi. Barcha regulyar
nuqtalar to'plarmi ρ(A) orqali, belgilanadi.
Ta'rif. A operatorning regulyar bo'lmagan barcha nuqtalari, to`plami A
operatorning spektri deyiladi va u σ(A) orqali belgilanadi.
Ta'rif. Agar biror λ ∈ C son uchun (A−λI)x = 0 tenglama nolmas (x ƒ= 0) yechimga ega bolsa, λ son A operatorning xos qiymati deyiladi. nolmas yechim x esa xos vektor deyiladi.
Ko'rinib turibdiki, barcha xos qiymatlar to'plami spektrda yotadi, chunki λ
xos qiymat bo'lsa, A − λI operatorning teskarisi mavjud emas.
Spektr quyidagi qismlarga ajratiladi
Ta'rif a) Barcha xos qiymatlar to'plami A operatorning nuqtali spektri deyiladi va σ_pp(A) bilan belgilanadi.
b) Agar λ xos qiymat bo'lmasa va Im(A − λI) ƒ= X, ya'ni A−λI operatorning qiymatlar sohasi X ning hamma yerida zich emas. Bunday λ lar to'plami A operatorning qoldiq spektri, deyiladi va σ_qol(A) bilan belgilanadi.
Endi o'z-o'ziga qo'shma operatorlar uchun muhim spektr ta'ri ni keltiramiz.
Ta'rif Agar biror λ ∈ σ(A) son uchun nolga kuchsiz yaqinlashuvchi f_n ∈ H
birlik vektorlar ketma-ketligi mavjud bo'lib

lim
n→∞
ǁ(A − λI)f_nǁ = 0

bo`lsa, u holda λ son A = A^∗ operatorning muhim spektriga qarashli deyiladi.
A operatorning muhim spektri σ_ess(A) bilan belgilanadi.
Operatorning nuqtali va qoldiq spektrlari o'zaro kesishmaydi. Nuqtali va

muhim spektrlar o'zaro kesishishi mumkin.
Teorema Agar A ∈ L(X) va |λ| > ǁAǁ bo'lsa, u holda λ regulyar nuqta bo'ladi
Isbot. A¯λI operatorni quyidagicha yozib olamiz:
1
A − λI = −λ(I − _λA) (2)



λ

λ
Teorema shartidan ¹ A operatorning normasi 1 dan kichik ekanligi kelib chiqadi. Teskari operatorlar kursidan malumki I − ¹ A operatorning
chegaralangan teskarisi mavjud. Bundan va (2) tenglikdan A−λI operatorning teskarisi mavjud va chegaralangan ekanligi kelib chiqadi.
Shunday qilib, chegaraiangau A : X → X operatorning spektri markazi koordinatalar boshida va radiusi ǁAǁ ga teng yopiq doirada saqlanar ekan.
Teorema. Agar A ∈ L(X) bo'lsa, u holda σ(A) yopiq to'plamdir. Teoremani isbotlash uchun yana bir teoremani keltiramiz.
Teorema.* M to'plam ochiq bo'lishi uchun uning butun fazogacha to'ldiruvchisi X\M yopiq bo'lishi zarur va yetarli.

T
Isbot. Zaruriyligi. M ochiq to'plam bo'lsin. u holda M dan olingan har bir x nuqta o'zining biror O_ε(x) atro bilan M ga tegishli bo'ladi, ya'ni O_ε(x) (X\M ) = ∅. Shuning uchun X\M ga tegishli bo'lmagan nuqta X\M uchun urinish nuqtasi bo'la olmaydi, ya'ni X\M yopiq to'plam.
Yetarliligi. X\M yopiq to'plam bo'lsin. U holda uning o'ziga tegishli bo'lmagan urinish nuqtasi yo'q, ya'ni har bir x uchun shunday O_ε(x) atrof mavjud bo'lib, O_ε(x) ⊂ M bo'ladi. Demak, M ochiq to'plam.
Bu malumotlardan yuqoridagi (*) teoremani isbotini keltiramiz.
Isbot. Operatorning spektri ρ(A) regulyar nuqtalar to'plamining to'ldiruvchi
to'plami bo'lgani uchun, ρ(A) ning ochiq to'plam ekanligini ko'rsatish yetarli.

mavjud va chegaralangan bo'lsin. U holda barcha δ, δ < (ǁA − λIǁ)⁻¹ lar Endi λ ∈ ρ(A) ixtiyoriy nuqta bo'lsin, ya'ni A − λI operatorning teskarisi uchun A − λI − δI operatorning ham

λI)⁻¹|)⁻¹ > 0 atro bilan ρ(A) ga qarashli ekan. Bu esa λ nuqtaning ρ(A) chegaralangan teskarisi mavjud. Demak, λ ∈ ρ(A) nuqta o'zining ε = (|(A− to'plam uchun ichki nuqta ekanligini bildiradi. λ ning ixtiyoriyligidan ρ(A)
ning ochiq to'plam ekanligi kelib chiqadi. Demak, (*) teoremaga ko'ra σ(A) =
C\ρ(A) yopiq to'plam. Quyidagi tasdiqni esa isbotsiz keltiramiz.
Teorema A ∈ L(H) oz-oziga qoshma operator bo'lsin, u holda:

1. 
   σ_qol(A) bo'sh to'plam.
   
2. 
   σ(A) to'plam R ning qismi, ya'ni σ(A) ⊂ R.
   
3. 
   A operatorning har xil xos qiymatlariga mos keluvchi xos vektorlari o'zaro ortogonaldir.
   

3.