Sonli usullar va dasturlash fanidan 4-mavzu: Algebraik va transtsendent tenglamalarni taqribiy yechish usullari

Tenglama ildizini urinmalar (nyuton ) usulida hisoblash

Urinmaning OX o’qi bilan kesishish nuqtasi x=a1 -desak, bu nuqtada u=0 ekanligidan

0-f(a)= f o(a)( a1-a)

ni olamiz. Oxirgidan esa

a1= a - f(a)/f o(a)

formula topiladi. So’ngra [a1,b] oraliq uchun yuqoridagi jarayonni takrorlab,

a2= a1 - f(a1)/ f o(a1)

formulani olamiz va hokazo, jarayonning n- takrorlanishida (n- qadamda)

an= an-1 - f(an-1)/ f o(an-1) (1.6)

formulaga ega bo’lamiz. Bu jarayonni cheksiz takrorlash (davom ettirish) natijasida {an} ketma-ketlikni tuzamiz. Bu urinmalar usulining mohiyatidan iboratdir.

Tenglama ildizini urinmalar (nyuton ) usulida hisoblash

Olingan {an} ketma-ketlik 2.teoremaning shartlari bajarilganda aniq yechim x=t ga yaqinlashadi. an- an-1< shart bajarilguncha davom ettiriladi va taqribiy ildiz uchun x an ni qabul qilinadi.

Agar f(b)f(b)> 0 bo’lsa, b0= b deb olib,

bn= bn-1 –

formula asosida {bn} ketma-ketlikni olamiz.

KETMA - KET YAQINLASHISH USULI

Bizdan f(x)=0 tenglamaning ildizini aniqlash talab etilsin. Bu tenglamani quyidagi (teng kuchli) ko`rinishda yozamiz

x = (x) (2.20)

f(x) =0 tenglamani x = (x) ko`rinishga keltirishni juda yengil amallar bilan istalgan vaqtda amalga oshirish mumkin. (2.20) ning ildizi [a,b] kesmada ajratilgan bo`lsin. [a,b] ning ichida ixtiyoriy x nuqtani olamiz (a  x0 b) va bu nuqtani boshlang’ich (nolinchi) yaqinlashish deb qabul qilamiz. x ni (2.20) ning uni tarafidagi x ning o`rniga qo’yib, hosil bo`lgan natijani x desak,

x1 = (x0) (2.21)

x1 ni birinchi yaqinlashish bo’yicha (2.20) ning ildizi deyiladi. Keyingi yaqinlashishlar quyidagicha topiladi: