Sh. Maxmudov «statistika» fanidan o’quv uslubiy majmuasi

Taqsimot qonuni haqidagi gipotezani baholash

Normal taqsimot qonuni quyidagi taqsimlanish zichligi funksiyasi deb yuritiluvchi formula bilan ifodalanadi:

Demak, normal taqsimot egri chizig‘i arifmetik o‘rtacha va dispersiyaga bog‘liqdir. Tanlanma asosida tuzilgan haqiqiy taqsimotning ushbu normal taqsimot qonuniga muvofiqligini aniqlash uchun bu haqda gipoteza bildiriladi va u K.Pirson X² (xi kvadrat) mezoni yordamida tekshiriladi.

Kuzatilgan taqsimot normal taqsimot qonuniga bo‘ysunishini belgilash uchun haqiqiy taqsimot birlik (variant)lari sonini ularning nazariy soni bilan taqqoslash kerak.
Bu gipotezani tekshirish uchun haqiqiy taqsimot takrorlanishlar sonini normal taqsimot nazariy takrorlanishlar soni bilan solishtirish kerak. Buning uchun haqiqiy ma’lumotlar asosida normal taqsimlanish uchun nazariy takrorlanishlar sonini aniqlash kerak, ya’ni
(8.15)
bu yerda: n - tanlanma hajmi;
i - qator oraliq kengligi ( );
haqiqiy qatorda belgining normalashtirilgan tafovutlari;
 -o‘zgarmas son ( =3,1415...; (aylanma uzunligining diametriga nisbati);
e - natural logarifm asosi, o‘zgarmas son (e = 2,71828...);
- kvadratik o‘rtacha tafovut,
- qiymatlari maxsus jadvalda beriladi.
Yuqorida qayd qilingandek xi kvadrat mezoni yordamida haqiqiy taqsimot normal taqsimotga muvofiqligi to‘g‘risidagi gipoteza tekshiriladi.
; (8.16)
Bu yerda: - taqsimot guruhlari (variantalar) soni;
-i guruh birliklarinng haqiqiy soni;
-ularning nazariy soni.

Haqiqiy taqsimot normal taqsimotga mos kelishi haqidagi gipoteza X² (xi kvadrat) mezon yordamida tekshiriladi.
- ning qiymatlari noldan cheksizgacha o‘sishi mumkin. Shunga mos ravishda uning ehtimoli 1 dan 0 gacha kamayadi. Agarda =0 bo‘lsa, u vaqtda ya’ni guruhning haqiqiy birliklar soni normal taqsimot nazariy soniga teng bo‘ladi.
Bu yerda shuni ham esda tutish kerakki gipotezani xi kvadrat yordamida tekshirilayotganda erkin darajalar soni hisobga olinadi.

Erkin darajalar soni-to‘plam ko‘rsatkichlarini topishda qatnashadigan hech qanday bog‘lovchi shartlarga ega bo‘lmagan erkin miqdorlar sonidir.
Erkin darajalar soni to‘plam parametrini topishda qatnashadigan miqdorlarning umumiy sonidan shu miqdorlarni bog‘lovchi shartlar sonini ayrilganiga teng. Masalan, dispersiya bitta shart (ya’ni bilan bog‘langan n - ta ayirma bo‘yicha hisoblangani uchun uning erkin darajalar soni  = n-1 bo‘ladi, o‘rtacha miqdorlar hech qanday shart bilan bog‘lanmagan n - ta varianta bo‘yicha hisoblanadi, shuning uchun o‘rtacha miqdor ozodlik darajasi  = n bo‘ladi.
Normal taqsimot qonuni uchta (tanlanma hajmi - n, tanlanma o‘rtacha miqdor - va uning kvadratik tafovuti - ) parametr bilan xarakterlanadi (ularning o‘zaro bog‘lanishi bu qonun uchun uchta shart hisoblanadi). Shuning uchun normal taqsimot qonunining erkin darajalar soni  = n - 3 bo‘ladi yoki n birliklar k - ta guruhlarga bo‘lingani uchun
 = k - 3 (8.17)
Bu jadvaldagi X² ning qiymatlari chegaraviy qiymatlar bo‘lib, bu qiymatlargacha bo‘lgan mezonning barcha hisoblab topilgan qiymatlari aniq ehtimollar bilan tasodifiy tafovutlar doirasida bo‘ladi, ya’ni qabul qilingan nol-gipotezaga shubha qilish uchun hech qanday asos bo‘lmaydi. ning jadval qiymatlaridan katta bo‘lgan qiymatlari gipotezaning o‘rinsizligini ko‘rsatadi, ya’ni nol-gipotezani rad etishga majbur qiladi.

Kuzatilgan taqsimotni normal taqsimot qonuniga muvofiqligi haqidagi gipotezani  lamda mezon yordamida ham tekshirish mumkin.
Haqiqiy taqsimot birliklari soni bilan uning nazariy sonlari orasidagi farqlarni A.N.Kolmogorov va N.V.Smirnov tomonidan taklif etilgan  (lamda) noparametrik mezon yordamida ham baholash mumkin.Bu mezon haqiqiy taqsimot jamlama birliklar soni bilan ularning nazariy jamlama soni orasidagi eng katta farqni kvadrat ildiz ostidagi umumiy to‘plam soniga bo‘lish yo‘li bilan aniqlanadi:
(8.18).
X² mezonidan farqli o‘laroq -mezon va larni hisoblashga muhtoj emas, natijalarni baholash uchun esa maxsus jadval talab qilmaydi. Lamda mezonining kritik (standart) qiymatlari tegishli uchta ishonchli ehtimol bo‘sag‘alariga belgilangan bo‘lib, lamda mezonining kritik (chegaraviy) qiymatlari R₁=0,95 da _nazar=1,36, R₂ =0,99 da _nazar =1,63 va R₃ = 0,999 da _nazar = 1,95 teng¹⁰.

Haqiqiy taqsimotni nazariy taqsimotga mosligini Romanovskiy S-mezoni va Yastremskiy L-mezoni yordamida ham baholash mumkin.
Haqiqiy va nazariy taqsimotlarni Romanovskiy mezoni yordamida ham baholash mumkin. U quyidagicha ifodalanadi:
(8.19)
Bu yerda - K.Pirson mezoni;
 - erkin darajalar soni.
S  3 bo‘lsa, solishtirilayotgan miqdorlar orasidagi farq tasodifiy hisoblanadi, demak, haqiqiy taqsimot normal taqsimlanishga ega, aniqrog‘i, undan deyarlik farq qilmaydi. Agarda taqsimot qatori muqobil belgi asosida tuzilgan bo‘lsa, uning normal taqsimot qonuniga mosligi Yastremskiy L–mezoni yordamida baholanadi:
(8.20)
Bu yerda -to‘plam soni ( );
- ayrim guruhlardagi birliklarning haqiqiy va nazariy soni;
- guruh variantalar soni;
- guruhlar sni 8-20 bo‘lganda .
Agarda bo‘lsa, haqiqiy taqsimot nazariy (normal) taqsimotga mos keladi deb hisoblanadi.