O`zbekiston respublikasi oliy va

Uzluksiz spektrda xos sonlar chekli bo'lishining yetarli shartlari.

Murra bahosining birinchi tadbiqi bu Murra teoremasi hisoblanadi. Agar H operator ∆ intervalda Murra bahosini qanoatlantirsa, u holda H operatorning nuqtali spektri shu ∆ intervalda chekli bo'ladi. Buni isbotlash uchun Bizga
faqatgina teorema viriala kerak bo'ladi. Viriala teoremaga ko'ra H operatorning ixtiyoriy xos funksiyasi uchun (ψ[H, iA]ψ) = 0 tenglik bajariladi. Formal nuqtai nazardan bu A kommutator ta'ri dan oson kelib chiqadi. Ammo agar H va A chekli bo'lmasa, u holda ehtiyot bo'lishga to'g'ri keladi. Sababi ψ ƒ∈

D(A) bo'lmay qolishi mumkin. A operatorni regulyarizatsiya qilish uchun bizga quydagi lemma kerak bo'ladi.
Lemma. H va A 1, 3 shartlarni qanoatlantiruvchi operatorlar hamda {H_k} fazolar to'plami H ga assosativ bo'lgan fazolar bo'lsin. R_λ(iA + λ), λ ƒ= 0 ni quydagicha aniqlaymiz. U holda R_λ : H_k → H_k operator yetarlicha katta |λ| larda

− _|
s lim
λ|→∞
R_λ = I

shart ostida tekis chegaralangan bo'ladi. H_k uchun k = −2, −1, 0, 1, 2

(bu yerda H₀ = H).
Isboti Biz lemma isbotini H₊₂ uchun isbotlaymiz. Ikkilamchi fazo xossasiga ko'ra yetarlicha katta |λ| larda R_λ : H₋₂ → H₋₂ operator tekis chegaralangan bo'ladi. Boshqa H_k fazolar uchun tekis chegaralanganlik interpolatsiya
yordamida hosil qilinadi. H₊₂ H_j da zich bo'lganligi sababli H_j fazolarning barchasida tekis chegaralanganlik bo'lganligi uchun hamda H₊₂ da kuchli yaqinlashish bo'lganligi uchun H_j da kuchli yaqinlashish kelib chiqadi. H₀ 3- shartdagi operator bo'lsin. Biz H₀ operatorni ham regulyarizatsiya qilamiz. ϕ ∈ H₊₂ bo'lsa, u holda
(H₀+i)(I+iεH₀)⁻¹R_λϕ = R_λ(H₀+i)(I+iεH₀)⁻¹ϕ+[(H₀+i)(I+iεH₀)⁻¹, R_λ]ϕ
ǁR_λǁ = 1 ekanligidan,
ǁR_λ(H₀ + i)(I + iεH₀)⁻¹ϕǁ ™ ǁ(H₀ + i)ϕǁ.
Bundan esa quydagilar kelib chiqadi.
[(H₀ + i)(I + iεH₀)⁻¹, R_λ] = (iA+_λ)⁻¹[(H₀ + i)(I + iεH₀)⁻¹, iA]R_λ =

(iA + λ)⁻¹[−iε⁻¹(iεH₀ + 1 − ε − 1)(I + iεH₀)⁻¹, iA]R_λ =