Sonli ketma-ketliklar

Egri chiziq urinmasining burchak koeffitsientini topish masalasi. Endi G egri chiziq biror oraliqda aniqlangan uzluksiz y=f(x) funksiyaning grafigi bo‘lgan holda urinmaning burchak koeffitsientini topaylik. Qaralayotgan f(x) funksiya grafigini ifodolovchi G chiziqqa tegishli M₀ nuqtaning abssissasi x₀, ordinatasi f(x₀) va shu nuqtada urinma mavjud deb faraz qilaylik.
G chiziqda M₀ nuqtadan farqli N(x₀+Dx, f(x₀+Dx)) nuqtani olib, M₀N kesuvchi o‘tkazamiz. Uning Ox o‘qi musbat yo‘nalishi bilan tashkil etgan burchagini a bilan belgilaymiz (6-rasm). Ravshanki, a burchak Dx ga bog‘liq bo‘ladi: a=a(Dx) va
tga= o‘rinli.
6-rasm
Urinmaning abssissa o‘qining musbat yo‘nalishi bilan hosil qilgan burchagini q bilan belgilaymiz. Agar q¹p/2 bo‘lsa, u holda tga funksiyaning uzluksizligiga ko‘ra k_urinma=tgq = , va N nuqtaning M₀ nuqtaga intilishi Dx yning 0 ga intilishiga teng kuchli ekanligini e’tiborga olsak, k_urinma = tenglikka ega bo‘lamiz.
Shunday qilib, y=f(x) funksiyaning abssissasi x₀ bo‘lgan nuqtasida novyertikal urinma o‘tkazish mumkin bo‘lishi uchun shu nuqtada limitning mavjud bo‘lishi zarur va yetarli, limit esa urinmaning burchak koeffitsientiga teng bo‘lar ekan.


Harakatdagi nuqta tezligini topish haqidagi masala. Faraz qilaylik moddiy nuqta s=s(t) qonuniyat bilan to‘g‘ri chiziqli harakatlanayotgan bo‘lsin. Ma’lumki, fizikada nuqtaning t₀ va t₀+Dt vaqtlar orasida bosib o‘tgan Ds=s(t₀+Dt)-s(t₀) yo‘lining shu vaqt oralig‘iga nisbati nuqtaning o‘rtacha tezligi deyilar edi: v_o‘rta= . Ravshanki, Dt qancha kichik bo‘lsa, o‘rtacha tezlik nuqtaning t₀ paytdagi tezligiga shuncha yaqin bo‘ladi. Shuning uchun nuqtaning t₀ paytdagi oniy tezligi deb [t₀;t₀+Dt] vaqt oralig‘idagi o‘rtacha tezlikning Dt nolga intilgandagi limitiga aytiladi.
Shunday qilib, v_oniy = .
Yuqoridagi ikkita turli masalani yechish jarayoni bitta natijaga (odatda matematikada bunday holda bitta matematik modelga deb aytiladi) - funksiya orttirmasining argument orttirmasiga bo‘lgan nisbatining argument orttirmasi nolga intilgandagi limitini hisoblashga keltirildi. Ma’lum bo‘lishicha, ko‘pgina masalalar yuqoridagi kabi limitlarni hisoblashni taqoza qilar ekan. Shu sababli buni alohida o‘rganish maqsadga loyiqdir.