Ratsional funksiyani (kasrni) integrallash. Ba`zi bir trigonometrik ifodalarni integrallash

> with(genfunc):factor(x^4+2*x^3+x^2);
> with(genfunc):factor(1/(2*x^4+3*x^3+x^2));

Kasrni sodda kasrlarga ajratish:
> rgf_pfrac(1/(x^4+2*x^3+x^2),x);

Shunday qilib, to`g`ri ratsional kasrni integrallash masalasi, (12.3) yoyilmaga ko`ra, integrallanishi jihatidan bir-biridan farq qiladigan quyidagi to`rt xil sodda (elementar) ratsional kasrlarni integrallash masalasiga keltiriladi:
;
bu yerda A₀,B₀,C_0, a,p va q lar berilgan sonlar: 2nN, p ²–4q<0 dir.
Bu sodda ratsional kasrlarni integrallaylik.
1) .
> Int(A0/(x-a),x)=int(A0/(x-a),x);

2) .
> Int(A0/(x-a)^n,x)=int(A0/(x-a)^n,x);

3)



> Int((B0*x+C0)/(x^2+p*x+q),x)=int((B0*x+C0)/(x^2+p*x+q),x);

4)


bu yerda .
Oxirgidan ko`rinadiki, agar

ko`rinishdagi integrallarni ololsak, masala haldir. Agar bu integralda m=1 desak,
bo`ladi.
Endi, bo`lgan holni qaraylik.

Oxirgi integralni bo`laklab integrallaymiz:




Demak,

rekkurrent (qaytma) formulani olamiz.
Endi, m=2,3,…,n qiymatlarni berish natijasida J_n ni topamiz.
Shunday qilib, berilgan ratsional kasrning, yuqoridagi usullar bilan, integralini topa olamiz, ya`ni ratsional kasr integrali elementar funksiyadan iborat bo`lar ekan.
> restart;
> Ik2:=int(1/(t^2+a^2)^m,t);
> m:=1:value(Ik2);
> m:=2:value(Ik2);