Sonli usullar va dasturlash fanidan 4-mavzu: Algebraik va transtsendent tenglamalarni taqribiy yechish usullari

x2 =  (x1),

x3 =  (x2),

. . . . . . . . .

xn =  (xn-1)

. . . . . . . . . .

Buning natijasida quyidagi ketma-ketlikni tuzamiz

x0, x1, x2, … , xn (2.22)

KETMA - KET YAQINLASHISH USULI

Agar (2.22) ketma-ketlikning limiti mavjud bo`lsa ( ), u xolda x (2.20) ning ildizi bo`ladi. Buning isboti juda sodda. Agar  (x) ni uzluksiz funktsiya desak,ya`ni x =  (x) bo`lib, x (2.20) ning ildizi bo`ladi.

Agar (2.20) ketma-ketlikning limiti mavjud bo`lmasa, u xolda ketma-ket yaqinlashish usulining ma`nosi bo`lmaydi.

Yuqorida aytilganlardan xulosa shuki, biz bu usul bilan f(x) =0, [x= (x)] tenglamaning echimini topmokchi bo’lsak, quyidagi ketma-ket bajarilishi lozim bo`lgan jarayonni hisoblashimiz kerak bo`ladi:

(2.23)

bu erda x0,x1,x2, …, xn … ketma-ket yaqinlashishlar; x0 - boshlangich yaqinlashish; x1 - birinchi yaqinlashish; x2 - ikkinchi yaqinlashish va x.k.

(2.23) jarayon yaqinlashuvchi bo`lishining etarlilik shartlarini quyidagi teorema ifodalaydi (teoremani isbotsiz keltiramiz).

KETMA - KET YAQINLASHISH USULI

Teorema. x= (x) tenglamaning ildizi [a, b] kesmada ajratilgan bo`lib, bu kesmada quyidagi shartlar bajarilsa:

 (x) funktsiya [a, b] da aniqlangan va differentsiallanuvchi;

barcha x[a;b] uchun (x) [a;b];

barcha x[a;b] da |(x)|  M < 1 bo`lsa, u xolda (2.23) jarayon yaqinlashuvchi bo`ladi

Bu erda shuni ta`kidlash lozimki, teoremaning shartlari faqat yetarli bo`lib, zaruriy emasdir, ya`ni (2.23) jarayon bu shartlar bajarilmaganda ham yaqinlashuvchi bo`lishi mumkin. (2.23) ni hisoblaganimizda, hisoblashni avvaldan berilgan aniqlik uchun quyidagi tengsizlik bajarilgunga qadar davom ettiramiz: