Signallar va tizimlar

9.2. Fure tezkor almashtirishi

Fure diskret almashtirishidan foydalanib katta davomiylikka ega impulslar ketma-ketligiga ishlov berishda katta hajmdagi arifmetik amallar (ko‘paytirish, qo‘shish va kechiktirish)ni real vaqt oralig‘ida bajarish talab etiladi. Hozirda katta tezlikda arifmetik amallarni bajaruvchi maxsus signal protsessorlari mavudligiga qaramasdan katta hajmdagi signallarga raqamli ishlov berishni real vaqt davomida bajarishda qiyinchiliklar mavjud. Misol uchun ketma-ketlik uchun bo‘lgan holat uchun Fure diskret almashtirishini


bunda (9.10)
formula orqali aniqlashda va kompleks kattalik bo‘lganda ta kompleks ko‘paytirish va ta kompleks qo‘shish amallarini bajarish kerak bo‘ladi.
Fure tezkor almashtirishi (FTA)dan foydalanish asosida bajariladigan arifmetik amallar sonini bir necha tartibga keskin kamaytirish mumkin.
FTAning asosini bir o‘lchamli sonlar massivini ko‘p o‘lchamli bilan almashtirish tashkil etadi. Bir o‘lchamli sonlar massivini ko‘p sonliga aylantirishning bir necha usullari mavjud, ya’ni TFAning bir necha algoritmlari mavjud.
Ushbu FTA algoritmlaridan birini ko‘rib chiqamiz. nuqtali ketma-ketlik uchun FTAni aniqlaymiz. Buning uchun deb hisoblaymiz. nuqtali ketma-ketlikni ikki (N/2) nuqtali juft va toq ketma-ketliklarga ajratamiz.
(9.11)


(9.12)


nuqtali ketma-ketlikning FTAi quyidagicha aniqlanadi:


(9.13)

bunda, . (9.14)

(9.13) ifodani (9.14) ni e’tiborga olgan holda quyidagi shaklga keltiramiz:


(9.15)
yoki
(9.16)

bunda, va mos ravishda va ketma-ketliklarning (N/2) nuqtali FDAga teng.

(9.16) ifoda N nuqtali FDAni va (N/2) nuqtali FDAlari yig‘indisi shaklida aniqlash mumkin.
Agar (N/2) nuqtali FDAni oddiy usulda hisoblanganda N nuqtali FDAni aniqlash uchun ta kompleks ko‘paytirish amalini bajarish kerak bo‘ladi. N katta bo‘lganda, ya’ni bo‘lgan holat uchun ni aniqlashda bajariladigan ko‘paytirish amallari soni taxminan 2 marta kamayadi.
ni lar uchun aniqlash kerakligini va , larni esa uchun aniqlash kerakligini e’tiborga olib (6.16) ifodani uchun aniqlaymiz:

(9.17)

Bunda va lar har davrda tadan takrorlanishi e’tiborga olingan.

Yuqorida keltirilgan FTA algoritmini yo‘naltirilgan graflar yordamida tushuntirish uchun (9.3-rasm) sakkiz nuqtali FTAni ikkita to‘rt nuqtali graflardan foydalanish usuli tasvirlangan.
Dastlab kirishdagi ketma-ketligi ikkita – juft va – toq ketma-ketlikka bo‘laklangan bo‘lib, ular uchun va lar aniqlanadi. So‘ngra (9.17) ifodaga asoslanib aniqlanadi. O‘z navbatida har bir va ketma-ketliklar ikkiga bo‘linib, to‘rtta ikki nuqtali ketma-ketliklar hosil qilish mumkin. (9.16) va (9.17) ifodalarni e’tiborga olib nuqtali FDA ikkita nuqtali FDA kombinatsiyalari shakliga keltirilishi mumkin.
(9.18)
yoki
(9.19)

bunda, , va – nuqtali ning juft va toq FDAlari.

9.3-rasm. Sakkiz nuqtali FTAni ikkita to‘rt nuqtali graflardan foydalanish usuli

9.4-rasmda sakkiz nuqtali FDAni ikki to‘rt nuqtali FDA va uni o‘z navbatida to‘rtta ikki nuqtali FDA orqali hisoblash algoritmi keltirilgan.

9.4-rasm. Sakkiz nuqtali FDAni ikki to‘rt nuqtali FDA va uni o‘z navbatida to‘rtta ikki nuqtali FDA orqali hisoblash algoritmi

nuqtali FDAlarini ketma-ket ikkiga bo‘lish usuli bilan kompleks ko‘paytirishlar sonini oddiy usulda hisoblashlar soni dan taga kamaytirish imkoniyatini beradi.
9.3-rasmdagi bo‘yalmagan kichik aylanma nuqtalar qo‘shish-ayirish amalini anglatadi, bunda yuqoridagi chiqishlar yig‘indi (va pastkilari ayirish) natijasini bildiradi. Yo‘nalish belgisi (strelka) ushbu yo‘nalish belgisi yuqorisidagi ko‘paytma ga ko‘paytirish amalini bajarishini anglatadi. Umuman o‘zgaruvchilarning hammasi kompleks sonlar. Rasmdagi tugun (uzel)lar alohida FDAlari kirish va chiqishlari massivlari qiymatlarini ro‘yxatga olish funktsional qurilmasini bildiradi.