Signallar va tizimlar

9.3. Diskret kosinus almashtirish (DKA)

Diskret kosinus almashtirishlardan korrelyatsiya va svertka (o‘ram)ni hisoblashni tezlashtirishda va spektr tahlilida foydalaniladi. Bundan tashqari bu usullardan ma’lumotlarni siqish, misol uchun ovozni (tovush) yoki tasvirni uzatish, elektrokardiogramma va elektroensenogramma kabi medisina signallarini yozish uchun foydalaniladi. Shuningdek DKAdan tasvir va nusxa (shablon)larni tanishda ham foydalaniladi.
Buning natijasida signallarni uzatish uchun kodlashda talab etiladigan “bit”lar soni kamayadi, bu signal uzatish tezligini oshiradi. Bu esa nisbatan tor polosali aloqa liniyalaridan foydalanish imkoniyatini keltirib chiqaradi, shuningdek nusxa (shablon)larni tanishni osonlashtiradi (bu axborot hajmi kamaytirilishi hisobiga ro‘y beradi). DKAning ushbu xususiyatlari uni signallarni siqish nuqtai nazaridan samaradorligini bildiradi, bu signal energiyasining past chastotalarda to‘planishi natijasida ro‘y beradi. Bundan tashqari hisoblashlarning soddaligi va o‘rtacha kvadratik xatolikning kichik (minimal) bo‘lishini ta’minlaydi.
Yuqoridagi fikrlar Fure diskret kosinus almashtirishdan (FDKA) foydalanishni taqozo etadi. Umuman olganda FDKA Fure diskret almashtirishining haqiqiy qismidan iborat, chunki Fure qatori haqiqiy va juft qismi faqat kosinusoidal tashkil etuvchilardan iborat bo‘lib, misol uchun kuchlanishning diskret qiymatlaridan foydalanilganda ma’lumotlar haqiqiy bo‘ladi, ularni ikki marta ko‘p qilish uchun ularga aks tashkil etuvchilarini qo‘shish kerak bo‘ladi.
(9.8) formulaga asosan FDA quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi
Ushbu almashtirishning haqiqiy qismi DKAni anglatadi
.
Bu DKAning bir xususiy ko‘rinishi. DKAning umumiy ko‘rinishi quyidagicha aniqlanadi

(9.20)

Uolsh almashtirishi

Hozirgacha ko‘rib chiqilgan almashtirishlar sinus va kosinus funksiyalariga asoslangan edi. Impulsga o‘xshash va ga asoslangan almashtirish nisbatan oson va tez hisoblash imkoniyatini beradi. Bundan tashqari bunday almashtirishlar uzluksizligi buzilgan signallarni ifodalashda ancha qulay hisoblanadi, misol uchun, tasvir signallarini almashtirishda. Shu bilan birga ular uzluksiz signallarni ifodalashda ancha noqulay bo‘lib, ular fazalari bo‘yicha moslikni ta’minlamaydilar, bu signal spektrining buzilishiga va natijada signal shaklining buzilishiga olib keladi. Shuning uchun, Uolsh almashtirishidan odatda tasvir signallariga ishlov berish (astronomiya va spektroskopiya)da signallarni kodlash va filtrlashda foydalaniladi.
Fure diskret almashtirishi garmonik sinusoidal va kosinusoidal tashkil etuvchilar orqali ifodalanganidek, Uolsh diskret almashtirishi (UDA) Uolsh funksiyalari deb ataluvchi to‘g‘ri to‘rtburchakli o‘rovchili garmonik signallar to‘plami orqali ifodalashga asoslangan. Ammo to‘g‘riburchakli impulslar uchun ularning takrorlanish chastotasi noma’lum bo‘lgani uchun analog signal uchun foydalaniladigan “ketma-ketlik” atamasidan foydalaniladi. “Ketma-ketlik” – bu vaqt birligida nolni kesib o‘tishlar sonining yarmiga teng bo‘ladi. 9.5-rasmda gacha bo‘lgan tartibdagi Uolsh funksiyalari kattalashish tartibida ko‘rsatilgan. Bu ko‘rinishni Uolsh bo‘yicha tartibga keltirilgan funksiya deb ataladi.
Davomiylik vaqti ga va tartibi ga teng Uolsh funksiyasi quyidagicha belgilanadi . 6.5-rasmdan ko‘rinadiki xuddi Fure qatorida toq va juft sinusoidal va kosinusoidal funksiyalar bir-biriga teng bo‘lganidek, Uolsh funksiyasida ham bir xil sonli toq va juft funksiyalar bo‘ladi. Uolsh juft funksiyalari ko‘rinishida ifodalanadi va toq funksiyalari ko‘rinishida ifodalanadi, bu yerda .
Har qanday signalni Uolsh funksiyalari majmua (jamlama)lariga yoyish mumkin (xuddi Fure qatoriga yoygandek)
(9.21)

bunda va – qator koeffitsientlari .

9.5-rasm. Uolshning 8×8 tartibli almashtirishi matrisasi uchun uning ketma-ket kattalashishi gacha tartibga keltirilgan funksiyalari.
Har qanday ikkita Uolsh funksiyasi uchun quyidagi ifoda kuchga ega

ya’ni Uolsh funksiyalari o‘zaro ortogonal.

Uolsh almashtirishi uchun to‘g‘ri va teskari almashtirishlarni tadbiq etish mumkin:

(9.22)
(9.23)

Agar ko‘paytmani e’tiborga olinmasa teskari almashtirish to‘g‘ri almashtirish bilan bir xil va bo‘ladi.

Shuning uchun “shakl”lar juftlarini matrisalarni raqamli usul (metod) asosida ko‘paytirish natijasida topish mumkin. Ammo faza haqidagi axborot yo‘qligi uchun UDA tez korrelyatsiya (korrelyatsiya oralig‘i kichik)larni va o‘ramlarni hisoblash uchun yaroqsiz.
(9.22) tenglik UDA nchi elementini diskret signal har bir elementi ni ketma-ketlikli Uolsh funksiyasiga ko‘paytirishi va ning hamma qiymatlari uchun qo‘shish orqali olish mumkin . ning hamma elementlari uchun uni matrisa ko‘rinishida yozish mumkin

(9.24)

bunda – ma’lumotlar ketma-ketligi.
– Uolsh almashtirishi matrisasi, – UDA matrisasi tashkil etuvchilari.
Alohida ta’kidlaymiz, – bu tartibli matrisa, bunda berilgan nuqtalar soni, ya’ni diskret signal nuqtalari. Agar berilgan nuqtalar soni bo‘lsa, u holda Uolsh funksiyasining dastlabki ta tartibga keltirilganlarini ko‘rib chiqish kerak bo‘ladi. Ularning har biri marta diskretizatsiyalanadi, bunda matrisaning nchi qatori komponenta ketma-ketligining ta diskret qiymatlariga to‘g‘ri keladi.