Skalyar va vektor maydonlar. Ularning xarakteristikalari

4. Kvadratik shaklni kanonik ko’rinishga keltirish.
Ma’lumki har qanday simmetrik tenzor bilan, shu jumladan _ij deformatsiya tenzori bilan ham

kvadratik shaklni bog’lash mumkin. Ilgari ko’rganimizdek fazoning har bir nuqtasi uchun shunday¹, ², ³ ortogonal koordinat sistemasini topish mumkinki, bu sistemada yuqoridagi kvadratik shakl quyidagi kanonik ko’rinishga keltiriladi
(7.17)
Dastlabki  ⁱ koordinat sistemasini  ⁱ koordinat sistemasi bilan almashtirish _ij komponentalarga bog’liq bo’ladi. Shuning uchun ⁱ koordinat sistemasi tutash muhit harakatining har xil paytlari uchun har xil bo’ladi.
5. Asriy tenglama va uning ildizlari
Boshlang’ich fazosida ¹, ², ³ ortogonal koordinatalar sistemasi tanlangan bo’lsin. U holda bu koordinat sistemasida_ij komponentalar ij bo’lganda nolga teng bo’lganlari uchun

formulaga ko’ra bo’ladi. Demak, tutash muhitning harakati davomida  ¹, ², ³ koordinatalar ortogonalligicha qoladilar, hamda fazolarida ^o va  deformatsiyalar tenzorlarining bosh o’qlari ustma-ust tushadilar, va shuning uchun ham ularni deformatsiya tenzorlarining bosh o’qlari deb ataydilar.
Deformatsiya tenzorining bosh o’qlardagi komponentalari deformatsiya tenzorining bosh komponentalari deyiladi va  ₁, ₂, ₃ lar orqali belgilanadi.
Deformatsiya tenzorining bosh komponentalarini topish uchun quyidagi
(7.18)
matrisa qaraladi, bu yerda  -sonli parametr. Keltirilgan (7.18) matrisa

matrisalarning har ikkalasini anglatadi. Bosh o’qlarda C matrisa

ko’rinishni oladi. Bu matrisaning determinantini nolga tenglashtirib  ga nisbatan kubik
(7.19)
yoki yoyilma ko’rinishida quyidagi tenglamaga ega bo’lamiz:

Agar (7.19) tenglama ¹, ², ³ bosh sistemasida tuzilgan bo’lsa, uning ₁, ₂, ₃ ildizlari mos deformatsiya tenzorining ₁, ₂, ₃ bosh komponentalari bo’ladilar. Juda ko’p hollarda (7.19) tenglama asriy tenglama deb ham yuritiladi.

7.