III. Məsələ vasitəsilə təkrar təlimdə möhkəmlik prinsipinin
reallaşdırılması kimi
Möhkəmlik prinsipi yeni həqiqətlərin müəyyənləĢdirilməsinə deyil, artıq
məlum
olanların
mənimsənilməsinə
yönəldilən
öyrənmənin
baĢlıca
xüsusiyyətlərini səciyyələndirir. Məlumdur ki, bu proses yalnız əvvəllər qazanılmıĢ
bilik, bacarıq və vərdiĢlərin kök salıb yadda qalması əsasında təkmilləĢdirilə bilər.
Psixologiyada yaddaĢ möhkəmliyin pedaqoji-psixoloji əsası hesab olunur. Məhz
hafizə prosesinin qanunauyğunluqları biliyin unudulmasına yol verməmək, yaxud
unudulanları bərpa etmək üçün Ģagirdləri təkrarlamaya, möhkəmlətməyə, əvvəllər
mənimsənilmiĢ biliklərin üzərinə qayıtmağa vadar edir. Həm də möhkəmlik
prinsipi yalnız hafizəyə deyil, habelə Ģagirdlərin idrak fəaliyyətinin bütün
proseslərinə və onların tənziminə əsaslanır. Müasir pedaqoji-psixoloji və metodik
tədqiqatlar göstərir ki, biliyin möhkəmləndirilməsi prosesində ümumiləĢdirmə,
xüsusiləĢdirmə, təsnifat, analiz-sintez, müqayisə kimi zehini əməliyyatların
olduqca böyük rolu vardır, bunlar yadda saxlama prosesinin intensivliyini artırır.
Təlim prosesində təfəkkürün formalarına və əməliyyatlarına əsaslandıqda ağıl
çevik və mütəhərrik, bilik ümumiləĢdirilmiĢ olur, lazım gəldikdə xüsusiləĢdirilmə
asanlıqla baĢ verir. ġagirdlər böyüdükcə onların obrazlı-əyani təfəkkürə əsaslanan
emosional hafizəsi getdikcə öz yerini, məntiqi təfəkkür prosesində əsas axtaran
təsəvvürə verir. Digər tərəfdən isə sübut edilmiĢdir ki, idrak prosesinin ayrı-ayrı
mərhələlərinin inkiĢafı ilə dərsdəki müvəffəqiyyətlər sıx əlaqədardır. Güclü
Ģagirdlərdən ibarət olan sinifdə təsəvvürü zəif inkiĢaf eən uĢaqlar demək olar ki,
olmur.
Riyaziyyat dərslərində Ģagirdləri, materialın möhkəm mənimsənilməsi
məqsədi ilə əlaqələri müəyyənləĢdirmək, mücərrədliyin və onun əsas formalarının
(eyniləĢdirmə, ideallaĢdırma, potensial davam) mahiyyətini anlamaq bacarığına
əsaslanan məntiqi yadda saxlamaya yönəltməyə alıĢdırmaq lazımdır. I-II də
verdiyimiz məqsədəuyğun məsələləri və onların həllərini, habelə III-V inteqrativ
riyaziyyat kursunun təliminə aid mülahizələr bu məqsədin yerinə yetirilməsində
64
mühüm metodik sistem hesab edirik. Təlim tərübəsində bilik, bacarıq və
vərdiĢlərin təkrarlanması, sabitləĢdirilməsi və tətbiqi prosesində möhkəmlik
prinsipinin reallaĢmasını təmin edən üsullar iĢlənib hazırlanmıĢdır. Bunları
riyaziyyat müəlliminin bilməsi və iĢlərində istifadə etməsi zəruridir. Təqdim
etdiyimiz məsələlər sisteminə də bu baxımdany anaĢmaq faydalıdır.
1. Təkrarlanan materialı məna və quruluĢ etibarı ilə hissələrə ayırmaq,
bunların hər birinə baĢlıq vermək, lazım gələn yerlərdə suallar qoymaq, onları
qısaca ifadə etmək məqədəuyğundur.
2. KeçmiĢ bilikləri aktuallaĢdırmaq, yadda saxlanması lazım gələn materialı
bunlarla əlaqələndirmək, keçmiĢ təsəvvürlərə əsaslanmaq zəruridir; Əvvəlki
biliklərin quruluĢunda yeniləri daha aĢkar dərk edilir, anlaĢıqlı olur, keçmiĢ biliklər
isə yeniləri baxımdan zənginləĢir, dərinləĢir, ümumiləĢdirilir, müqayisə edilir.
3. Göstərilən məsələlər əsasında təkrarlama prosesində müntəzəm olaraq
Ģagirdlərin təfəkkürünü fəallaĢdırmaq, ümumiləĢdirmə, xüsusiləĢdirmə, müqayisə,
qarĢılaĢdırma, analiz-sintez, təsnifat, induktiv-deduktiv mühakimə üçün suallar
vermək, müvafiq təkliflər etmək riyazi qabiliyyətlərin inkiĢafında olduqca faydalı
yer tutur.
4. Müntəzəm olaraq aparılan təkrarın məzmunu, forması və quruluĢunda
dəyiĢiklik etmək lazımdır. Ardıcıl olaraq standart Ģəkildə yerinə yetirilən təkrarın o
qədər də faydası olmur. Yeknəsəqlik Ģagirdlərdə dərsə olan marağı olduqca azaldır.
5. Baxılan məsələlərin yeni bir Ģəkildə qruplaĢdırılması, mühüm əlaqələrin
dərk edilməsi, məsələlər sisteminin məqsəd və məzmununun daha aydın baĢa
düĢülməsidir.
6. Möhkəmlətmə, təkrar, ümumiləĢdirmə və sistemləĢdirmə üçün əsas,
mühüm fikir, məsələ və problemlərin ayrılması Ģagirdlərində məsələlər vasitəsilə
təkrar edilən materialda mühüm olanları seçib ayırmalarına imkan verə bilər.
7. Məsələ vasitəsilə aparılan təkrar, ümumiləĢdirmə və sistemləĢdirmə
dərsinin məqsədi, məzmunu, quruluĢu müəllim tərəfindən lazımi səviyyədə
müəyyənləĢdirilməlidir.
65
Hamısı bir məĢğələdə cəmləĢdirilməyib zaman və məzmun etibarilə
hissələrə ayrılan sistemləĢdirmə və ümumiləĢdirmə ən səmərəli təkrarlamadır.
Təqdim etdiyimiz məsələlər sistemindən baĢqa dərs növlərində də (yeni bilik
verən, möhkəmləndirmə, kombinə edilmiĢ və s.) istifadə etmək olar.
Bilmək lazımdır ki, təlimə müxtəlif yanaĢmalar Ģəraitində möhkəmlik
prinsipinin həyata keçirilməsi həmiĢə eyni ola bilməz. Bütün hallarda fəal-
interaktiv təlimə üstünlük vermək dövrün tələbi olduğunu bilmək lazımdır. Həm də
son dövrlərdə respublikamızda Milli Kurikulumun həyata keçirilməsinə dair
çərçivə sənədinin tələbləri göstərilən məsələlər vasitəsilə V-VI siniflərdə
möhkəmləndirmənin təĢkili və aparılmasında yerinə yetirilə bilər.
Məsələlər həlli prosesində problemli təlimin gücü Ģagirdlərin özlərinin
fəallaĢdırılmasında, əvvəlki biliklərdən istifadə edərkən onların yaradıcılıq
qabiliyyətlərinin səfərbərliyə alınmasında və məntiqi-problemli məsələlrin həlli
üçün bunlardan istifadə edilməsindədir.
ProqramlaĢdırma, diferensiallaĢdırma, inteqrativ, humanistləĢdirmə, fəal-
interaktiv, habelə ənənəvi təlimin həyata keçirilməsində məqsədəuyğun məsələlər
vasiətsilə ümumiləĢdirmə və sistemləĢdirmə dərslərinin böyük əhəmiyyəti vardır.
Möhkəmləndirmə prinsipinin məqsədəuyğun məsələlər vasitəsilə həyata
keçirilməsi bilik, bacarıq və vərdiĢlərin yeni Ģəraitdə tətbiqinə, Ģagirdlərdə
ümumiləĢdirmə, xüsusiləĢdirmə, müxtəlif sahələrə riyaziyyatı tətbiq etmə
qabiliyyətlərinin inkiĢafına kömək edir. Riyaziyyatın nəzəri materialın ən yaxĢı
möhkəmləndirilməsi ondan dəfələrlə və müxtəlif Ģəkillərdə məsələlər həllində
istfiadə etməkdir, belə olduqda əvvəllər öyrənilmiĢ qaydalar, qanunlar, təriflər,
düsturlar, teoremlər planauyğun, mütəĢəkkil surətdə təkrar edilir.
66
IV. İbtidai siniflərdə riyaziyyat təliminə dair
Ölkəmizdə ibtidai məktəb təhsil sistemində artıq qapalı hissə təĢkil etmir.
Ona görə də I-IV siniflərdə riyaziyyatın öyrənilməsinə məktəb riyaziyyatının tam
mənimsənilməsinin ilk pilləsi kimi baxmaq lazımdır. Orta məktəb proqramına aid
olan məsələlərin əksəriyyətinin əsası ibtidai siniflərdə qoyular. Odur ki, bu
siniflərdə təlim-tərbiyənin yaxĢı qurulması ümumiyyətlə məktəb riyaziyyatının
müvəffəqiyyətlə öyrənilməsində mühüm yer tutur. Ġbtidai təlimin ən mühüm
məqsədlərindən biri həmiĢə olduğu kimi hazırda da Ģüurlu və möhkəm hesablama
vərdiĢlərinin
(bir
çox
hallarda
avtomatlaĢdırmaya
çatdırmaqla)
formalaĢdırılmasıdır. Lakin məktəbin müasir inkiĢaf səviyyəsində həmin məqsədə
nail olmaq üçün təkcə hesab materialından istfiadə etmək kifayət deyildir.
Riyaziyyatın baĢlanğıc kursunda uĢaqlara müvafiq Ģəkildə materialı
ümumiləĢdirmək, öyrənilən riyazi faktların əsasında duran ümumi prinsipləri və
qanunları baĢa düĢmək, baxılan hadisələr arasındakı əlaqələri dərk etmək nəzərdə
tutulur. Bu hər Ģeydən əvvəl əməllər xassəsinin, onlar arasındakı əlaqənin,
Ģagirdlərdə formalaĢdırılan praktik vərdiĢ və bacarıqların əsası olan ryiazi
münasibətlər və asılılıqların öyrənilməsinə aiddir. Təlimin xüsusi məqsədlərindən
biri Ģagirdlərə qazandıqları bilik, bacarıq və vərdiĢləri müxtəlif tədris
çalıĢmalarının həllinə tətbiq etməyi öyrətməkdir. Bu da Ģagirdlərdə dərk etmə
qabiliyyətinin inkiĢaf etdirilməsi kimi daha ümumi məsələlərlə əlaqədardır. Artıq
ibtidai siniflərdə Ģagirdlərdə müĢahidə və müqayisə etmək, müqayisə edilən
hadisələrdə oxĢar və fərqli cəhətləri ayırmaq, analiz, sintez, ümumiləĢdirmə,
xüsusiləĢdirmə, mücərrədləĢdirmə, konkretləĢdirmə kimi təfəkkür əməliyyatları
aparmağı inkiĢaf etdirmək üçün xeyli iĢ görülməlidir. ġagirdlərdə məntiqi
düĢünmək bacarığının formalaĢdırılması məsələsi ilə onlarda düzgün, dəqiq, qısa
riyazi nitqin inkiĢafı sıx əlaqədardır. Bu da ibtidai təlimin mühüm məqsədlərindən
biridir. Göstərilən məqsədlərə nail olmaqda məntiqi çalıĢmalar mühüm yer tutur.
Ġbtidai məktəbdə məntiqi çalıĢmalar həllinin ümumi və xüsusi məsələlərinə diqqəti
yönəltməklə sonrakı siniflərdə Ģagirdlərin ümumiləĢdirmə qabiliyyətinin lazımi
67
səviyyədə inkiĢafına zəmin yaratmıĢ oluruq. Bu məsələnin ayrıca tədqiq edilməsi
lazımdır. Burada yalnız ibtidai siniflərdə məntiqi çalıĢmalar həllinin ümumi
məsələləri üzərində dayanırıq. Riyazi anlayıĢların formalaĢması ilə əlaqədar
Ģagirdlərdən müqayisə, analiz-sintez, ümumiləĢdirmə, xüsusiləĢdirmə və s.
aparmağı tələb edən, onları düzgün mühakimə etməyə və əqli nəticə çıxarmağa
yönəldən məsələlər məntiqi çalıĢmalar adlanır. Ġbtidai siniflərdə Ģagirdlərin həyat
təcrübələrinə əsaslanaraq təfəkkürün əsas formalarını (anlayıĢlar, mühakimələr və
əqli nəticələr) və əməliyyatlarını (müqayisə, analiz-sintez, ümumiləĢdirmə,
xüsusiləĢdirmə) məntiqi çalıĢmalar üzərində inkiĢaf etdirmək mümkündür. Bu
zaman məntiqin qanun və qaydalarını nəzəri cəhətdən Ģagirdlərə öyrətməyə və
müvafiq istilahlardan istfiadə etməyə ehtiyac yoxdur. Lakin müəllimin özünün
formal və riyazi məntiqin mövzusu, təfəkkürün, onun formaları və
əməliyyatlarının, elmi-tədiqiqat metodlarının mahiyyəti haqqında lazımi biliyə
malik olması zəruridir. Məntiqi çalıĢmaların icrası prosesində Ģagirdlər riyazi
obyektlərin müqayisəsində, ən sadə analiz və sintez aparmaqda, cins və növ
anlayıĢları araısndakı əlaqəni müəyyən etməkdə təcrübi olaraq iĢtirak edirlər.
Analiz apararkən Ģagirdlər riyazi obyektlərdə mühüm əlamətləri müəyyənləĢdirir.
Bu əlamətlər müəyyən psixoloji və didaktik tələbləri ödəməlidir: 1) onları kifayət
qədər elementar əməliyyat vasitəsilə müəyyən etmək mümkün olmalıdır. Məsələn,
rəngini təyin etmək üçün “əĢyaya baxın”, növünü müəyyənləĢdirmək üçün
“fiqurun bucaqlarına və tərəflərinə baxın” və s. əməliyyatlar aparmaq olar, 2)
ġagirdlərin təcrübəsindən, inkiĢaf səviyyəsindən və əvvəlcədən hazırlığından aıslı
olaraq bu əlamətlər onlara məlum olmalıdır; 3) onlar birqiymətli olmalıdır. Bu
zaman asanlıqla fərqlənilən, dəqiq ayrıla bilən, bütün adamlar tərəfindən əsasən
eyni qiymətləndirilən əlamətlər birqiymətli hesab edilir; 4) son həddi
müəyyənləĢdirmək asan, onlarla araĢdırma aparmaq münasib olmalıdır. Təlim
zamanı müqayisə priyomundan hər-hansı dərketmə məqsədi ilə istifadə olunur.
Müqayisənin məqsədindən asılı olaraq, aĢağıdakı növlərə ayrılan, uyğun oxĢar və
fərq əlamətlərini müəyyən etmək olar: 1) əĢyanın özünə aid olan: forma, ölçü,
quruluĢ, rəng, material, kütlə, dad, iy; 2) obyektin aĢağıdakılarla fərqlənən,
68
funksional əlamətləri: a) təyini, fəzada vəziyyəti (uzaqda, yaxında, qabaqda,
arxada, sağda, solda və s.); b) obyektin vəziyyəti (dayanır, üzərindədir, uçur və s.);
ç) vaxt əlamətləri (dünən, bu gün, axĢam, səhər, tez, gec, yazda, payızda və s.) q)
kəmiyyət əlamətləri (bir, iki, üç, böyükdür, kiçikdir, bərabərdir, o qədərdir və s.).
Hər bir obyektin, hətta sadəsinin, sonsuz sayda əlamətləri vardır. Bütüt bu
əlamətləri yadda saxlamaq və fərqləndirmək mümkün deyil. Məqsədli məntiqi
əməliyyat zamanı buna ehtiyacda yoxdur. Təcrübi və idrak məqsədləri üçün
obyektin müxtəlif əlamətləri çoxluğundan bəzi mühüm əlamətləri fikrən ayırmaq
kifayətdir. Bu elə əlamətlərdir ki, hər biri ayrılıqda baxılan obyekti bütün
baĢqalarından fərqləndirmək, onları hər-hansı cəhətdən öyrənmək üçün tamamilə
zəruridir, hamısı birlikdə isə kafidir. Cins və növ anlayıĢları arasındakı qarĢılıqlı
əlaqə obyektiv olaraq təbiət və cəmiyyətdə olan cins və növlərin Ģüurda inikasıdır.
Cins anlayıĢına müəyyən növ anlayıĢları daxildir. Eyni bir anlayıĢ (vahid və
kateqoriyalardan kifayət qədər geniĢ anlayıĢlardan baĢqa) onun hansı anlayıĢa
nisbətən baxılmasından asılı olaraq eyni zamanda cins və növ ola bilər.
Riyaziyyat elm kimi bir-biri ilə müəyyən münasibətdə olan anlayıĢlar
istemindən ibarətdir. Hər bir anlayıĢ – bu, obyektin kifayət qədər ümumi və eyni
zamanda mühüm əlaməti, habelə münasibətləri haqqında bilikdir. ġagirdlərin
müxtəlif münasibətləri, habelə onların xassələrini bilmələri lazımdır. Müasir
riyaziyyatın əsas anlayıĢlarından biri omlaq etibarı ilə münasibət məktəb
riyaziyyatında mühüm yer tutur. Açıq və ya gizli Ģəkildə binar, ekvivalent və tərtib
münasibətləri məktəb riyaziyyatının ən mühüm məsələlərinin əsasıdır. Bu
münasibətlərə aid mühakimələrdən olan ən sadə əqli nəticələrlə əlaqədar məntiqi
çalıĢmalar münasibətlərini uĢaqların dərindən öyrənmələrinə kömək edir. Məntiqi
çalıĢmalar hesablamalar aparmağı az tələb etməklə, Ģagirdləri düzgün mühakimə
etməyə və sadə isbatlar aparmağa məcbur edir. ÇalıĢmaların özü isə Ģagirdlərin
marağını təmin edir. Zehni fəaliyyət prosesində maraqla məntiqin birləĢdirilməsi
təlim-tərbiyə iĢinin mühüm məsələsidir. Məntiqi çalıĢmalar fikri fəaliyyət
çalıĢması olduğundan, kiçik yaĢlı məktəbilərin təfəkkürü isə əsasən konkret,
obrazlı olduğundan bu çalıĢmalarla əlaqədar lazımi dozada əyanilikdən də istfiadə
69
etmək yaxĢı olar. ÇalıĢmaların xüsusiyyətindən asılı olaraq əyani vasitə olaraq
Ģəkillər, məsələnin və istilahların qısa yazılıĢ və s. tətbiq olunur.
Xalq tapmacaları fikirləĢmək üçün həmiĢə cəzbedici material olmuĢdur və
hazırda da belədir.
ƏĢyanın bəzi əlamətlərinə görə, onun aĢkar edilməsinə aid xüsusi məntiqi
çalıĢmalar təpmaca adlanır. Əlamətlər müxtəlif ola bilər. Onlar əĢyanı keyfiyyət,
həm də kəmiyyət cəhətdən xarakterizə edir. Riyaziyyat məĢğələlərində baĢqa
əlamətlərlə yanaĢı əsas kəmiyyət əlamətinə görə müəyyən faktın tapılmasına aid
tapmacalardan istifadə etmək olar. Obyektin kəmiyyət cəhətlərinin ayrılması
(mücərrədləĢdirmə) habelə bu əlamətə görə onun tapılması əhəmiyyətli və maraqlı
ryiazi məntiqi çalıĢmalardır. I-IV siniflərin riyaziyyat kitablarında məntiqi
çalıĢmalar az deyildir. Lakin bəzi müəllimlər üçün belə tapĢırıqlar təzə görünür və
ona görə də çox vaxt onların icrasında, habelə Ģagirdlərə mənimsətməkdə çətinlik
çəkirlər. Ġbtidai siniflərdə Ģagirdlərlə riyazi-məntiqi çalıĢmalar həlli sahəsində
ölkəmizdə fəaliyyət göstərən Türk liseylərinin iĢi olduqca faydalıdır. Bu tərcrübə
öyrənilib geniĢ təbliğ edilməlidir. Bu cəhətdən televizorda həftədə bir dəfə “maraq-
məntiq” adı altında prof. Babayev M-B.A-ın apardığı veriliĢ
1
, habelə onun bu
mövzuda yazıları da təqdirə layiqdir. Təəssüf ki, sonralar bu veriliĢ
dayandırılmıĢdır. UĢaqlar riyaziyyatdan bu və ya digər tapĢırığı icra edərkən
onların fikri əməliyyatlar apararaq verdikləri cavablar, məntiqi qaydalar üzrə açıq
Ģəkildə deyil, müxtəsər və qısa olur. ġagirdlərə öz cavablarını izah etməyi təklif
etdikdə, onları eyni zamanda çıxarılmıĢ nəticəni məntiqi əsaslandırmağa məcbur
edirik. Habelə onlarda intuitiv dərk etmə qabiliyyətinin də inkiĢafına kömək etmiĢ
oluruq. Lakin intuitiv və məntiqi təfəkkürün formalaĢdırılması zamanı əsas yer
məntiqi qabiliyyətin inkiĢafına verilməlidir. Kiçik yaĢlı məktəblilərin məntiqi
təfəkkürünün inkiĢafını öz baĢına buraxmamaq üçün mütləq onlara analiz və
sintezi, müqayisəni, ümumiləĢdirməyi, xüsusiləĢdirməyi, cins və növ anlayıĢlarını
müəyyən etməyi, sadə Ģəkildə əqli nəticə çıxarmağı, induktiv və deduktiv
1
Bu veriliĢin əsasən yuxarı siniflərə aid olmasına baxmayaraq sinif müəllimləri də buradan
müəyyən nəticə çıxara bilər.
70
mühakimələr aparmağı və s. öyrətmək lazımdır. Riyaziyyatın ibtidai siniflərdə
təlimi prosesində Ģagirdlərin məntiqi təfəkkürünün formalaĢdırılması və inkiĢafının
əsas mənbəyi dərsliklərdəki çalıĢmalardır. Odur ki, yeni dərsliklərin hazırlanması
zamanı bu cəhətə xüsusi diqqət vermək lazımdır. ġagirdlərin dərslikdəki
çalıĢmaların icrası prosesində tətbiq etdikləri fikri priyom və əməliyyatlar
mahiyyət etibarı ilə məntiqi çalıĢmalardır. Lakin bu tapĢırıqların icrası prosesində
Ģagirdlərin əqli fəaliyyəti müəllim tərəfindən məqsədəuyğun istiqamətləndirildikdə
və nəzarət edildikdə onlar məntiqi qabiliyyətin inkiĢafı üçün mühüm vasitə ola
bilər. Bunun üçün müəllim bilməlidir ki, onun izahatından sonra Ģagirdin özü
məntiqi çalıĢmanı necə yerinə yetirir. ġagirdin dərslikdəki tapĢırıqları müstəqil
olaraq necə həll etməsini, onun məntiqi priyomları və əməliyyatları tətbiq etmək,
əqli nəticə çıxarmaq qabiliyyətinə əsasən müəyyən etmək olar.
Ġbtidai siniflərdə məntiqi çalıĢmalar həllinə xüsusi əhəmiyyət vermək
lazımdır. Çünki, bu Ģagirdlərin sonrakı siniflərdə ümumiləĢdirmə -
mücərrədləĢdirmə qabiliyyətini inkiĢaf etdirmək üçün mühüm vasitədir. Bu
mühüm iĢi lazımi səviyyəyə qaldırmaq üçün sinif müəllimlərinin riya-i – məntiqi
hazırlığına xüsusi diqqət verilməlidir.
Eksperimental məsələlər sistemində ibtidai siniflərə aid məntiqi çalıĢmalara
aid nümunələr göstərmiĢik. AĢağıdakı kimi məsələləri də III-IV siniflərdə həll
etdirmək Ģagirdlərin məntiqi düĢünmə qabiliyyətini inkiĢaf etdirmək üçün
faydalıdır.
1. 175-dən sonra gələn 56 dənə ardıcıl tək ədədin sonuncusu neçə olar?
(Ġnduktiv mühakimə ilə Ģagirdlər müəyyən edir ki, 2-ci ədədi almaq üçün birinciyə
1∙2,üçüncünü almaq üçün 2∙2, sonuncunu almaq üçün isə 2∙55-i əlavə etmək
lazımdır. Deməli axtarılan ədəd: 175+2∙55=285-dir).
2. Avtobazaya gətirilən yanacaq yük maĢınlarına 1 həftəyə, yük və minik
maĢınlarına isə 6 günə kifayət edir. Eyni yanacaq yalnız minik maĢınlarına necə
günə yetər? (
42
1
7
1
6
1
; Deməli yanacaq minik maĢınlarına 42 günə yetər. Təcrübə
göstərir ki, bu nəticəyə Ģagirdlər, hətta müəllimlər Ģübhə ilə yanaĢırlar. Lakin
71
buradakı məntiqi baĢa düĢəndən sonra Ģübhə aradan qalxır. Axı məsələnin
Ģərtindən görünür ki, minik maĢınları yük maĢınlarına nisbətən olduqca az yanacaq
iĢlədir).
3. 8 uĢaq öz aralarında almaları bölüĢdürür. Hərəsinə 4 alma düĢəndə 3 alma
artıq qalır. Hərəsinə 5 alma düĢəndə isə 1 uĢağa çatmır. Cəmi neçə alma var?
[8∙4+3=35 (alma), 35:5=7 (uĢaq)].
4. Bir usta 3 gündə 24 detal, oğlu isə 18 detal hazırlayır. Usta oğlu ilə 15 gün
birlikdə çalıĢarsa, neçə detal hazırlayar? [1) 24:3=8 (detal), 2) 18:3=6(detal), 3)
8+6=14(detal), 4) 14∙15=210 (detal)].
5. 35 Ģagirddən ibarət sinif həm ingilis, həm də alman dilini öyrənir. 20
Ģagird ingilis, 9 Ģagird isə həm ingilis, həm də alman dilini bilir. Almanca bilən
neçə Ģagird var? [1) 35-20=15? 2) 15+9=24].
72
V. V-VI siniflərdə çoxluq anlayışı ilə əlaqədar
şagirdlərin ümumiləşdirmə və xüsusi qabiliyyətinin inkişaf etdirilməsi
Müasir elmi-texniki tərəqqinin səciyyəvi xüsusiyyəti müxtəlif bilik
sahələrinin,
elmi
nəzəriyyələrin,
konsepsiyaların
qeyri-adi
intensiv
ümumiləĢdirilməsi və xüsusiləĢdirilməsindən ibarətdir. Biliyin ümumiləĢdiril-
məsinə ən yaxĢı misal olaraq kibernetika elminin yaranmasını göstərmək olar. O,
bir sıra dəqiq elmlərin, cəmiyyət haqqında elmlərin və s. ümumiləĢdirilməsi kimi
meydana gəlmiĢdir. Belə ümumiləĢdirmələrə bəzən generallaĢdırma deyilir. Belə
ümumiləĢdirmə prosesi üçün artıq formalaĢmıĢ bir sıra elmlər əsasında yeni
nəzəriyyələrin yaranması xarakterikdir. Hazırda əvvəllər vahid elm olan
“radiotexnika”nın müxtəlif sahələri dərindən inkiĢaf etməkdədir; xüsusən
radiokosmik əlaqə, məsafədən idarə və s. hazırda müstəqil elm sahələridir.
Eyni bir bilik sahəsində də ümumiləĢmə və xüsusiləĢmə baĢ verir. Məsələn,
riyaziyyatda, nəticələrindən demək olar ki, bütün baĢqa sahələrdə də istifadə
olunan, yüksək dərəcədə mücərrəd strukturlar nəzəriyyəsi yaranmıĢdır. Eyni
zamanda riyaziyyatda bilik sahələrinin elə xüsusiləĢməsi baĢ verir ki, bu sahələrin
birində çalıĢmalar digər sahəni çox vaxt baĢa düĢməkdə çətinlik çəkir. Biliyin
ümumiləĢdirilməsi və xüsusiləĢdirilməsi əlaqəli inkiĢaf edir. Bir-birini tamamlayır.
Biliyin ümumiləĢdirilməsindən alınan nəticələr xüsusi sahələrə tətbiq olunur.
Məsələn, ümumi strukturlar nəzəriyyəsinin nəticələri, dili və aparatı konkret
strukturların (qurp, sahə, həndəsi çevirmələr və s.) öyrənilməsinə tətbiq edilir.
Odur ki, qruplar nəzəriyyəsini öyrənməyə baĢlayan ixtisasçı, məlum fakt kimi,
ümumi strukturların öyrənilməsi zamanı alınmıĢ nəticələrdən istifadə edə bilər.
Biliyin ümumiləĢdirilməsi boĢ yerdə qurulmur. O, xüsusiləĢdirmələr nəticəsində
yaranmıĢ bir sıra nəzəriyyələrin ümumiləĢdirilməsindən ibarətdir. Biliyin
ümumiləĢdirilməsi və xüsusiləĢdirilməsi prosesində obyektiv olaraq baĢ verən bu
göstərilənlər didaktikanın elmlik prinsipinə görə məktəb riyaziyyatının
öyrənilməsinə, həmiĢə olduğu kimi müəyyən təsir etməlidir. Məktəb riyaziyyatının
73
öyrənilməsinin ilk mərhələsindən Ģagirdləri biliyin ümumiləĢdirilməsi və
xüsusiləĢdirilməsi prosesini baĢa düĢməyə hazırlamaq lazımdır.
Məktəb riyaziyyat kursunun ümumiləĢdirilməsi və xüsusiləĢdirilməsinə
demək olar ki, artıq baĢlamıĢdır. Hazırda məktəb riyaziyyat kursunun mücərrədlik
səviyyəsi yüksəldilmiĢdir, hesab, cəbr, analizin baĢlanğıcı və həndəsəni özündə
birləĢdirən vahid riyaziyyat kursu yaratmağın bir çox tərəfdarları vardır. Bu
istiqamətdə ilk addım atılmıĢdır. Ölkəmizdə ibtidai və V-VI siniflərdə vahid
riyaziyyat kursu öyrənilir. Odur ki, bu siniflərdə ümumiləĢdirmənin və
xüsusiləĢdirmənin bünövrəsini qoymaq imkanları vardır. Uzun müddət fakültətiv
adlanan məĢğələlərdə olduğu kimi hazırda maraq məĢğələləri və təmayüllü
siniflərdə Ģagirdlərə riyaziyyatın ayrı-ayrı məsələlərini nisbətən dərindən öyrənmək
mümkündür.
AĢağı siniflərdə vahid riyaziyyat kursunun öyrənilməsi ümumiləĢdirmə
imkanını geniĢləndirsə də, burada həmin əməliyyatın özü haqqında ətraflı məlumat
vermək çətindir. Bu iĢi proqram materialları əsasında konkret nümunələr üzrə
yerinə
yetirmək
mümkündür. ġagirdlərdə həmiĢə ümumiləĢdirmə və
xüsusiləĢdirmə haqqında təsəvvür yaradılmıĢdır. Lakin bu müəllimin rəhbərliyi
altında deyil, proqram materialının cari öyrənilməsi ilə yanaĢı, kortəbii edilmiĢdir.
Belə yanaĢma Ģagirdlərin ümumi riyazi hazırlığına ciddi ziyan vurmuĢdur.
Məlumdur ki, keçən əsrin 70-ci illərində məktəb riyaziyyatı çoxluqlar nəzəriyyəsi
əsasında öyrənilirdi. Lakin sonrakı yeni proqram layihəsini tərtib edənlər məktəb
riyaziyyatını çoxluqlar nəzəriyyəsi əsasında öyrənilməsindən əl çəkməyi bir
prinsip kimi qəbul etmiĢlər. Fikrimizcə, məktəb riyaziyyatının tədrisində
mücərrədləĢdirmə və ümumiləĢdirmə səviyyəsini Ģagirdlərin ayrı-ayrı siniflər üzrə
gücünə uyğunlaĢdırılması məsələsinə diqqət verməklə, çoxluqlar nəzəriyyəsi
elementlərindən istifadə faydalı olar. ÜmumiləĢdirmə və xüsusiləĢdirmə
əməliyyatlarının, onların tətbiqlərinin öyrənilməsində çoxluqlar nəzəriyyəsi
dilindən istifadə etmək mühüm üstünlüklərə malikdir. Məktəblərimiz üçün
hazırlanmıĢ hazırkı riyaziyyat proqramlarında bu cəhət demək olar ki, nəzərə
alınmıĢdır. Qəbul edilmiĢ hər hansı proqram materialının Ģagirdlər tərəfindən
74
Ģüurlu mənimsənilməsi yollarından biri də ümumiləĢdirmə və xüsusiləĢdirmə
proseslərini baĢa düĢməkdən ibarətdir.
Hazırda Ģagirdlər təkcə ədədlər üzərində əməlləri mənimsəmək deyil,
ümumiyyətlə əməliyyat anlayıĢını öyrənmək istiqamətində hazırlanmalıdır.
ġagirdlər funksiyanı iki ixtiyari təbiətli ünsürləri olan çoxluğun inikası kimi öyrənə
bilərlər. Materialın kifayət qədər ümumi Ģəkildə öyrənilməsi vaxta qənaət etməyə
səsb olur. Lakin Ģagirdlərin bunula yanaĢı ümumi müddəaların baxılan vəziyyətdə
xüsusi hallara tətbiq etməklə xüsusiləĢdirilməsini öyrənə bilməsi zəruridir. Yuxarı
siniflərdə öyrənilməli olan materialların müvafiq siniflərdə propodevtik kursunun
olması faydalıdır. Bu iĢdə isə ümumiləĢdirmə və xüsusiləĢdirmənin necə
aparılması mühümdür.
Ġstənilən proqram materialı əsasında gündəlik olaraq Ģagirdlərə
ümumiləĢdirmə və xüsusiləĢdirməni öyrətmək mümkündür.
Çoxluqlar nəzəriyyəsi dilindən istifadə etdikdə Ģagirdlər ümumiləĢdirmə və
xüsusiləĢdirməni daha yaxĢı baĢa düĢürlər. Bu onunla izah edilir ki,
ümumiləĢdirmə və xüsusiləĢdirmə anlayıĢlarının özləri çoxluq, alt çoxluq, bir
çoxluğun digər çoxluğa daxil olma münasibəti anlayıĢları ilə əlaqədardır.
Fikrimizi V-VI siniflərdə çoxluq və alt çoxluq elementləri əsasında
ümumiləĢdirmə və xüsusiləĢdirmənin propedevtik öyrənilməsi üzərində izah edək.
Əvvəlcə, Ģagirdləri ümumiləĢdirmə və xüsusiləĢdirmənin mahiyyəti ilə tanıĢ etmək
məqsədilə müvafiq çalıĢmalar sistemi müəyyənləĢdirmək məsləhətdir. Bu
çalıĢmalar eyni zamanda sinifdən xaric məĢğələlərdə çoxluqlar nəzəriyyəsi
dilindən sistematik istifadə etməyə, məktəbdə baxılan anlayıĢların təriflərinin
quruluĢunu öyrənmək və onlar arasında mövcud olan münasibəti müəyyən etmək
iĢinə Ģagirdləri hazırlamağa xidmət edir. Göstərilən iĢləri yerinə yetirmək üçün
sonlu, habelə sonsuz çoxluqlar arasında daxil olma münasibətini müəyyən etmək
üçün Ģagirdlərdə bacarıq və vərdiĢlər formalaĢdırmaq tələb edilir.
AĢağı siniflər üçün buna aid çalıĢmalar sistemi hazırlamaq faydalıdır. Bu
zaman siyahı və səciyyəvi xassəsi ilə verilən sonlu çoxluqlara aid çalıĢmalara
75
üstünlük verilir. Onların yerinə yetirilməsi zamanı müəyyənləĢdirilmiĢ və
möhkəmlənmiĢ əsas müddəalardan sonralar, səciyyəvi xassəsilə (“səciyyəvi xassə”
istilahı Ģagirdlərə bildirilmir) verilən sonsuz çoxluqlara aid analoji çalıĢmaların
icrasında istifadə edilir.
I. V sinifdə çoxluq anlayıĢını formalaĢdırmaq üçün iki növ çalıĢmaya baxılır.
Sonlu çoxluğun səciyyəvi xassəsinə əsasən həmin çoxluğun siyahısını yazmaq və
tərsinə verilmiĢ çoxluğun siyahısına əsasən onun səciyyəvi xassəsini göstərmək.
Sonsuz çoxluqlara aid da analoji çalıĢmalar yerinə yetirilir. Sonuncu fiqur mötərizə
və nöqtələrlə verilir. Məsələn, natural ədədlər çoxluğu
,...
3
,
2
,
1
N
kimi yazılır.
Misal: 1) 3-ə bölünən natural ədədlər çoxluğunu yazın: 2)
,...
8
,
6
,
4
B
çoxluğu
hansı əlamətlə düzəlmiĢdir.
II. Eyni bir çoxluq müxtəlif səciyyəvi xassələrinə əsasən verilə bilər. (Bu
çoxluğun ünsürlərinin siyahısı göstərilmir). Onların eynigüclülüyünün (çətinlik
olduqda bu çoxluğu siyahı ilə göstərməklə) və tərsinə çoxluğun verilmiĢ siyahısına
əsasən onun müxtəlif səciyyəvi xassələrinin müəyyənləĢdirilməsinə aid olan
çalıĢmalar.
1. a) A – 11-ə bölünən ikirəqəmli ədədlər çoxluğu, b) B- hər iki rəqəmi eyni
olan ikirəqəmli ədədlər çoxluğu; c) C- 1
D -
4
2
x
bərabərsizliyinin həlləri çoxluğu olduqda A; B; C; D çoxluqları
haqqında nə demək olar?
2.
11
,
10
,
9
,
8
,
7
A
və
,...
40
,
30
,
20
B
çoxluqları hansı əlamət üzrə
qurulmuĢdur? ġagirdlərdən açıq Ģəkildə verilmiĢ siyahılar çoxluğunun müxtəlif
səciyyələrini göstərməyin tələb edilmədiyinə baxmayaraq məĢğələdə bunun özü-
özlüyündə alınmasına təsadüf etmək olar. Məsələn, Ģagirdlərdən bəziləri B
çoxluğunu “10-na bölünən natural ədədlər çoxluğu”, digərləri “sıfırla qurtaran
natural ədədlər çoxluğu” adlandıra bilər.
Təcrübə göstərir ki, elementlərin hər hansı sonlu çoxluğunu, baĢqa sözlə
formalaĢdıran anlayıĢa misalları, hər dəfə nəzərdən keçirərkən bu anlayıĢın əhatə
etdiyi bütün obyektlər çoxluğunun səciyyəvi xassələrini ifadə edən I Ģəkildə
76
çalıĢmaların yerinə yetirilməsi sonralar formalaĢdırılmalı anlayıĢın tərifinin
qurulması iĢini müvəffəqiyyətlə aparmaq üçün faydalıdır. II Ģəkildə çalıĢmaların
yerinə yetirilməsi nə üçün eyni bir anlayıĢa müxtəlif təriflər verməyin mümkün
olduğunu baĢa düĢməyə kömək edir. ġagirdlər eyni bir anlayıĢa eynigüclü müxtəlif
təriflər verməyi öyrənirlər. Sonrakı siniflərdə də I-II Ģəkildə çalıĢmalara baxmaq
olar.
VI sinifdə alt çoxluq anlayıĢını öyrənərkən siyahı ilə verilən sonlu çoxluqlar
arasında daxil olma münasibəti müəyyən edilir. Xassələri ilə verilən sonlu
çoxluqlar arasında daxil olma münasibəti müəyyən edilən çalıĢmalara baxılır. Iki
çoxluğun siyahı ilə verilməsi bunlardan hansının alt çoxluq olduğunu müəyyən
etməyə imkan verir. Sonra onların səciyyəvi xassələrini müqayisə etməklə alt
çoxluğun bütün elementlərinin hər hansı əlavə xassəni ödədiyinə Ģagirdlərin
diqqətini yönəltməyə imkan yaranır. Bu sonsuz çoxluq üçündə doğru olduğundan
habelə sonsuz çoxluqlar arasında, onların səciyyəvi xassələrini müqayisə etməklə,
daxil olma münasibətini müəyyən etmək mümkün olur. Məsələn, tam ədədlər və
tam cüt ədədlər çoxluqlarından danıĢılırsa, Ģagirdlər nəticə çıxarırlar ki, ikinci
çoxluq birincinin alt çoxluğudur. Çünki, ikinci çoxluq üçün səciyyəvi xassə hər iki
çoxluq üçün ümumi olan “tam ədəd olmaq” xassəsindən əlavə “cüt olmaq”
xassəsidir.
Eyni bir çoxluq müxtəlif səciyyəvi xassələrlə verilə bilər. Odur ki, çoxluqlar
arasında daxil olma münasibətini onların səciyyəvi xassələrinin müqayisəsi ilə
müəyyən etmək çox vaxt yalnız səciyyəvi xassələrdən birini onunla ekvivalent
baĢqa səciyyəvi xassə ilə əvəz etdikdən sonra mümkün olur. VI sinif Ģagirdlərinə
əsasən dərhal müəyyən etmək mümkün olan çalıĢmalar təklif etmək lazımdır.
AĢağıda belə çalıĢmaların əsas növlərini göstərək.
III. Ġki çoxluq siyahı həm də səciyyəvi xassələri ilə verilməklə çalıĢmalar
icra edilir. ġagirdlər çoxluqlardan hansının digərinin alt çoxluğu olduğunu
müəyyən edirlər. Habelə çoxluqlardan birinin səciyyəvi xassəsinə əlavə xassə
artırmaqla və ya müvafiq xassəni kənar etməklə digərinin səciyyəvi xassəsinin
alındığını göstərirlər. Bu çalıĢmaları yerinə yetirərkən Ģagirdlər əvvəlcə siyahı ilə
77
verilmiĢ iki çoxluqdan alt çoxluğu müəyyən edir, sonra onların səciyyəvi
xassələrinə baxırlar. Onları müqayisə etməklə alt çoxluğun bütün elementlərinin
ödədiyi əlavə xassəni göstərirlər.
Bir neçə nümunə göstərək: VerilmiĢ iki çoxluqdan hansı digərinin alt
çoxluğudur? Alt çoxluğun bütün elementlərinin ödədiyi əlavə xassəni göstərin.
1) A={yanvar, fevral, mart, aprel, may, iyun, iyul, avqust, sentyabr, oktyabr,
noyabr, dekabr} bir ildəki aylar çoxluğu; B={iyun, iyul, avqust} yay ayları
çoxluğu. 2) M ={0, 3, 6, 9} 3-ə bölünən birrəqəmli ədədlər çoxluğu;
N={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
–
bir
rəqəmli
ədədlər
çoxluğu.
3)
C={11,21,31,41,51,61,71,81,91} – vahidlə qurtaran ikirəqəmli ədədlər çoxluğu;
D={21, 51, 81} –vahidlə qurtaran və 3-ə bölünən ikirəqəmli ədədlər çoxluğu.
IV. Ġki çoxluq siyahı ilə verilir və onlardan birinin səciyyəvi xassəsi
göstərilir. Alt çoxluğu müəyyən etmək və ikinci çoxluğun səciyyəvi xassəini
göstərmək tələb olunur.
Misal: Çoxluqlardan hansı digərinin alt çoxluğudur. Nöqtələr yerində alt
çoxluğun bütün elementlərinin ödədiyi əlavə xassəni göstərin.
1) A= {22,44,66,88} – hər iki rəqəmi eyni olan...ikirəqəmli ədədlər çoxluğu
B={11,22,33,44,55,66,77,88,99} hər iki rəqəmi eyni olan... iki rəqəmli ədədlər
çoxluğu. Bu çalıĢmanı icra edərkən elmlərin siyahısını müqayisə etməklə Ģagirdlər
alt çoxluğu tapır, sonra alt çoxluğun bütün elementlərinin ödədiyi əlavə xassəni
müəyyən edib onu nöqtələrin yerində yazırlar. Digər çoxluğun səciyyəvi xassəsi
isə dəyizməz qalır.
2) Çoxluqlardan hansının digərinin alt çoxluğu olduğunu müəyyən edin. Alt
çoxluğun bütün elementlərinin ödədiyi əlavə xassəni göstərin. Ġkinci çoxluq hansı
prinsip üzrə qurulmuĢdur?
a) A= {yaz} – ilin ağacların çiçəklənmə vaxtı çoxluğu. B={qıĢ, yaz,
payız}...çoxluğu. ġagirdlər alt çoxluğu müəyyən edir, onun bütün elementlərinin
ödədiyi əlavə xassəni tapırlar. Alt çoxluğun səciyyəvi xassəsi məlumdursa, onda
ikinci çoxluğun axtarılan səciyyəvi xassəsi veriləndən tapılan əlavə xassəni kənar
78
etməklə alınır, üst
1
çoxluğun səciyyəvi xassəsi verilmiĢdirsə, onda axtarılan
səciyyəvi xassə veriləndən tapılan əlavə xassənin əlavə edilməsi ilə alınır.
V. Ġki çoxluq səciyyəvi xassələri ilə verilir və bundan əlavə onlardan birinin
elementlərinin siyahısı göstərilir. ġagirdlər səciyyəvi xassələri müqayisə etməklə
verilmiĢ çoxluqlar arasında daxil olma münasibətini müəyyən edirlər. Sonra isə
səciyyəvi xassəsinə əsasən ikinci çoxluğun elementlərinin siyahısını düzəldirlər.
Hər iki çoxluğun elementlərini nəzərdən keçirməklə müəyyən edilmiĢ daxil olma
münasibətinin doğru tapılıb tapılmadığı yoxlanılır. Misal: 1) tək birrəqəmli ədədlər
çoxluğu C={1,3,5,7,9}; D- birrəqəmli ədədlər çoxluğu. Hansı çoxluq digərinin alt
çoxluğudur? 2) GünəĢ sistemində plantlər çoxluğu: M={Merkuri, Venera, Yer,
Mars, Yupiter, Saturn, Uran, Neptun, Pluton}. (GünəĢdən olan məsafələri
ardıcıllığı ilə yazılmıĢdır). N – günəĢ sistemində Yerə nisbətən GünəĢə yaxın
məsafədə yerləĢən planetlər çoxluğu. Çoxluqlardan hansı digərinin alt çoxluğudur?
N – çoxluğunu böyük mötərizə vasitəsilə yazın və alt çoxluğun düzgün tapılıb
tapılmadığını yoxlayın.
VI. Çoxluqlardan biri səciyyəvi xassəsilə verilir və onun elementlərinin
siyahısı göstərilir. Bu çoxluğun verilmiĢ səciyyəvi xassəsinə əsasən Ģagirdlər
verilmiĢ çoxluğun alt və ya üst çoxluğu olan çoxluğun səciyyəvi xassəsini ifadə
edirlər və onun elementlərinin siyahısını göstərirlər. Yeni çoxluğun elementlərinin
siyahısını tərtib etmək VI Ģəkildə çalıĢmaların düzgün icra edilib edilmədiyini
yoxlamağa imkan verir. Xüsusən verilmiĢ çoxluğun yeni səciyyəvi xassəsi ilə onun
məxsusi alt çoxluğunu ayırmağın mümkünlüyünə inam yaranır.
Misallar: 1) Birrəqəmli ədədlər çoxluğu: A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}; Bu
çoxluğun alt çoxluğunu (B) almaq üçün hər hansı əlamət göstərin. B – çoxluğunu
siyahı ilə yazın. 2) Dünyanın adı “ya”ilə qurtaran qitələri çoxluğu. C={Avstraliya,
Asiya}. Bu çoxluğun D üstçoxluğunu almaq üçün hər hansı əlamət göstərin. D
çoxluğunu siyahı ilə yazın.
1
Alt çoxluğun daxil olduğu çoxluq
79
I-VI Ģəkildə çalıĢmaların icrası Ģagirdləri ancaq səciyyəvi xassələri ilə
verilən çoxluqlar arasında daxil olma münasibətini müəyyən etməyə aid tapĢırıqları
həll etməyə hazırlayır. Çətinlik olan hallarda çoxluğu siyahı ilə yazmaq imkanı
olsun deyə əvvəl Ģagirdlərlə sonlu çoxluqlara aid çalıĢmalara baxılır. Sonra sonsuz
çoxluqlara aid çalıĢmalar nəzərdən keçirilir. Öz səciyyəvi xassələri ilə verilən iki
çoxluqdan alt çoxluğun seçilməsi alt çoxluqda hər hansı əlavə xassənin olması ilə
əsaslandırılır.
VII. Daxil olma münasibətində olan iki çoxluq səciyyəvi xassələri ilə verilir.
ġagirdlər verilmiĢ səciyyəvi xassələri müqayisə etməklə alt çoxluğu tapırlar və hər
iki çoxluq üçün eyni olan xassələrlə yanaĢı hər hansı əlavə xassəni müəyyən
edirlər.
Misallar: Ġki çoxluq verilir. 1) Hansı çoxluq digərinin alt çoxluğudur? Alt
çoxluğun bütün elementlərinin ödədiyi əlavə xassəni göstərin. a) C- qoyunlar
çoxluğu; D – qara qyounlar çoxluğu. B) E – bucaqlar çoxluğu, L – iti bucaqlar
çoxluğu. C) P – 5-ə bölünən tam ədədlər çoxluğu; Q – 10 –na bölünən tam ədədlər
çoxluğu. 2) Bir çoxluğun verildiyi elementlərdən digər çoxluğu təyin edən
əlamətlər alınmaqla kənar edilən xassələri göstərin, hansı çoxluq digərinin alt
çoxluğudur: a) C- küknar ağacları çoxluğu, D – ağaclar çoxluğu. b) E – cüt ədədlər
çoxluğu, F- tam ədədlər çoxluğu; c) P – kəsrlər çoxluğu, Q – düzgün kəsrlər
çoxluğu.
VIII. Çoxluqlardan biri səciyyəvi xassə ilə verilir. BU çoxluğun verilmiĢ
səciyyəvi xassəsinə əsasən Ģagirdlər onun alt və ya üst çoxluğu olan çoxluğun
səciyyəvi xassəsini ifadə edirlər. Sonuncu halda ikinci çoxluğa daxil olan heç
olmasa bir element göstərmək lazımdır.
1) B çoxluğunu hansı əlamət üzrə qurmaq olar ki, A çoxluğu onun alt
çoxluğu olsun: a) A – səhradakı çiçəklər çoxluğudur; b) A – 4ə bölünən birrəqəmli
ədədlər çoxluğudur.
2) Ġkinci B çoxluğunu hansı əlamətə görə tərtib etmək olar ki, O, A –
çoxluğunun alt çoxluğu olsun: a) A – ikirəqəmli ədədlər çoxluğu; b) A – ev
80
heyvanları çoxluğu, c) A – dərsliklər çoxluğu. B çoxluğunun bir neçə elementini
sadalayın.
3) B çoxluğunu hansı əlamət üzrə tərtib etmək olar ki,
A
B
; C çoxluğunu
hansı əlamət üzrə tərtib etmək olar ki,
C
A
. Iki B və C çoxluqlarından hansı
digərinin alt çoxluğudur:
a) A – Azərbaycan əlifbasının hərfləri çoxluğudur;
b) A – 15-ə bölünən ədədlər çoxluğudur;
c) A – sinifdəki Ģagirdlər çoxluğudur.
VIII Ģəkildə çalıĢmaların yerinə yetirilməsi zamanı Ģagirdlərin cavabları
birqiymətli olmaya da bilər. Məsələn, 4-ə bölünən birrəqəmli ədədlər çoxluğu üçün
onun üst çoxluğu olaraq birrəqəmli ədədlər çoxluğunu, 4-ə bölünən ədədlər
çoxluğunu, birrəqəmli cüt ədədlər çoxluğunu, 2-yə bölünən ədədlər çoxluğunu
götürmək olar.
III-VIII Ģəkildə çalıĢmaların icrası nəticəsində Ģagirdlərdə belə bir təsəvvür
yaranmamaq üçün ki, ixtiyari iki çoxluq, mütləq daxil olma münasibətində
olmalıdır. Dərsdə iki çoxluqdan heç biri digərinin alt çoxluğu olmamasına aid də
çalıĢmalara baxmaq lazımdır. Bunun üçün iki çoxluğun kəsiĢməsinin boĢ və boĢ
olmayan çoxluq olması hallarına baxılır. Bundan əlavə, bu nöqteyi nəzərdən cüt-
cüt daxil olma münasibətində olan və olmayan ikidən artıq çoxluqlara baxılan
çalıĢmalar icra etdirmək faydalıdır. Misallar: VerilmiĢ çoxluqlardan hansı digərinin
alt çoxluğudur. a) A – birrəqəmli cüt ədədlər çoxluğu; B – birrəqəmli tək ədədlər
çoxluğu; C – birrəqəmli ədədlər çoxluğu. b) D – 2-yə bölünən ədədlər çoxluğu; E –
6-ya bölünən ədədlər çoxluğu; F – 3-ə bölünən ədədlər çoxluğu. c) M – üçbucaqlar
çoxluğu; N – düzbucaqlı üçbucaqlar çoxluğu; Q – itibucaqlı üçbucaqlar çoxluğu, T
– korbucaqlı üçbucaqlar çoxluğu. I-VIII çalıĢmalar V-VI siniflərdə təkcə çoxluq və
alt çoxluq anlayıĢlarının öyrənilməsi zamanı deyil, habelə sonrakı mövzuların
tədrisi ilə əlaqədar həmin və baĢqa siniflərdə də yerinə yetirilə bilər. III-VIII
çalıĢmalar bir çoxluğun və onun alt və ya üst çoxluqları olan digər çoxluğun
elementlərinin müəyyənləĢdirilməsinə gətirilir. Bu isə o deməkdir ki, hər dəfə
81
göstərilən çalıĢmaları icra edərkən Ģagirdlər ümumiləĢdirmə və xüsusiləĢdirmə
aparmaq bacarığı və vərdiĢi qazanırlar.
Təcrübə göstərir ki, Ģagirdlərdə verilmiĢ çoxluqlar arasında (sonlu və
sonsuz) daxil olma münasibətini müəyyən etmək bacarığı, vərdiĢi
formalaĢdırmağa, ümumiləĢdirmə və xüussiləĢdirmənin mahiyyətini anlatmağa
III,V,VII Ģəklində çalıĢmaların icrası nəticəsində nail olmaq mümkündür. IV, VI
və VIII Ģəkildə çalıĢmaların yerinə yetirilməsi isə (Bir çoxluğun səciyyəvi
xassəsindən digər çoxluğun səciyyəvi xassəsini qurmaq üçün istifadə olunur)
Ģagirdləri onlara əvvəldən məlum olan anlayıĢın tərifinə əsasən digər anlayıĢın
tərifini qurmaq iĢinə hazırlamaqdır.
V sinfin riyaziyyat proqramında Ģagirdlərin təfəkkürünü inkiĢaf etdirmək,
artıq bu yaĢda əqli priyomları məqsədəuyğun Ģəkildə öyrənməküçün böyük
imkanlar vardır. Əlbəttə, məsələ həlli zamanı Ģagirdlərin təfəkkürü də inkiĢaf edir.
Lakin onlara fikirləĢməyi öyrətmək lazımdır. Bu təlimdə çox mühümdür. Hər bir
mövzu üzrə hesablama vərdiĢlərini vahid Ģəkildə birləĢdirmək, müqayisə və
ümumiləĢdirmə təfəkkür priyomlarını öyrətməyə diqqət vermək olar. Bu məqsədlə
müəllim yazı taxtasında və ya ekranda a+425=7042, b+275=506 və 2c+4c=6c
bərabərliklərini təqdim edərək, dəyiĢənin hansı qiymətlərində onların doğru
olduğunu soruĢur. Bir-iki dəqiqə keçdikdən sonra birinci iki misalın cavabını
Ģagirdlər deyir. Üçüncüsü c-in bir sıra qiymətlərində bərabərliyin doğru olduğu
söylənilir. Bir çox belə induktiv mühakimələrdən sonra ümumiləĢdirmə belə olur:
C - nın ixtiyari qiymətlərində üçüncü bərabərlik doğrudur. Sonra bərabərlikləri
müqayisə edərək Ģagirdlər belə nəticəyə gəlirlər: birinci iki bərabərliklərin hər biri
dəyiĢənin bir qiymətində, üçüncü isə onun ixtiyari qiymətlərində ödənilir. ġagirdlər
həmin misalların fərqi ilə yanaĢı ümumi cəhətlərini də göstərirlər.
Ġnduksiya üzrə ümumiləĢdirməyi öyrətmək məqsədi ilə: “Ġki ədədin fərqi
sıfırla qurtarırsa, azalan və çıxılan hansı rəqəmlərlə qurtarılmalıdır” kimi
çalıĢmalara Ģagirdlərin diqqətini cəlb etmək olar. ġagirdlər əvvəlcə komponentlərin
2,4,6 ilə, sonra eyni cüt rəqəmlərlə, 1,5,7,9,... ilə, eyni tək rəqəmlərlə, nəhayət,
eyni rəqəmlərlə qurtarmalı olduğunu deyirlər. Bundan sonra “Azalan və çıxılanın
82
fərqinin 1 ilə qurtarması üçün onlar hansı rəqəmlərlə qurtarmalıdır” çalıĢması
analoji mühakimə ilə həll edilir.
Təlim prosesində Ģagirdlər bilik almaqla yanaĢı, onlara nail olma
priyomlarını da mənimsəyirlər.
Adətən konkret məsələ növünə aid müĢahidələrdən baĢlayaraq, daha geniĢ
Ģərtlər sinfinə tətbiq olunan prinsiplərlə qurtarırıq. Bunun üçün Ģagirdlərlə ardıcıl
olaraq bir çox məsələlər həll etmək və dərslər sistemi aparmaq lazımdır. Əlbəttə,
mücərrədləĢdirmə, ümumiləĢdirmə kimi priyomlar hər bir Ģagirdin qüvvəsinə
uyğun deyildir. Lakin təfəkkür priyomlarına sahib olmaq onların ümumi inkiĢafına
təsir etməlidir. Belə olduqda təlim həqiqətən inkiĢaf etdirici funksiyasını yerinə
yetirə bilər.
V-VI siniflərdə Ģagirdlərin ümumiləĢdirmə qabiliyyətinin artırılması ilə
yanaĢı, onların digər məntiqi biliklərinin inkiĢafına da diqqət vermək lazımdır. Bu
iĢin fənlər arası əlaqənin yerinə yetirilməsində böyük əhəmiyyəti vardır.
ġagirdlərin əqli inkiĢafında vahid sistem yaradılması pedaqoji elmlərin qarĢısında
duran mərkəzi məsələlərdəndir. Bu problemi Ģagirdlərdə məntiqi mədəniyyətin
tərbiyə edilməsilə əlaqələndirməklə daha müvəffəqiyyətlə həll etmək olar.
Məktəbdə məntiq ayrıca fənn kimi öyrənilmir. Lakin hazırda Ģagirdlərə müəyyən
məntiqi bilik və bacarıqlar verilməsi zəruridir. Məktəb dərsliklərindəki bir çox
tapĢırıqlarda məntiqi xarakterli müəyyən əməliyyatlar (isbat etmək, əsaslandırmaq,
tərif vermək, təsnifat aparmaq, nəticə çıxarmaq və s.) aparmaq tələb olunur.
Deməli məntiq elmi fənlərin yüksək səviyədə mənimsənilməsində mühüm rol
oynayır.
Elmlərin
riyaziləĢdirilməsi,
EHM-in
müxtəlif
sahələrdə
tətbiqi,
informasiyaların daima artması, onların məntiqi iĢlənməsinin zəruriliyi, mühüm
nəticələrindən biri faktların öyrənilməsinə nisbətən metodların mənimsənilməsinə
üstünlük verməkdən ibarət olan təlimin yeniləĢdirilməsi məntiqi biliklərə xüsusi
diqqət verilməsinin əsas səbəblərindəndir. Deməli Ģagirdlərin məntiqi biliklərinin
yüksəldilməsinə dair xüsusi tələblər vardır və bu tələb gələcəkdə daha da artırılaraq
məktbin əsas vəzifəsi olacaqdır. Keçən əsrin 70-ci illərində Ģagirdlərə bəzi
83
elementar məntiqi biliklər verilirdi. Lakin bu biliklərdən riyaziyyatın özündə belə
tam Ģəkildə istifadə olunmurdu. Digər fənlərdə isə demək olar ui, yox dərəcəsində
idi. Hazırda fənn müəllimləri bu və ya digər məntiqi priyomlar haqqında Ģagirdlərə
təsadüfi hallarda məlumat verirlər, həm də tədris qarĢısında belə məqsəd də
qoyulmur. Lakin məntiq elementləri açıq Ģəkildə öyrənilməsə də gizli olaraq hər
bir fəndə tətbiq olunur. Ayrı-ayrı fənn müəllimlərinin bir-birindən xəbərsiz məntiqi
priyomları Ģagirdlərə səthi izah etməsi təcrübəsi lazımsız paralelizmə, vaxtın
itməsinə, məntiqi biliklərin sistemsiz, qarmaqarıĢıq verilməsinə, Ģagirdlərdə
müxtəlif məntiqlərin (tarix, coğrafiya və s. məntiqləri) olması kimi səhv
təsəvvürün yaranmasına səbəb olur. ĠĢin bu Ģəkildə qoyulması isə Ģagirdlərdə
məntiqi mədəniyyət tərbiyə edilməsinə kömək deyil, ona ziyan gətirir. Məntiqi
mədəniyyət tərbiyəsi sistemi yaradılmasının gələcəyi olan əsas yolu belə olmalıdır:
ġagirdlər üçün zəruri olan minimum məntiqi bilik və bacarıqlar müəyyən edilir,
bunlar riyaziyyatda daha aĢkar Ģəkildə göründüyündən bu fənnin daxilində
verilərək digər fənlərdə də istifadə olunur. ĠĢin belə təĢkili lazımsız təkrara yol
vermədən tədris vaxtına qənaət etməyə, məntiqi istilahların müxtəlif formalarda
istifadəsinin qarĢısını almağa, məntiqi konkret məzmunla bağlamağa gətirən
psixoloji maneəni aradan götürməkdə, məntiqin ümumi əhəmiyyətini, onun
metodlarının universallığını hiss etməkdə, bu biliklərin tətbiqini öyrənməkdə, onun
təfəkkürün mühüm aləti olmasını baĢa düĢməkdə Ģagirdlərə kömək etməyə imkan
verər. Göstərilən sxemi müvəffəqiyyətlə reallaĢdırmaq üçün öyrənmə mövzusu
kimi ayrılmıĢ məntiqi elementlər üzrə fənlər arası əlaqənin, habelə onların
riyaziyyat dərslərində öyrənilməsinin metodik sistemini dəqiq iĢləmək lazımdır.
Hazırkı məktəb riyaziyyatında Ģagirdlərə lazımi məntiqi biliklər vermək, V-
VI siniflərdə belə mədəniyyətin əsasını qyomaq imkanları vardır. Keçən əsrin 70-
ci illərinin dərslikləri və metodik vəsaitlərində bəzi mühüm məntiqi anlayıĢlar
(təsnifat, alınma, eynigüclülük, mülahizə, mülahizə formaları və s.) açıq Ģəkildə
qoyulmuĢdur, bəziləri isə xüsusi tədris obyekti kimi deyil (təriflər, əqli nəticələr,
isbatlar kimi anlayıĢlar) riyazi materialın öyrənilməsi prosesində mənimsənilirdi və
hazırda da belədir. lakin bir qayda olaraq riyaziyyat dərslərində qazanılmıĢ məntiqi
84
biliklərdən və bacarıqlardan Ģagirdlər riyaziyyatın özündə istifadə edirlər, onları
digər tədris fənlərinə köçürmürlər, baĢqa vəziyyətlərdə istifadə edə bilmirlər.
Ġlk riyazi təkliflərin öyrənilməsi zamanı (məsələn, bucaqların, üçbucaqların
növlərinə tərif verərkən) Ģagirdlər üçün onların “cins+növ fərqləri” quruluĢunu
aydınlaĢdırmaq və bildirmək lazımdır ki, baĢqa bilik sahələrində də anlayıĢların
tərifləri bu prinsiplə verilir. Nümunə üçün “Düz bucaqdan kiçik bucağa iti bucaq
deyilir” tərifində “iti bucaq” tərif verilən, “bucaq” cins, “düz bucaq” növ fərqi
anlayıĢları olduğu Ģagirdlərə deyilir.
Cins və növ fərqlərini göstərməklə tərif vermənin xüsusi nəzərdən
keçirilməsi bu və ya digər tərifin düzgün ifadə edilməsi ilə yanaĢı, baxılan
anlayıĢın anlayıĢlar sistemində yerini göstərməyə, baĢqa sözlə, təsnifat adlanan
elmi idrak metodunu baĢa düĢməyə kömək edir. Obyekt və hadisələrin
öyrənilməsini asanlaĢdıran təsnifatın insanların nəzəri və təcrübi fəaliyyətində
böyük əhəmiyyəti vardır. Ondan bütün elmlərdə istifadə olunur. Lakin Ģagirdlərin
diqqəti təsnifatların necə aparılmasına, bununla əlaqədar hansı ümumi, konkret
məzmundan asılı olmayan qaydaların göstərilməsinə cəlb edilmir. V sinfin
riyaziyyat kursunda bucaqlarına və tərəflərinin uzunluğuna görə üçbucaqların
təsnifatına baxılır. Lakin bundan sonra VII sinfə qədər bu məsələyə qayıdılmır.
Təsnifat anlayıĢını yalnız daxil etmək deyil, onun öyrənilməsini elə təĢkil etmək
lazımdır ki, bu ümumi məntiqi əməliyyatı Ģagirdlər Ģüurlu yerinə yetirsinlər və
digər tədris fənlərinə köçürə bilsinlər. Bütün məktəb fənlərinin o, cümlədən
riyaziyyatın tədrisi zamanı Ģagirdlərdən hər-hansı təklifi isbet etmək tələb olunur.
V-VI siniflərdə Ģagirdlərə isbat etməyin nə demək olduğunu öyrətmək lazımdır.
Məsələn, “iki düzgün kəsrin hasilinin 1-dən böyük olmadığını isbat edin” kimi
çalıĢmalardan istifadə etməklə həmin siniflərdə isbat etməyin mahiyyətini, habelə
zəruriliyini Ģagirdlərə baĢa salmaq olar. Həndəsə kursunun öyrənilməsinə qədər ən
sadə deduktiv əqli nəticələr qurmağı öyrətmək mümkündür. Bu, həndəsənin
teoremlərinin mənimsənilməsinə yaxĢı hazırlıqdır. Ġlk teoremlərin isbatında
Ģagirdlərin necə çətinlik çəkdikləri məlumdur. AĢağı siniflərdə isbatın aparılmasına
hazırlıq digər məktəb fənlərinin öyrənilməsinə də köməkdir. ġagirdlərin diqqətini
85
belə bir məsələyə yönəltmək lazımdır ki, mühakimələrdə bir təklif digərindən,
konkret məzmundan asılı olmayaraq onların quruluĢundakı əlaqəyə əsasən alınır.
Tamamı ilə müxtəlif məzmunlu, elmin və gündəlik həyatın ayrı-ayrı sahələrinə
tətbiq olunan mühakimələr eyni formada ola bilər. Məsələn: 1) üçbucaq
bərabəryanlıdırsa, onun oturacağına bitiĢik bucaqları bəradərdir; ABC üçbucağı
bərabəryanlıdır. Beləliklə ABC üçbucağında oturacağa bitiĢik bucaqlar bərabərdir.
2) Söz – xüsusi ad bildirirsə, onda o, böyük hərflə yazılır. “Xəzər” xüsusi ad
bildirir. Deməli, “Xəzər” sözü böyük hərflə yazılır. Bu mühakimələr məzmunca
müxtəlifdir, lakin eyni bir formadadır: “A-dırsa onda B-dir; A; deməli B ”. Bu
ümumi sxem üzrə qurulan bütün mümkün mühakimələrdən Ģərt doğru olduqda
doğru nəticələr alınır. Beləliklə, aĢağı siniflərdən baĢlayaraq, riyaziyyatın təlimi
zamanı bu kursun əsasında qoyulan məntiqi elementləri müəyyənləĢdirmək və
riyaziyyatın özündə, habelə digər fənlərin tədrisində onları tətbiq etmək lazımdır.
Məktəb riyaziyyatının digər fənlərlə əlaqəli öyrənilməsi zamanı bu fənn
üçün ümumi olan tərif, təsnifat, nəticə çıxarma, əqli nəticələrin və isbatların
qurulması kimi məntiqi əməliyyatlardan istifadə etmək faydalıdır.
86
ƏDƏBİYYAT
1. Ümumtəhsil məktəblərinin V-XI sinifləri üçün riyaziyyat proqramı, B.,
2002.
2. Yaqubov M.H və b., Riyaziyyat, ümumtəhsil məktəblərinin 5-ci sinifi
üçün dərslik, ÇaĢıoğlu, Bakı – 2004.s.333
3. Mərdanov və b., Riyaziyyat, ümumtəhsil məktəblərinin 6-cı sinfi üçün
dərslik, ÇaĢıoğlu, Bakı – 2003, s.334
4. Filiçeb S.V. və Y.F.Çekmaruov, Hesab məsələləri həlli üçün rəhbər, B.,
AzərnəĢr, 1954.
5. Quliyev Ə.A., I-V finiflərdə əməl anlayıĢının propedevtikası, ADPU-nun
xəbərləri, B., 1997, N2.
6. Quliyev Ə.A., IV sinifdə həndəsə məzmunlu çalıĢmalar sisteminə aid
metodik göstəriĢ, ADPU-nun nəĢriyyatı, B.,1998.
7. Quliyev Ə.A., Ədəd anlayıĢının öyrənilməsi metodikasına dair, ADPU-
nun professor-müəllim heyətinin 62-ci elmi konfransının materialları, B.,2002.
8. Quliyev Ə.A., Planimetriyanın məsələ vasitəsilə təkrarı, “Nurlan”, B.,
2008. s.200
9. Quliyev Ə.A., Riyaziyyatın tədrisində üumiləĢdirmə, Bakı “Elm”-
2009.s.452
10. Quliyev Ə.A.,Həndəsə məsələləri, Bakı – “ELm”-2010.
11. Məktəb pedaqogikası, Q.Ġ.ġukinanın redaksiyası ilə, “Maarif” nəĢriyyatı,
B.,1982.
12. Bayramov Ə.S., Psixologiya, “Maarif” nəĢriyyatı, B., 1989.
13. Методика преподования математики в средней школе, частная
методика, М., «Просвешение» 1987.
14. Андронов И.К. Арифметика натуральных чисел. М., Учпедгиз,
1954.
87
15. Давыдов В.В. Виды обощения в обучении, М., «Педагогика», 1972.
16. Математика в школе, 1956-2007-cı illər.
17. Семушин А.Д и др., Активизация мыслительной дейятельности
учащихся при изучении математики. М.,1978.
18. Квант, 1971-2000 –cı illər.
88
Mündəricat
GiriĢ.................................................................................................................
I. Riyaziyyatın təkrarı üçün məsələlər............................................................
II. Həllər, Ģərhlər və cavablar (I üçün)...........................................................
III. Məsələ vasitəsilə təkrar möhkəmləndirmə prinsipinin reallaĢdırılması
kimi ............................................................................................................................
IV. Ġbtidai siniflərdə riyaziyyatın təliminə dair...............................................
V. V-VI siniflərdə çoxluq anlayıĢı ilə əlaqədar Ģagirdlərin ümumiləĢdirmə və
xüsusiləĢdirmə qabiliyyətlərinin inkiĢaf etdirilməsi..............................................
Ədəbiyyat.....................................................................................................
5>
Dostları ilə paylaş: |