Sh. Maxmudov «statistika» fanidan o’quv uslubiy majmuasi

Qisqacha xulosalar

O‘rtachalar to‘plam taqsimotida belgi darajasini yoki birliklar joylanish markazini ta’riflovchi me’yorlardir. Ular statistik to‘plam va taqsimot qatorlarini umumlashtirib tavsiflaydi, ayrim o‘rtachalashtirilayotgan miqdorlarga nisbatan u yoki bu tomonga tafovutlanib, ularni baravarlashtiradi, hodisalarning rivojlanish va taqsimlanish qonuniyatlarini miqdoran ifodalaydi.

O‘rtalashtiruvchi miqdorlarning ikki turkumi mavjud: 1) o‘rtachalar; 2) taqsimot qatorining o‘rta ko‘rsatkichlari. O‘rtachalar, o‘z navbatida, har xil turlarga va shakllarga bo‘linadi, jumladan arifmetik o‘rtacha, geometrik o‘rtacha, garmonik o‘rtacha, darajali o‘rtachalar va h.k. Taqsimot qatorining o‘rta (markaziy) ko‘rsatkichlari ham bir qancha turlarga ega: mediana, moda va kvantililar shular jumlasidan hisoblanadi.
O‘rtacha miqdorlarning eng sodda va amaliyotda ko‘p qo‘llanadigan turi arifmetik o‘rtachadir. U sifat jihatidan aniq mazmunga ega bo‘lgan, muayyan to‘plamni ta’riflovchi, ikkita jamlama o‘lchamlarni taqqoslashga asoslanadi: biri qator miqdorlarining yig‘indisi bo‘lib to‘plam bo‘yicha belgining umumiy qiymatini, ikkinchisi ularning sonini ya’ni to‘plam birliklari sonini ifodalaydi. Ammo taqsimotlarning tuzilishi va qonuniyatlarini o‘rganish quroli sifatida arifmetik o‘rtacha o‘zining umumlashtiruvchi funksiyasini doimo mukammal ado etishga qodir emas. Faqat normal taqsimotlardagina bu funksiyani u bekami-ko‘st bajaradi.
Lekin alhaq voqelikda, ayniqsa, ijtimoiy-iqtisodiy hayotda aksariyat hodisalar o‘ng yoqlama assimetrik taqsimotlarga ega, chunki ular birgina tasodifiyat girdobida shakllanmasdan, balki ko‘pdan ko‘p omillarni o‘zaro va sharoit bilan uzviy birikishi, bir-biriga va oqibat jarayoniga to‘g‘ri va teskari aloqadorlikda ta’siri natijasida yuzaga chiqadi. Taqsimot assimmetriyasi qator xadlarining bir-biri bilan ketma-ket nisbatlarida yaqqol ko‘zga tashlanadi. Bunday o‘ng yoqlama assimetrik taqsimotlarda umumlashtiruvchi funksiyani geometrik o‘rtacha arifmetik o‘rtachaga nisbati mukammalroq bajaradi.
Geometrik o‘rtacha taqsimot miqdorlarining logarifmlariga tayanadi. Ma’lumki, bu holda katta va kichik miqdorlar orasidagi farqlar kamayadi. Shu sababli to‘plam taqsimotida o‘z ifodasini topgan boshlang‘ich sifat farqlar ham ularni logarifmlash natijasida sifat-miqdor jihatdan bir asosga, taqqoslama «normal» holatga keladi. Demak, geometrik o‘rtacha assimmetrik taqsimotlarda, ayniqsa, o‘ng yoqlama og‘ma shakllarda, qator o‘rtacha darajasini sifat jihatidan aniqroq ta’riflaydi. Shunday qilib, geometrik o‘rtacha nafaqat o‘rtacha o‘sish suratlarini hisoblashda balki taqsimot qatorlarida ularning o‘rtacha darajalarini aniqlashda keng qo‘llanilishi lozim.
O‘rtacha miqdor hisoblash jarayonini o‘rtalashtirilayotgan miqdorlarini ularning o‘rtacha darajasi bilan almashtirish jarayoni deb qarash mumkin. O‘z-o‘zidan ravshanki, bu jarayonda tomonlar muvozanati o‘zgarmasligi kerak. Bunga ma’lum ayniyat mezoni orqali erishish mumkin, u o‘rtachani aniqlovchi belgi deb ataladi. Arifmetik o‘rtachada bunday mezon funksiyasini qator miqdorlarining umumiy yig‘indisi ( ) geometrik o‘rtachada ularning umumiy ko‘paytma natijasi ( ) garmonik o‘rtachada o‘rtalashtirilayotgan miqdorlarning teskari qiymatlarining yig‘indisi ( ), kvadratik o‘rtachada ularning kvadratlari yig‘indisi ( ) va umuman k-darajali o‘rtachalarda o‘rtalashtirilayotgan miqdorlarning k-darajaga ko‘tarilgan qiymatlarining yig‘indisi ( ) bajaradi. O‘rtacha shakli va mohiyatini aniqlovchi belgi yoki mezon o‘rganilayotgan hodisalarning sifatiga, tub mohiyatiga, ichki xossalari va bog‘lanishlariga asoslanishi kerak.
O‘rganilayotgan ommaviy hodisa yoki jarayonlarning ichki xossa va aloqalari additiv bog‘lanishga ega bo‘lib, ularning oddiy arifmetik yig‘indisidan statistik to‘plam shakllangan bo‘lsa, taqsimot qatori esa muayyan to‘plam birliklarida u yoki bu belgining namoyon bo‘lish miqdorlaridan tuzilsa, u holda ushbu miqdorlarning yig‘indisi ( ) o‘rtacha mohiyatini aniqlovchi belgi (mezon) sifatida qaralishi kerak. Bunday sharoitda (ya’ni to‘plam birliklari soni va ularda belgining miqdoriy qiymatlari ma’lum bo‘lganda) arifmetik o‘rtacha qo‘llanadi.
Agarda ommaviy hodisa yoki jarayonning ichki xossalari va aloqalari multiplikativ bog‘lanishga ega bo‘lib, ular murakkab, ko‘p o‘lchovli geometrik shaklga o‘xshash bir butun to‘plam shakllantirsa, qator miqdorlarini esa muayyan shakl hajmini belgilovchi tomonlar (qirralar) o‘lchovlari sifatida qarash uchun obyektiv asos mavjud bo‘lsa, u holda yagona to‘plamni tasvirlovchi ko‘p o‘lchovli geometrik shaklning umumiy hajmi ( ) o‘rtachani aniqlovchi belgi hisoblanadi. Ushbu mezon nuqtai nazardan ya’ni umumiy hajm o‘zgarmasligini ta’minlab, to‘plam bo‘yicha belgining o‘rtacha darajasi (taqsimotning o‘rtacha miqdori) aniqlanishi kerak. Bu holda geometrik o‘rtacha qo‘llanadi.
Ommaviy hodisa ichki xossa va aloqalari additiv bog‘lanishga ega bo‘lsayu, ammo to‘plam hajmi niqoblangan shaklda ya’ni birliklar yig‘indisi emas, balki ularda o‘rganilayotgan belgi oladigan miqdoriy qiymatlar yig‘indisi sifatida ifodalansa, taqsimot qatori esa ushbu miqdorlardan tuzilsa, u holda o‘rtacha mohiyatini aniqlovchi belgi sifatida o‘rtalashtirilayotgan miqdorlar teskari qiymatlarning yig‘indisini qarash lozim. Bu holda garmonik o‘rtacha qo‘llanadi, chunki o‘rtacha to‘plam hajmiga nisbatan to‘g‘ri proporsional, mazkur mezonga nisbatan esa teskari proporsional bog‘lanishga ega.
Taqsimot tuzilishi va qonuniyatini o‘rganishda jumladan egiluvchanlik, cho‘qqilanish va birliklarni ma’lum oraliqlarda to‘planish darajasini ta’riflovchi o‘rtacha miqdor bilan bir qatorda mediana, moda va kvantililar muhim ahamiyat kasb etadi.