Sh. Maxmudov «statistika» fanidan o’quv uslubiy majmuasi

O‘rtacha miqdorlar haqidagi gipotezalarni tekshirish

O‘rtacha miqdorlar haqidagi gipotezalar t-mezon yordamida tekshiriladi.

Agarda sinalayotgan gipoteza biror miqdorga teng bo‘lsa, ya’ni , u holda t-mezonning haqiqiy qiymati baholanayotgan farqni ( ) tanlanma o‘rtachaning standart (kvadratik o‘rtacha) xatosiga bo‘lish yo‘li bilan topiladi:

Bu yerda: katta tanlanmada
kichik tanlanmada

Agarda t_haq  t_kritik bo‘lsa, nol-gipoteza N₀ rad qilinadi, agarda t_haq  t_kritik bo‘lsa, u N₀ inkor etilmaydi.

Masalan, paxta maydonini paykalma-paykal suv tarab sug‘orilayotganda bir kunlik norma 5 ga bo‘lgan, haqiqatda suvchilar uni bajargan. Yangi sug‘orish usuli qo‘llana boshlagani uchun bu normani qayta ko‘rib chiqish kerakmi degan muammo tug‘ilgan. Shu maqsadda yangi usulni qo‘llayotgan 10 ta suvchi ustidan kuzatish o‘tkazilib, o‘rtacha bir kunda bir suvchi 6,2 ga g‘o‘zani sug‘organi kvadratik o‘rtacha tafovut 1,2 ga bilan aniqlangan. Demak sinalayotgan o‘rtacha ga, haqiqiy o‘rtacha .
Sug‘orish normasini qayta ko‘rmaslik haqida nol-gipoteza bildiramiz: Bu gipotezani 5 foizli muhimlik darajasida tekshiramiz. t-mezon kritik qiymati Styudent taqsimot jadvali bo‘yicha ishonchli ehtimol 0,95(1- 0,05) va erkin darajalar soni  = 10 - 1 = 9 uchun aniqlanadi. Bu qiymat t_jadv = 2,26 , t - mezonning haqiqiy qiymatini (8.25) formula yordamida hisoblaymiz.

t_haq  t_jadv bo‘lgani uchun nol-gipoteza N₀ rad qilinadi. Demak, yangi sug‘orish usuli uchun normani qayta ko‘rib chiqish mumkin.
Tajriba-eksperimental ishlarda asosiy maqsad nazorat va tajriba qilinadigan obyektlarda belgining arifmetik o‘rtacha darajalari orasida muhim farq bor yoki yo‘qligini aniqlashdan iborat bo‘ladi. Buning uchun tajriba va nazorat obyektlarida o‘rtacha ko‘rsatkichlar orasidagi farq uchun uning standart xatosi quyidagi formula orqali aniqlanadi:


(8.22)
Bu yerda: - tajriba obyektlarida o‘rtacha ko‘rsatkichning standart xatosi nazorat obyektlarida o‘rtacha ko‘rsatkichning standart xatosi .
(8.22) formula tanlanma to‘plamlar o‘zaro bog‘liq bo‘lmaganda, ya’ni ular bir bosh to‘plamdan olinganda qo‘llanadi.
Tajriba va nazorat obyektlarining o‘rtachalari orasidagi farqning muhimligini baholash uchun t-mezonning haqiqiy qiymati quyidagi ifodaga ega.
(8.23)

Bu mezonning kritik qiymati Styudent taqsimot jadvalidan tegishli ishonchli ehtimol va ozodlik darajalari soni bilan belgilanadi. Qo‘limizda mazkur jadval bo‘lmasa uch sigma qoidasidan foydalanib, t_jadv = 3 deb qabul qilinadi.

Misol: ultrabinafsha nurlar bilan nurlantirilgan hayvonlar bir oy mobaynida 6,8  0,4 kg semirgan, nurlantirilmagan hayvonlar (nazorat va tajriba guruhlari hajmi bir xilda) o‘sha vaqtning o‘zida 5,2  0,3 kg semirgan. Hayvonlar orasida bog‘lanish yo‘q va ularning boqish sharoiti birday. Nurlantirish ta’siri ostida hayvonlar og‘irligi qanchaga ortadi?
Demak, nurlanish samarasi 0,95 ishonchli ehtimol bilan (t=1,64) 1,6-1,64*0,5=0,78 kg; 1,6+1,64*0,5=2,42 kg, ya’ni 0,8-2,4 kg orasida yotadi. Ushbu misolimizda o‘rtacha miqdorlar orasidagi farq ma’lum omil (ultrabinafsha nurlar) ta’sirida vujudga kelgani uchun bog‘lanish haqidagi gipoteza sifatida o‘rtachalar tengligi to‘g‘risidagi gipotezani ko‘rib chiqishimiz mumkin. Bu holda nol-gipoteza hayvonlar semirishiga ultrabinafsha nurlar ta’sir etmaydi deb bildiriladi, ya’ni Gipotezani tekshirish uchun t-mezonning haqiqiy qiymati uning kritik bilan taqqoslanadi. Agarda t_haq  t_kritik bo‘lsa, nol-gipoteza rad qilinadi, qaralayotgan omilimiz natijaga (hayvonlar semirishiga) ijobiy ta’sir etadi, deb xulosa yasaladi.
Misolimizda bosh dispersiyalar noma’lum, ammo ular bir-biriga teng deb hisoblab, masalani yechamiz. t-mezon haqiqiy qiymati quyidagicha ifodalanadi:
(8.24)
Bu yerda: - tajriba obyektlarida olingan o‘rtacha miqdor;
- nazorat obyektlaridagi o‘rtacha ko‘rsatkich;
va - tajriba va nazorat obyektlari uchun dispersiyalar; ular formularar yordamida hisoblanadi.
n₁ va n₀ - tajriba va nazorat obyektlari soni (misolimizda n₁ = n₀). -tajriba o‘rtacha ko‘rsatkichining standart xatosi, - nazorat to‘plam o‘rtachasining standart xatosi. Yuqoridagi misolimizda . Uch sigma qoidasiga binoan t_haq  t_kritik . Demak, nol-gipoteza rad qilinadi, ultrabinafsha nurlar bilan hayvonlarni nurlantirish ularning semirishiga ijobiy ta’sir etishi shak-shubhasizdir.
9.24-formulada va bosh to‘plam dispersiyasining tanlanma baholari bo‘lgani uchun solishtirilayotgan tanlanmalar hajmi turlicha bo‘lsa (n₁n₀) bu ifodani quyidagicha yozish mumkin:

Bu yerda: va - tanlanma o‘rtachalar; - umumiy dispersiyaning tanlanma bahosi:
bo‘lgani uchun tanlama o‘rtachalar orasidagi farqning standart xatosi quyidagi ifodaga teng bo‘ladi:


(8.25)
Masalan, Toshkentdagi Eski Juva va Qo‘yliq bozorlarida qo‘y go‘shti baholarining barqarorligini tekshirish maqsadida 2005 yil avgust oyida tanlanma tekshirish o‘tkazilgan. Birinchi bozorda 20 ta sotuvchilar kuzatilib, 1 kg go‘sht o‘rtacha bahosi so‘m, kvadratik o‘rtacha tafovut = 300 so‘m bilan aniqlangan. 2-nchi bozorda 16 ta sotuvchilar kuzatilib, o‘rtacha baho so‘m, kvadratik o‘rtacha tafovut = 243 so‘m topilgan.

Muhimlik darajasi  = 0,05 va erkin darajalar soni (20+16-2)=34 bilan t-mezon kritik qiymati (Styudent taqsimot jadvali asosida) t_kritik=2,03. Demak, t_haq  t_kritik bo‘lgani uchun nol-gipoteza qabul qilinadi va bozorlarda qo‘y go‘shti baholari tasodifan tafovutlanadi, ya’ni ular barqarordir.