O`zbekiston respublikasi oliy va

V (x) = k₀
sin(2x)
_x + V₁(x),

Bu yerda V₁ operator 1-misoldagi shartlarni qanoatlantiradi. Biz

1
A = (
2i
d d
x + x x) dx dx

operator uchun 0 va 1 dan boshqa barcha nuqtalarda Murray bahosini o'rinli ekanligini uzluksiz spektrda xos qiymatlar yo'qligini isbotlashda qo'llash mumkin bo'lganligi uchun, V ga o'xshash potensial mavjudki, uning uchun

potensiali deyiladi. Osonlik bo'lishi uchun k₀ = 1 deb olamiz. Umumiy holda Shryodinger operatori 1 ga xos qiymatga ega. Bu potensial Viger-fon Neyman ham xuddi shunday bo'ladi. Osongina tekshirish mumkin. 1 va 2^j shartlar
bajariladi.

= −
f_∆ ∈ C₀^∞(R) funksiya ∆ intervalning silliqlangan xarakteristik funksiyasi

bo'lsin. 1-misoldan kelib chiqadiki, agar 0 ƒ∈ ∆ bo'lsa, H₀
uchun
_d2
dx²
operator

∆
f_∆(H₀ + V₁)[H, iA]f_∆(H₀ + V₁) “ af ² (H₀ + V₁)+

x
+K + f_∆(H₀ + V₁)[^sin(2x) , iA]f_∆(H₀ + V₁)
o'rinli. Bu yerda a > 0 va K kompakt operator. Malumki
(H₀ + I)⁻¹[H, iA](H₀ + I)⁻¹
operator chegaralangan. Bundan esa quydagi tengsizlik o'rinli bo'ladi.

∆
f_∆(H₀ + V₁)[H, iA]f_∆(H₀ + V₁) “ af ² (H)+

+K^j + f_∆
(H₀
+ V₁
sin(2x)
)[ , iA]f_∆ x
(H₀
+ V₁
) (6)

Bu yerda K^j kompakt. Agar biz ixtiyoriy λ ƒ= 1 son uchun (4) da oxirgi qo'shiluvchi yetarlicha kichik ∆ intervalda kompakt ekanligini ko'rsatsak,
masala yechilgan hisoblanadi. Haqiqatdan ham λ ƒ∈ {0, 1} f_∆ funksiyani
∆^j ⊂ ∆ intervalda aniq 1 ga teng qilib olish mumkin. (4) tenglikni har ikkila
tara ni E_∆^j ko'paytirish yordamida Murray bahosini olish mumkin. Demak quydagi formula o'rinli, [x⁻¹sin(2x), iA] = 2cos(2x) − x⁻¹sin(2x). Osongina
ko'rish mumkinki,
f_∆(H₀ + V₁)x⁻¹sin(2x)f_∆(H₀ + V₁)− kompakt operator bo'ladi. f_∆(H₀ + V₁) −
f_∆(H₀) operator kompaktliligidan λ = 1 sonning yetarlicha kichik atro da

f_∆(H₀ +V₁)cos(2x)f_∆(H₀) operator kompaktliligini ko'rsatish kerak. Ammo bu
operator yadrosini quydagicha yaqqol implus fazosi ko'rinishida yozish mumkin.

f_∆(H₀
+V₁
)cos(2x)f_∆
(H₀
)(p, p^j) = ¹ f
₂ ∆
(p²)[δ(p−p^j +2)+δ(p−p^j − 2)]f_∆
(p^j2).

Bu tenglik λ ƒ= 1 ni o'z ichiga olmaydigan ixtiyoriy yetarlicha kichik
∆ intervalda aynan nolga teng bo'ladi. Chunki (p, p^j) ∈ supf_∆ ga tegishli,

qachonki |p − p^j| =

2. 
   bo'lganda.
   

Misol 3 Elektr maydonlarini o'rganishda ko'chirishlar gruppasi qanday ro'l o'ynsa, boshqacha ko'rinishdagi Shryodinger operatorlarini o'rganishda qisish

dx
yoki cho'zish gruppasi xuddi shunday ro'l o'ynaydi. Bu misolda A = ^id −

dx²
surushlar generatori H esa H = − ^d2
+ V (x) + Fx elektrmaydon uchun bir

T
V potensial C¹ sinfga tegishli ya'ni hosilasi ham uzluksiz di erensiallanuvchi o'lchovli gamiltonian bo'ladi. Bu yerda F > 0 maydonning kuchlanishi hamda ko'rganimiz kabi, C₀^∞(R) ⊂ D(H) D(A) hamda C₀^∞(R) H₊₂ da zich hamda chegaralangan tekis uzluksiz birinchi hosilaga ega. Birinchi misolda to'plamdir. Bundan tashqari [H, iA] = V ^j +F chegaralangan operator. Bundan
kelib chiqadiki 1 va 2^j shartlar bajariladi. Endi quydagi tenglikdan
E_∆[H, iA]E_∆ = FE_∆ + E_∆V ^jE_∆
Agar oxirgi qo'shiluvchi kompakt bo'lsa, Murra bahosi o'rinli bo'ladi.
Qaralayotgan tipdagi operatorlarni spektrini absolyut uzluksizligi turli xil boshqacha metodlar yordamida isbotlangan. Murra metodi esa, bir qancha qo'shimcha malumotlarni olishni imkonini beradi.
L²(R^v) fazoda bo'lganda ∇V → 0 ga intiladi. Yuqorida aytilgan barcha xulosalarimizni H = −∆+V +F ·x va A = iF ·D

tashlanadi hamda bu H operator L²(R^(N−1)µ) fazoda aniqlanadi. Faraz qilaylik Misol 4 H− bu N qismli gamiltonian bo'lsin bunda massa markazi chiqarib har bir V_ij potensiallar juftligi 1 misoldagi (i) va (ii) shartlarini qanoatlantirsin.
U holda A = (x · D + D · x)/2i bo'lganda H operator ixtiyoriy birorta parog bilan ustma ust tushmaydigan Murra bahosiga bo'ysunadi.

3. Singular uzluksiz spektrning mavjud bo'lmaslik shartlari

Bu bo'limda biz H operatorning Murra bahosi o'rinli bo'ladigan to'plamlardagi singular uzluksiz spektrning mavjud bo'lmasligini isbotini ko'ramiz. Bu natija yordamida biz singular uzluksiz spektrni qandaydir A operatorni tanlash hisobiga Murra bohosini tekshirib keltirishga erishamiz. Bu teoremaning isbotlash strategiyasi Murraga tegishli. Perri, Sigal va Saymonlar esa o'zlarining ishlarida ularni umumiy operatorlarga qo'llagan.
Biz quyidagini ko'rsatamizki, H operator (2) tenglik o'rinli bo'ladigan to'plamda va K = 0 bo'lgan shart ostida chista absolyut uzluksiz spektrga ega bo'ladi. Quyidagi lemma singular uzluksiz spektr mavjud bo'lmasligini isbotlash uchun muhim lemma hisoblanadi.
Lemma. H va A operatorlar 1, 2^j, 3 shartlarni qanoatlantirsin. Agar D− ochiq to'plam bo'lsa va uning nuqtalarida H va A operatorlar Murra bahosini qanoatlantirsa, u holda K = 0 bo'lganda D \ σ_pp(H) to'plamning barcha nuqtalarida Murra bahodi o'rinli bo'ladi.
Isboti D aniqlanishiga ko'ra ixtoyriy λ ∈ D \ σ_pp(H) nuqtaning atrogida shunday ∆ interval topiladiki, u uchun Murra bohosi o'rinli bo'ladi.Bu yerda
a va K lar berilgan kattaliklar. Bu tengsizlikni har ikkala tomonini E_∆^j (H)
ga ko'paytirsak. Bu yerda ∆^j− interval λ ∈ ∆^j ⊆ ∆ o'z ichiga olgan interval.
Quyidagi tengsilikni hosil qilamiz.

E_∆^j (H)[H, iA]E_∆^j (H) “ aE_∆^j
(H) + E_∆^j

8. 
   KE_∆^j
   

(H). (7)

Agar ∆^j tortilayotgan interval bo'lsa, u holda λ ƒ∈ σ_pp(H) bo'lganda
E_∆^j (H) proektor nolga kuchli yaqinlashadi. Shu sababli E_∆^j (H)KE_∆^j (H)

norma bo'yicha nolga yaqinlashadi. Agar ∆^j ni ǁE_∆^j (H)KE_∆^j (H)ǁ ™ a/2
tengsizlik o'rinli bo'ladigan qilib tanlasak, u holda (6) tengsizlikdan quyidagi
tengsizlik kelib chiqadi.
E_∆^j (H)[H, iA]E_∆^j (H) “ aE_∆^j (H) − a/2
Oxirgi tengsizlikni ikkala tara ni E_∆^j ga ko'paytirsak, biz izlayotgan tengsizlikka kelamiz. Lemma isbotlandi.

Endi biz bu bo'limning asosiy teoremasiga o'tamiz.

Teorema H va A operatorlar 1-4 shartlarni qanoatlantirsin. U holda K = 0 shart ostida Murra bahosini qanoatlantiradigan ixtoyoriy λ nuqta ∆ ochiq intervalda yotadi. Bu interval uchun esa quyidagi tengsizlik o'rinli bo'ladi.

δ↓0 _µ∈∆
lim sup ǁ(|A| + I)⁻¹(H − µ − iδ)⁻¹(|A| + I)⁻¹ǁ ™ C (8)
C bu yerda o'zgarmas.
Xulosa. Agar H va A operatorlar (4) teorema shartlarini qanoatlantirsa, u holda K = 0 shart asosida Murra bahosi o'rinli bo'ladigan ochiq to'plamda H operator aniq absolyut uzluksiz spektrga ega bo'ladi.
Izohlar. 1. 5-bo'lim xulosasiga ko'ra hamda (4) teorema va (4) lemmadan shunday xulosa kelib chiqadiki, N qismli Shryodinger operatorlari singular uzluksiz spektrga ega emas.

2. 
   N qismli Shryodinger operatorlari uchun (7) tengsizlik yordamida (|A| +
   

I)⁻¹ ni (|x|+1)^−1/2−ε orqali belgilasak (4) teorema o'rinli bo'ladi. Yaqin yillarda Yensin va Perri bu natijani ayshiladi. Ya'ni (H − µ − iδ)⁻¹ δ ↓ 0 kamayib
yaqinlashganda chegaralangan bo'lishini Besov fazosidagi akslantirish misolida ko'rsatdi.

2. 
   Perri, Saigal va Saymonning natijalari shuni ko'rsatadiki, (1 + |x|^−1/2−ε)
   

H operatorni lokal silliq silkinishi. Tekis silkinishlar nazaryasini bayoni
to'g'risida Rid-Saymonlarning kitobidan o'qishimiz mumkin. Bundan shu xulosa kelib chiqadiki, kamayuvchi ikkita zarrachali potensialli sistemalarning asimtotik zichligi kelib chiqadi. Bu natija asimtotik zichlik savolini o'rganish davomida hamda N qismli Shryodinger operatorini o'rganish davomida foydali hisoblanadi.

Commun. Math. Phys. 91, 279 (1983)."kitobida ko'rsatganki, (I + |A|)⁻¹ 4. Murra "Mourre E. Operateurs conjugues et proprietes de propagations. operatorni spektrial A proektor bilan shunday almashtirish mumkunki va bunda

operator ±[0, ∞) to'plamga javob beradi hamda bundan ham yaxshi baholar olish imkonini beradi.
Endi (4) teoremaning isbotiga o'tamiz. (4) teoremaning isboti bir qancha lemmalarga asoslangan. λ− shunday nuqta bo'lsinki, K = 0 shart ostida Murra bahosi o'rinli bo'ladigan shunday ∆ interval bo'lsinki, bu interval λ ni o'z ichiga olsin hamda shunday a mavjud bo'lganda
E_∆(H)[H, iA]E_∆(H) “ aE_∆(H)
tengsizlik o'rinli bo'lsin. f ∈ C₀^∞(R) dan olingan tashuvchisi ∆ da bo'lgan xarakteristik funksiya bo'lsin hamda λ ni o'z ichiga olgan ∆^j qism intervalda
f ≡ 1 bo'lsin. U holda quyidagi tengsizlik o'rinli bo'ladi.
E_∆(H)[H, iA]f (H) “ af ²(H) (9)
Bundan esa shunday M ² = f (H)[H, iA]f (H) operatorni aniqlaymiz. Buning

isboti esa quyidagi
G_ε(z) = (H − iεM ² − z)⁻¹

operatorni tahlil qilish yordamida kelib chiqadi. Buni biz quyida ko'rsatamizki,


mavhum operator emas. Buni sezish qiyin emas. Agar biz M ² da f (H) ε “ 0 hamda Imz > 0 bo'lganda tahlil qilib chiqamiz. Bu operator unchalik ko'paytmani tushirib qoldirsak u holda G_ε H−ε[H, A] operatorning rezolventasi
bilan ustma ust tushadi ya'ni exp(εA)Hexp(−εA) operatorni darajali qatorga formal yoyib chiqganimizda birinchi hadiga teng bo'ladi.
Izoh. Yensen, Murra va Perri "Jensen A., Mourre E., Perry P. A. Multiple commutator estimates and resolvent smoothness in quantum scattering theory. Ann. Inst. Henri Poincare, Physique Theorique 41, 207 225 (1984)."maqolada bu darajali qator yoyilmasi hadlaridan foydalanish shartlarini o'rganishdi. Ular δ chegaralangan hadlar bilan yuqori tartibli chegaralangan hadlar o'rtasida tekis
rezolventa bog'liqlik o'rnatishdi.
D va F_ε operatorlarni quyidagi tengliklar yordamida aniqlaymiz.
D = (|A| + I)−1,


F_ε = F_ε(z) = DG_ε(z)D.

operator ε o'zgaruvchi bo'yicha C¹ funksiyaga tegishli bo'lishini hamda ε Teorema isbotining strategiyasi quydagicha. Avvalo biz F_ε funksiya yoki yetarlicha kichik bo'lganda quyidagi tengsizliklar o'rinli bo'lishini ko'rsatamiz:

(a) ǁF_ε ™ C/ε

(b) ǁdF_ε/dεǁ ™ C(ǁF_εǁ + ε^−1/2ǁF_εǁ^1/2 + 1)
Bu yerda C =const va Rez = µ µ ∈ ∆^j ga bog'liq emas.

Tasdiq. (a) va (b) tengsizliklardan ε yetarlicha kichik bo'lganda (4) teoremaning isboti kelib chiqadi.
Tasdiqning isboti. a tengsizlikni b tengsizlikni birinchi qismiga qo'yib quyidagini topamiz.
ǁdF_ε/dεǁ ™ Dε⁻¹

bundan esa,


ǁFεǁ ™ C|logε|.

kelib chiqadi.

Oxirgi tengsizlikni baholab hamda (b) tengsizlikning o'ng qismini ε
yetarlicha kichik bo'lganda baholab quyidagi tengsizlikni olamiz.
ǁdF_ε/dεǁ ™ Cε^−1/2|logε|
bundan esa, ε ↓ 0 bo'lganda ǁF_εǁ chegaralanganligi kelib chiqadi. Tasdiq
isbotlandi.

4.