So‘nuvchi tеbranma harakat qonunlarini o‘rganish

SO‘NUVCHI TЕBRANMA HARAKAT QONUNLARINI O‘RGANISH.
Kerakli asbob va materiallar: 1. Shkalali shtativ. 2. Bikrligi turlicha bo‘lgan prujinalar to‘plami. 3. Turli og‘irlikdagi yuklar to‘plami. 4. Suyuqlik quyilgan idish. 5. Sekundomer.
Ishning maqsadi prujinali mayatnikning xususiy tebranishlarini o‘rganish orqali so‘nuvchi tebranishlar bilan tanishish, tajriba yo‘li bilan prujinaning bikrlik koeffitsnentini, mayatnikning xususiy tebranishlar davrini va chastotasini, bu kattaliklarning prujina bikrligiga, tebranuvchi jismning massasiga bog‘liqligini hamda tebranish so‘nishining logarifmik dekrementini va nihoyat, sistema tebranayotgan muhitning ishqalanishkoeffitsiyentini aniqlash. Sistemaning erkin tebranishlari faqat ishqalanish bo‘lmagan taqdirdagina garmonik tebranishlar bo‘la oladi (9-laboratoriya ishiga qarang). Lekin real tebranuvchi sistemada hamma vaqt ishqalanish, aniqrog‘i, qarshilik kuchlari mavjud. Masalan, mayatnik osib quyilgan joydagi ishqalanish kuchi yoki sistema tebranayotgan muhitning qarshilik kuchi shular jumlasidandir. Qarshilik kuchlarini yengish uchun sistema ish bajaradi va tebranishlar energiyasining bir qismini sarflaydi. Shuning uchun tebranish energiyasi tebranish jarayonida kamayib boradi. Tebranish energiyasi amplituda kvadratiga tug‘ri proporsional ekanligidan tebranishlar amplitudasi ham tobora kamayib boradi va energiya zahirasi tugagach, tebranishlar butunlay to‘xtaydi. Bunday tebranishlar so‘nuvchi tebranishlar deb ataladi.
So‘nuvchi tebranishlarda tebranish amplitudasi vaqt o‘tishi bilan kamayib borishi sababli harakat to‘la takrorlanmaydi. Shuning uchun so‘nuvchi tebranishlar garmonik bo‘lmaydi, ular hatto davriy harakat ham bo‘la olmaydi. a, b, rasmda garmonik tebranishlar va so‘nuvchi tebranishlar uchun x siljishning t vaqtga bog‘liqlik grafigi tasvirlangan.

Prujinali mayatnikning erkin so‘nuvchi tebranishlarini qarab chiqaylik. Mayatnikning tebranishlari erkin bo‘lsa, mayatnik tashqi kuchlar tomonidan muvozanat holatidan chiqarilib, o‘z holiga quyilgan va unga faqat kvazielastik kuch bilan muhitning qarshilik kuchi ta’sir qilayotgan bo‘ladi. Agar mayatnikning kichik tebranishlari bilan chegaralansak, u dolda qarshilik kuchi mayatnikning tebranishlar tezligiga proporsional bo‘ladi, deb hisoblash mumkin, ya’ni

bunda r — qarshilik koeffitsiyenti deb ataluvchi o‘zgarmas kattalik, «-» ishora bilan r qarama-qarshi yo‘nalganligini bildiradi. Tebranayotgan prujinali mayatnikning harakat tenglamasi, Nyutonning ikkinchi qonuniga ko‘ra,

bo‘ladi, bunda m — prujina bilan tebranayotgan jismning massasi, k — prujinaning bikrligi. (2) tenglamani m ga bo‘lib,
ва
belgilashlarni kiritib, quyidagi ko‘rinishdagi ifoda hosil bo‘ladi:

formula bilan aniqlanadigan chastota prujinali mayatnik (tebranuvchi sistema) ning xususiy tebranishlar chastotasi (9- laboratoriya ishiga bo‘ladi. (4) formula bilan aniqlanadigan kattalik tebranishlarning so‘nish koeffitsiyenti deb ataladi. Muhitning qarshiligi ta'sirida tebranishlar amplitudasi vaqt o‘tishi bilan kichrayib boradi. Shuning uchun (5) ning yechimini

ko‘rinishda izlash kerak, bunda ω muhitning qarshiligi hisobga olingandagi tebranishlar chastotasi, α boshlang‘ich faza, α(t) va ω ning ko‘rinishini topib uchun (6) ni t vaqt bo’yicha differentsiallab, x ̈ va x ̇ uchun topilgan ifodalarni (5) ga qo‘yamiz. Hosil bo‘lgan ifoda ustida uncha murakkab bo‘lmagan o‘zgartirishlar o‘tkazib, a (t) uchun

va ω uchun

munosabatlarni topamiz, bunda — vaqtning boshlang‘ich paytidagi amplituda qiymati. > bo‘lsa, ω haqiqiy son bo‘ladi va (5) ning yechimi (6) ko‘rinishda yozilishi mumkin.
Shunday qilib, so‘nish uncha kuchli bo‘lmaganda < tebranishlar quyidagi funktsiya bilan ifodalanadi:

Bu funktsiyaning grafigi rasmda keltirilgan. Punktir chiziqlar a(t) funktsiyaning grafigini beradi, bunda kattalik t vaqtning boshlang‘ich (t=0) paytidagi amplituda qiymati. Boshlang‘ich siljish х₀, boshlang‘ich amplituda a₀ dan tashkari yana a fazaga ham bog‘liq, ya'ni х₀ = а₀ cos (rasmga qarang). Tebranishlarning so‘nish tezligi β so‘nish koeffitsiyenti bilan aniqlanadi. Amplitudani e marta kamayishi uchun ketgan τ vaqtni relaksatsiya vaqti deyiladi. Ta'rifga asosan = bundan βτ=1. Demak, so‘nish koeffitsiyenti relaksatsiya vaqtiga teskari kattalik bo‘lib, u qancha katta bo‘lsa, so‘nish shuncha tez sodir bo‘ladi. (8) ga asosan so‘nuvchi tebranishlarning davri quyidagiga teng:


Bir davrga farq qiluvchi ketma-ket olingan tebranishlar amplitudalarining nisbati quyidagiga teng bo‘ladi (rasmga qarang):

Bu nisbat so‘nish dekrementi, uning logarifmi esa so‘nishning logarifmik dekrementi deb ataladi:
=
Agar amplituda e marta kamayishi uchun N marta tebranish zarur bo‘lsa, u holda
ifoda hosil bo‘ladi. (13) dan ko‘rinadiki, so‘nishning logarifmik dekrementi kattalik jihatdan amplitudaning ye marta kamayishi uchun ketgan vaqt ichida sodir bo‘luvchi to‘la tebranishlar sonining teskari qiymatiga teng ekan. (4) va (12) formulalardan muhitning qarshilik (ishqalanish) koeffitsiyenti uchun

ifodani hosil qilish mumkin. Demak, tajriba nuli bilan λ va T ni aniqlab, (14) formuladan mayatnik tebranayotgan muhitning r qarshilik koeffitsiyentini topish mumkin ekan. Bu vazifada foydalanadigai asbob A shtativdan va Б shkaladan iborat bo‘lib (-rasm), unda prujinani bir uchidan osish uchun maxsus В ilgak o‘rnatilgan. Prujinaning ikkinchi uchiga yuk osiladi. Yukni muvozanat holatidan chiqarib quyib yuborilsa, mayatnik tebrana boshlaydi. Б shkaladan yukning vaziyatini aniqlashda foydalaniladi. Prujinali mayatnikning qovushqoq muhitdagi tebranishi Б idish ichidagi suyuqlikda kuzatiladi.