Real fiziki dəyişən kəmiyyətləri öyrənərkən aydın olur ki, bu kəmiyyətlər həmişə ixtiyari qiymətlər ala bilməz

§4.6. Tərs funksiya anlayışı. Qarşılıqlı tərs funksiyalar, onların qrafikləri. Tərs funksiyaların varlığı haqqında teorem.

Tutaq ki, funksiyası parçasında təyin olunub və onun qiymətlər çoxluğu parçasıdır, yəni sərbəst dəyişəni parçasında dəyişdikdə -in qiymətləri parçasını doldurur. parçasından ixtiyari götürək. Onda parçasında heç olmasa bir nöqtəsi var ki,

olur. Həm də bu bərabərliyi ödəyən nöqtəsi bir yox, bir neçə ola bilər. Beləliklə, parçasından götürülən hər bir -ə parçasından -in bir və ya bir neçə qiyməti uyğun ola bilər, yəni verilmiş üçün
(1)
tənliyinin bir və ya bir neçə kökü ola bilər.
Buradan alınır ki, (1) tənliyi vasitəsilə -i -in funksiyası kimi təyin etmək istəsək, verilmiş üçün (1) tənliyinin -yə daxil olan yeganə kökü olmalıdır.
parçasında təyin olunan və qiymətlər çoxluğu parçası olan funksiyası üçün (1) tənliyinin yeganə kökü varsa, funksiyasına tərsi olan funksiya, -ə isə onun tərs funksiyası deyilir.
Tərifdən alınır ki, funksiyası -in tərs funksiyası isə, bu tərs funksiyanın təyin oblastı parçası, qiymətlər çoxluğu isə parçasıdır və ixtiyari üçün

ixtiyari üçün

bərabərlikləri doğrudur.
Tərifdən və bu mühakimələrdən aydın olur ki, -in tərs funksiyasının varlığı üçün bu funksiya parçası ilə parçası arasında qarşılıqlı birqiymətli uyğunluq yaratmalıdır.
Buradan alınır ki, absis oxuna paralel olan istənilən düz xətti funksiyasının qrafikini yalnız bir nöqtədə kəsməlidir.
Arqumentin qiymətlərini şaquli ox üzərində qeyd etməklə qurulmuş tərs funksiyasının qrafiki funksiyasının koordinat sistemindəki qrafiki ilə eynidir. Adətən, arqumenti , asılı dəyişəni ilə işarə etmək qəbul olunduğundan, tərs funksiyanı əvəzinə şəklində yazmaq olar. Bu zaman üfüqi oxu oxu, şaquli oxu isə oxu qəbul etmək lazımdır, qrafik isə olduğu kimi qalar. Ancaq oxu olaraq, adətən, üfüqi ox, oxu olaraq şaquli ox götürüldüyündən, oxların yerini dəyişsək, qrafik də dəyişər. Odur ki, -in qrafikindən tərs funksiyasının qrafikini almaq üçün onun qrafikini birinci və üçüncü rüblərin tənböləni ətrafında döndərmək lazımdır.
Aydındır ki, funksiyası -in tərs funksiyasıdırsa, də -in tərs funksiyasıdır. Ona görə də bu funksiyalara qarşılıqlı tərs funksiyalar deyilir.
Qarşılıqlı tərs funksiyaların qrafikləri düz xəttinə nəzərən simmetrikdir.
İndi isə verilmiş funksiyasının tərsinin varlığı haqqında aşağıdakı teoremi isbat edək.
Teorem. (Tərs funksiyanın varlığı haqqında). Əgər funksiyası parçasında artandırsa (azalandırsa), onun qiymətlər çoxluğunda təyin olunmuş tərsi var və tərs funksiya da artandır (azalandır).
İsbatı. Tutaq ki, funksiyası artandır ( -in azalan olduğu halda isbat oxşar qaydada aparılır). Onda təyin oblastından götürülmüş istənilən üçün . Odur ki, olduqda olur. Bu isə o deməkdir ki, -in qiymətlər çoxluğundan götürülmüş ixtiyari üçün tənliyinin yeganə həlli var. Buradan da alınır ki, -in tərsi var. Göstərək ki, funksiyası çoxluğunda artandır. Tutaq ki, və ədədləri çoxluğundan götürülmüş və şərtini ödəyən ixtiyari ədədlərdir. işarə edək. Tərs funksiyanın tərifinə görə, və . Göstərək ki, olduqda . Doğrudan da, olarsa, -in artan olması şərtindən alarıq ki, . Buradan isə olar. Bu isə şərtinə ziddir. Deməli, və ya . Bu isə o deməkdir ki, funksiyası artandır. T.i.o.