S. F. Amirov, M. S. Yoqubov, N. G’. Jabborov elektrotexnikaning nazariy asoslari

2.8.5. Sinusoidal tok zanjirlarini kompleks usulida hisoblash 

Sinusoidal tok zanjirlarini hisoblashda o'zgarmas tok zanjirlarini

hisoblashda qo'llanilgan barcha usullardan foydalaniladi. Bunda
tuzilgan tenglamalardagi tok, kuchlanish, EYuK va qarshiliklar
kompleks shaklda yoziladi. Sinusoidal tok zanjirini hisoblashdagi
o'ziga xos xususiyatlarni aniqroq tasavvur qilish uchun ayrim
zanjirlarni kompleks usulda hisoblashni ko'rib chiqamiz.

ELEKTROTEXNIKANING NAZARIY ASOSLARI

101
1. Shoxobchalanmagan zanjirni hisoblash. Kuchlanishlarning

topografik vektor diagrammasi.
2.18-rasm, a da keltirilgan zanjirni ko'rib chiqamiz. Manba
kuchlanishi va iste'molchilar parametrlari berilgan.

2.18-rasm

Zanjirning to'la qarshiligi:
,
3
2
3
2
1
1
3
2
1

j
L
L
C
ze
jx
r
jx
r
jx
r
jx
r
Z
Z
Z
Z













bu yerda

.

,

,

3
2
1
3
2
1
r
x
arctg
x
x
x
x
r
r
r
r
L
L
C










Om qonuni asosida zanjirdagi tok va uning elementlaridagi

kuchlanishlarni topamiz:






.

,

,

,
/
3
2
1
3
3
3
2
2
2
1
1
1
L
L
C
jx
r
I
I
Z
I
U
jx
r
I
Z
I
U
jx
r
I
Z
I
U
Z
U
I











Zanjirning to'la, aktiv va reaktiv quvvatlari:

,
~
~
~
~
3
2
1
3
2
1













I
U
I
U
I
U
S
S
S
jQ
P
I
U
S












n
k
n
k
k
k
Р
Р
Р
Р
r
I
S
P
1
1
3
2
1
2
,
~
Re

.
~

1
3
1
2
1
2











n
k
n
k
k
k
m
Q
Q
Q
Q
x
I
S
I
Q

Zanjirdagi jarayonlarni grafik tasvirlash uchun kuchlanishlar

vektor diagrammasi qurilgan (2.18-rasm, b).
Bu diagrammada istalgan vektor parallel ravishda ko'chirilishi
mumkin.
Kirxgofning
2-qonuni
asosida
vektor
diagramma
qurilganda vektorlar ixtiyoriy ketma-ketlikda qurilishi mumkin.

ELEKTROTEXNIKANING NAZARIY ASOSLARI

102
Kuchlanishlar topografik vektor diagrammasi deb shunday vektor

diagrammaga aytiladiki, unda kuchlanishlar vektorlari zanjir
elementlarining o'zaro ulanish ketma-ketligi bo'yicha quriladi. Bunda
kuchlanishlar vektor diagrammalari topologiyasi zanjir topologiyasi
bilan bir xil bo'ladi, ya'ni vektorlarning o'zaro ulangan nuqtasiga
zanjirning shu vektorlar xarakterlayotgan elementlarining ulangan
nuqtasi mos keladi.
Topografik diagramma zanjirning istalgan nuqtalari orasida
kuchlanishni osongina aniqlash imkonini beradi. Masalan, 2.18-
rasm, b dagi vektor diagrammada
dn
U

kuchlanish

n
nuqtadan
d

nuqtaga yo'nalgan vektor ko'rinishda ko'rsatilgan.

Masala:
Agar
elektr
zanjirda
(2.19-rasm)

;
120

1
V
E 

;
120

0
120
2
V
e
E
j


;
120
0
240
3
V
e
E
j


Оm
x
x
r
C
L

10




bo'lsa,
shoxobchalardagi toklar aniqlansin.
Yechish. Ushbu zanjirni ikki tugun usuli yordamida hisoblash
osonroq.
Buning
uchun
shoxobchalarning
kompleks
o'tkazuvchanliklarini aniqlaymiz:

;
См

1
,
0
1
1


r
Y

;
См

1
,
0
1
2
j
jx
Y
C




.
См

1
,
0
1
3
j
jx
Y
L




Ikki tugun orasidagi kompleks kuchlanishni topamiz:



.

328
1

,
0
1
,
0
1
,
0
1
,
0
120
1
,
0
120
1
,
0
120
240
120
3
2
1
3
3
2
2
1
1
0
V
j
j
j
e
j
e
Y
Y
Y
Y
E
Y
E
Y
E
U
j
j
ab


















Om qonuni bo'yicha shaxobchalardagi toklar:





,

8
,

20
1
,
0
328
120
1
1
1
A
Y
U
E
I
ab













,

40
1

,
0
328
120
0
0
105
120
2
2
2
A
e
j
e
Y
U
E
I
j
j
ab


















.

40
1

,
0
328
120
0
0
75
240
3
3
3
A
e
j
e
Y
U
E
I
j
j
ab











ELEKTROTEXNIKANING NAZARIY ASOSLARI

103
2.9. Elektr zanjirlarida rezonans 

Elektr zanjirlarida reaktiv qarshiliklar musbat, manfiy va nolga
teng bo'lishi mumkin. Zanjirda induktiv va sig'im elementlar
bo'lganda zanjirning kirish reaktiv qarshiligi nolga teng bo'lishi
mumkin. Bunda zanjir aktiv xarakterga ega bo'lib tok bilan
kuchlanish orasidagi faza siljish burchagi nolga teng bo'ladi. Elektr
zanjirlaridagi bu hodisa rezonans deb ataladi.
r, L
va
C
elementlari ketma-ket (parallel) ulangan sinusoidal
tok zanjirining xususiy chastotasi
LC
/
1


manba kuchlanishining
chastotasi
f


2


ga teng bo'lganda

C
L
x
x 
,

(b
L

=b
C
)
va

,
C

L
U
U 




C
L
I
I 

bo'lib, reaktiv elementlardagi kuchlanish

(tok)lar modul jihatdan bir-biriga teng hamda manba kuchlanishi
(toki)dan bir necha marta ortib ketadi. Elektr zanjirlaridagi bu rejim
kuchlanishlar (toklar) rezonansi deb ataladi. Bu rejimda zanjirning
reaktiv quvvati nolga teng bo'ladi. Rezonans yuzaga keladigan
chastota rezonans chastotasi deb ataladi.
Elektr zanjirlarida rezonans rejimlaridan elektrotexnikada,
radiotexnikada va elektr o'zgartgichlarda keng foydalaniladi. Ayrim
hollarda
esa,
zanjirda
rezonans
hodisasi
yuzaga
kelishi
noqulayliklarni
tug'diradi
(masalan,
uzatish
liniyalarida
va
transformatorlarda kuchlanish va toklarni keskin ortib ketishi
o’lchash asboblarini hamda izolyatsiyani ishdan chiqishiga olib
keladi).
 
2.9.1. Kuchlanishlar rezonansi 

r, L
va

C
elementlari ketma-ket ulangan zanjirni ko'rib chiqamiz
(2.20-rasm, a). Zanjirning kompleks qarshiligi:
.
1









C
L
j
r
Z



Kuchlanishlar rezonansi shartiga ko'ra:

0
/
1



C
L
X



yoki
C

L


/
1

, bunda
LC
r
/
1


-
rezonans chastotasi.
Kuchlanishlar rezonansi rejimi uchun tok va kuchlanishlar vektor
diagrammasi
2.20-rasm,
b
da
keltirilgan.
Unda
reaktiv
elementlardagi kuchlanishlarning modul qiymatlari teng, yo'nalishlari
esa qarama-qarshi. Rezonans shartidan ko'rinib turibdiki, zanjirda
bu rejimni hosil qilish uchun manba chastotasini rostlab yoki zanjir

ELEKTROTEXNIKANING NAZARIY ASOSLARI

104
xususiy chastotasini

L
yoki
C
ni o'zgartirish (rostlash) hisobiga hosil
qilish mumkin.

Rezonans rejimida zanjirning to'la qarshiligi minimal bo'lib, aktiv

qarshilikka teng bo'ladi:


.
2
2
r
x
x
r
Z
C
L





Zanjirdagi tok bu paytda maksimal qiymatga erishadi:

.
/
/
r
U
z
U
I



r
qarshilikdagi kuchlanish pasayishi manba kuchlanishiga teng

bo'ladi:
.
U
Ir
U
r



Rezonans rejimidagi induktiv yoki sig'im qarshilik rezonans

zanjir (kontur)ining to'lqin qarshiligi deb ataladi:
.
1
C
L
C
L
r
r







Agar zanjirda

r



shart bajarilsa, u holda reaktiv

elementlardagi kuchlanishlar manba kuchlanishidan ko'p marta ortiq
bo'ladi.
Lr
U

yoki
Cr

U

ni
U

dan necha marta katta bo'lishi konturning
aslliligi bilan tavsiflanadi:
.
r
r
L
r
I
L
I
U
U
U
U
Q
r
r
r
r
Cr
Lr










/

/
1
r
Q
d


-zanjir (kontur) ning so'nishi.
Rezonans rejimida zanjirdagi energetik munosabatlar ham o'ziga
xos ayrim xususiyatlarga ega. Zanjirdagi tok
t
I
i
r
m

sin


bo'lsa,
kondensatordagi kuchlanish

t
U
idt
C
U
r
sm
C

cos
1




bo'ladi.

Zanjir elektr va magnit maydonlaridagi energiya:

ELEKTROTEXNIKANING NAZARIY ASOSLARI

105
.

2
2
cos
2
sin
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
const
CU
LI
t
CU
t
LI
Cu
Li
W
cm
m
r
cm
r
m
c











m
m

r
cm
I
C
L
I
C
U



1

bo'lganligi uchun

.
2
2
2
2
m
cm
LI
CU


Oxirgi ifodadan ko'rinadiki, zanjirdagi elektr va magnit

maydonlari energiyalarining yig'indisi vaqt bo'yicha o'zgarmaydi.
Energiya induktiv g'altak bilan kondensatorda navbatma navbat
to'planib turadi. Aktiv qarshilikda sarf bo'layotgan energiyani
manbadan kelayotgan energiya qoplab turadi.
r, L
va
C
elementlar ketma-ket ulangan zanjir (kontur) chastota
tavsiflarini o'rganib chiqamiz. Manba kuchlanishi amplitudasi bo'lib,
chastotasining oraliqda o'zgarishi zanjirning quyidagi parametrlarini
o'zgarishiga olib keladi:
,
L
x
L



,
/

1
C
x
C



),
(

)
(


C
L
x
x
x






,
)
(
)
(
2
2


C
L
x
x
r
Z







.
/
)
(
r
x
arctg




2.21-rasm, a da

)
(


L
x
,
)
(


C
x
,
)
(

x
,
)
(

Z

va b da
)

(

I
,
)
(

L
U
,
)
(

C
U
,
)
(



grafiklari keltirilgan.

0



bo'lganda

0
)
0
(

I
,
chunki kondensator o'zgarmas tokni o'tkazmaydi. Barcha kuchlanish
kondensatorda
pasayadi.
Chastota
r




0

diapazonda

o'zgarganda
x
L
qarshilik oshadi,
x
C
esa kamayadi,
Z
qarshilik ham
kamayadi. Bu diapazonda reaktiv qarshilik sig'im xarakterga ega
bo'ladi. Shuning uchun ham faza siljish burchagi
0
90
0





oraliqda o'zgaradi. Chastota






r

diapazonda o'zgarganda,

Z(ω)
va
x(ω)
lar 0 dan


gacha ortib boradi. Zanjir induktiv xarakterga

ega bo'ladi. Tok esa maksimal qiymatdan 0 gacha kamayadi.
)
(

L
U

kuchlanish manba kuchlanish

U
gacha kamayadi
)
(

C
U
esa 0 gacha
kamayadi.
Chastota
р

 

bo'lganda grafiklarda aks ettirilgandek

 


U/r
I
, I
,
x
x
r, x
Z
ω
Z
r
ω
C
L
r
r








max
min
0
0


ga teng
bo'ladi.

)
(
r
L
U


va

)
(
r
C
U


esa maksimal qiymatga yaqin qiymatga

erishadi. Zanjir bu paytda aktiv xarakterga ega bo'ladi.

ELEKTROTEXNIKANING NAZARIY ASOSLARI

106

2.21-rasm
)
(
r
L
U


va

)
(
p
C
U


grafiklaridan ko'rinib turibdiki, reaktiv

elementlardagi kuchlanishlarning maksimal qiymatlari rezonans
chastotasidan farq qilgan chastotalarga to'g'ri keladi.
)
(

L
U

kuchlanish

r
L




da,
)

(

C
U

kuchlanish esa

r
L




da
maksimumga erishadi. Funksiyalarni ekstremumlarini topish sharti

0
/


d
dU
L

va

0
/


d
dU
C
dan:
2
2
2
d
r
L




,
.
2
2
2
d
r
C





Masala: agar kuchlanishlar rezonansi
rejimida ishlayotgan ikki qutblikning kirish
to'la qarshiligi
z
kir
=20 Оm
va sig'im
qarshiligi
x
C
=40 Оm
, bo'lsa, u holda uning
induktiv
x
L

va
aktiv

r

qarshiliklari

qiymatlarini aniqlang (2.22-rasm).