Ratsional funksiyani (kasrni) integrallash. Ba`zi bir trigonometrik ifodalarni integrallash

1-misol. kasrni sodda ratsional kasrlar yig`indisiga keltiring.
Yechish: Buning uchun kasr maxrajini ko`paytuvchilarga ajratamiz, uni x³+1=(x+1)(x²–x+1) ekanligidan foydalanamiz. Berilgan kasirni maxraj ko`paytuvchilari bo`yicha ularning ko`rsatkichidan bitta kam ko`rsatkichli nj`malum koeffitsentli sodda kasirlarga ajratamiz:
,
x–1=A(x<sup>2</sup>–x+1)+(Bx+C)(x+1),
x–1=(A+B)x<sup>2</sup>+(–A+B+C)x+(A+C);
hosil bolgan tenglikning chap va o`ng ko`phadlarining darajalari bo`icha mos koeffitsientlarni tenglashtirib,

sistemani olamiz. Uni yechib, larga ega bo`lamiz. Demak,
.
Kasr maxrajini ko`paytuvchilarga ajratish:
> with(genfunc):
factor(x^3+1);
> with(genfunc):factor((x-1)/(x^3+1));

Kasrni sodda kasrlarga ajratish:
> rgf_pfrac((x-1)/(x^3+1),x);

2-misol. ni sodda ratsional kasrlar yig`indisi ko`rinishiga keltiring.
x⁴+2x³+x²=x²(x²+2x+1)=x²(x+1)².
(3) ga asosan quyidagicha:

Noma`lum koeffitsientlarni x ga ma`lum qiymatlar berish yo`li bilan ham topish mumkin bo`lib, ko`p hollarda bu qulaylik tug`diradi.
Oxirgi tenglikda:
x=0 desak, 1=A₁0+A₂1+A₃0+A₄0  A₂ =1;
x=–1 desak, 1=A₁0+A₂0+A₃0+A₄1  A₄ =1;
x=1 desak, 1=4A₁+4A₂+2A₃+A₄  4A₁+2A₃ = –4;
x=–2 desak, 1=–2A₁+A₂ –4A₃+4A₄  –2 A₁–4A₃ = –4;



A₁=–2, A₂=1, A₃=2, A₄=1.
Demak, berilgan kasirni sodda ratsional kasirlarga ajratilgan ko`rinishi quyidagicha:

Kasr maxrajini ko`paytuvchilarga ajratish: