Sumqayit döVLƏt universitetiNİN
Yüklə 166,96 Kb.
|
|
Xətti tənliklər sisteminin matris üsulu ilə həlli.
(4) sistemində məchulların əmsallarından düzəlmiş matrisi A, sərbəst hədlərdən düzəlmiş sütun matrisini B,məchullardan düzəlmiş sütun matrisini X ilə işarə edək. 𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑥1 𝑏1
𝐴 = |𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛|, 𝑋 = (𝑥2 ),𝐵 = (𝑏2 ) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑛𝑛 ⋮ 𝑥𝑛 ⋮ 𝑏𝑛 (4) xətti tənliklər sistemini matris şəklində yazaq. 𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛 𝑥1 𝑏1
|𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛| ∙ (𝑥2 ) = (𝑏2 ) və ya 𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐵. Bu tənlik matris tənlik ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 ⋯ 𝑎𝑛𝑛 adlanır.
⋮ 𝑥𝑛 ⋮ 𝑏𝑛 Onda (4) xətti tənliklər sisteminin matris həlli: 𝑋 = 𝐴−1 ∙ 𝐵. Misal. 2𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 = 9 {𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 = 14 3𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑥3 = 16
𝑥1 9 ), 𝑋 = (𝑥2), 𝐵 = (14). 𝑥3 16 Matris tənliyin həlli 𝑋 = 𝐴−1 ∙ 𝐵 olduğundan 𝐴−1 matrisini tapaq. 1 𝐴11 𝐴21 𝐴31 ∆ 𝐴−1 = (𝐴12 𝐴22 𝐴32) 𝐴13 𝐴23 𝐴33 2 3 2
∆= (1 2 −3) = −6 3 4 1
𝐴11 = |2 −3| = 14, 𝐴12 = − |1 −3| = −10, 𝐴13 = |1 2| = −2 4 1 3 1 3 4 𝐴21 = − |3 2| = 5, 𝐴22 = |2 2| = −4, 𝐴23 = − |2 3| = 1 4 1 3 1 3 4 𝐴31 = |3 2 | = −13, 𝐴32 = − |2 2 | = 8, 𝐴33 = |2 3| = 1 2 −3 2 −3 1 2 𝐴−1 = 1 −6 14 5 −13 (−10 −4 8 ) −2 1 1
𝑥1 1 14 5 −13 9 𝑋 = (𝑥2) = 𝐴−1 ∙ 𝐵 = −6 (−10 −4 8 ) ∙ (14) 𝑥3 −2 1 1 16 1 126 + 70 − 208 1 −12 2 = −6 ∙ (−90 − 56 + 128) = −6 (−18) = ( 3 ) 18 + 14 + 16 Deməli X1=2,x2=3,x3=-2 alınır. 12 −2
Xətti tənliklər sisteminin Qauss üsulu ilə həlli 𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
{ 𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝑎𝑛1𝑥1 + 𝑎𝑛2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑛 Bu sistemin determinantı sıfırdan fərqli olduqda onu Kramer qaydası ilə həll etmək olar.Verilmiş xətti tənliklər sistemində məchulların sayı tənliklərin sayına bərabər olmadıqda sistemi məchulların ardıcıl yox edilməsi üsulu və ya Qauss üsulu ilə həll edirlər.Qauss üsulunun məzmunu misal üzərində: 𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 + 2𝑥4 = 1 { 2𝑥1 − 𝑥2 − 2𝑥3 − 3𝑥4 = 2 3𝑥1 − 2𝑥2 − 𝑥3 + 2𝑥4 = −5 2𝑥1 − 3𝑥2 + 2𝑥3 + 𝑥4 = 11 Həlli: Sistemin birinci tənliyinin hər iki tərəfini 2-yə vurub alınan bərabərliyi uyğun olaraq 2-ci və 4-cü tənlikdən tərəf-tərəfə çıxaq,sonra birinci tənliyin hər iki tərəfini 3-ə vurub alınan tənliyi 3-cü tənlikdən tərəf-tərəfə çıxsaq alınar: 𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 + 2𝑥4 = 1 { −5𝑥2 + 4𝑥3 − 7𝑥4 = 0 −4𝑥2 + 8𝑥3 − 4𝑥4 = −8 −7𝑥2 + 8𝑥3 − 3𝑥4 = 9
𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 + 2𝑥4 = 1 { 𝑥2 + 4𝑥3 + 3𝑥4 = −8 −4𝑥2 + 8𝑥3 − 4𝑥4 = −8 −7𝑥2 + 8𝑥3 − 3𝑥4 = 9
ci tənliyin hər iki tərəfini əvvəlcə 4-ə ,sonra da 7-yə vurub alınan bərabərlikləri uyğun olaraq üçüncü və dördüncü tənliklərlə toplayaq: 𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟒 = 𝟏 { 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟒 = −𝟖 𝟐𝟒𝒙𝟑 + 𝟖𝒙𝟒 = −𝟒𝟎 𝟔𝒙𝟒 = 𝟏𝟑
Vektorlar və onlar üzərində əməllər Yalnız ədədi qiyməti ilə xarakterizə olunan kəmiyyətlərə skalyar kəmiyyətlər deyilir.Məsələn:uzunluq,sahə,həcm,kütlə və s. Skalyar kəmiyyətlərdir. Qiymət və istiqaməti ilə xarakterizə olunan kəmiyyətlərə vektorial kəmiyyətlər və ya vektorlar deyilir.Məsələn qüvvə,hərəkətin sürəti,təcili və s. Vektorial kəmiyyətlərdir. Vektorial kəmiyyətləri həndəsi olaraq istiqamətlənmiş düz xətt parçası ilə göstərirlər.Vektorun istiqaməti ox işarəsi ilə göstərilir. B A nöqtəsi vektorun başlanğıcı,B nöqtəsi isə sonu adlanır. A Bu vektor AB və ya a kimi işarə olunur.Vektorun uc nöqtələri arasındakı məsafəyə onun uzunluğu və ya modulu deyilir və uyğun olaraq AB ,yaxud a kimi işarə olunur. Başlanğıc və son nöqtələri üst üstə düşən vektor sıfır vektor adlanır və 0 ilə işarə olunur.Sıfır vektorun uzunluğu sıfır,istiqaməti isə qeyri müəyyəndir.Uzunluqları və istiqamətləri eyni olan vektorlara bərabər vektorlar deyilir. Vektorları toplamaq,bir vektordan digərini çıxmaq,vektoru istənilən ədədə vurmaq mümkündür.Bunlara vektorlar üzərində xətti əməllər deyilir.
a+b
Üç və daha çox vektoru toplamaq üçün bu b c vektorlar paralel olaraq elə sürüşdürülür ki, ikinci vektorun başlanğıcı birincinin sonu ilə, üçüncü vektorun başlanğıcı ikinci vektorun sonu ilə və s. ,sonuncu vektorun başlanğıcı ondan əvvəlkinin sonu ilə üst üstə düşsün. m Nəticədə birinci vektorun başlanğıcını axırıncı vektorun sonu ilə birləşdirən vektor bu vektorların cəmi hesab olunur. m=a+b+c+d Bəzən m vektoruna verilən vektorların qapayıcı vektoru da deyilir. c a və b vektorlarının fərqi elə c vektoruna deyilir ki,onu b ilə topladıqda a vektoruna bərabər olsun.c=a-b a
İki vektorun cəmini və fərqini onlar üzərində paraleloqram qurmaqlada tapmaq olar.Buna paraleloqram qaydası deyilir. Veektorların vektorial hasili və xassələri Tərif: a vektorunun b vektoruna vektorial hasili aşağıdakı üç şərti ödəyən c vektoruna deyilir. C vektorunun uzunluğu a və b vektorları üzərində qurulmuş paraleloqramın sahəsinə bərabər olsun, |𝑐̅| = |𝑎̅||𝑏̅|𝑠𝑖𝑛𝜑 c vektoru a və b vektorlarının müstəvisinə perpendikulyar olsun. a,b,c vektorları sağ oriyentasiyalı olsun(hərəkət saat eqrebi istiqamətində olduqda) Vektorial hasilin xassələri vektorial hasil yerdəyişmə xassəsinə tabe deyildir. [𝑎̅, 𝑏̅] = −[𝑏̅, 𝑎̅] Skalyar vuruğu vektorial hasil işarəsi xaricinə çıxarmaq olar. [𝛾𝑎̅, 𝑏̅] = [𝑎̅, 𝛾𝑏̅] = 𝛾[𝑎̅, 𝑏̅] Vektorial hasildə paylanma qanunu doğrudur. [𝑎̅, 𝑏̅ + 𝑐̅] = [𝑎̅, 𝑏̅] + [𝑎̅, 𝑐̅]. Vektorial hasil aşağıdakı düstur ilə tapılır. 𝑖 𝑗 𝑘
̅ 𝑎𝑦 𝑎𝑧 𝑎𝑧 𝑎𝑥
𝑎𝑥 𝑎𝑦 [𝑎̅, 𝑏] = |𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧| = |𝑏𝑦 𝑏𝑧| 𝑖 + |𝑏𝑧 𝑏𝑥| 𝑗 + |𝑏𝑥 𝑏𝑦| 𝑘 𝑏𝑥 𝑏𝑦 𝑏𝑧 Misal:𝑎 = −2𝑖 + 3𝑗 − 4𝑘 𝑣ə 𝑏 = 𝑖 − 2𝑗 + 3𝑘 vektorlarının vektorial hasilini tapaq: [𝑎̅, 𝑏̅] = | 𝑖 𝑗 𝑘 | = | 3 −4| 𝑖 + |−4 2| 𝑗 + |2 3 | 𝑘 2 3 −4 1 −2 3
= 𝑖 − 10𝑗 − 7𝑘 −2 3 3 1 1 −2 Vektorların qarışıq hasili və xassələri Tərif: 𝑎𝑣ə 𝑏 vektorlarının vektorial hasilinin c vektoruna skalyar hasilinə 𝑎, 𝑏 , c vektorlarının qarışıq hasili deyilir və ([𝑎̅, 𝑏̅], 𝑐) kimi işarə olunur. Qarışıq hasilin xassələri: 𝑎, 𝑏 , c vektorlarının dairəvi yerdəyişməsi nəticəsində onların qarışıq hasili dəyişmir. Qarışıq hasildə ixtiyari iki vektorun yerini dəyişdikdə qarışıq hasilin yalnız işarəsi dəyişir. 𝑎, 𝑏 , c vektorlarının qarışıq hasili sıfra bərabərdirsə onda bu vektorlar komplanar olar. Misal: 𝑎 = 2𝑖 − 𝑗 − 𝑘 𝑣ə 𝑏 = 𝑖 + 3𝑗 − 𝑘, 𝑐 = 𝑖 + 𝑗 + 4𝑘 vektorlarının qarışıq hasilini tap. ([𝑎̅, 𝑏̅], 𝑐) = 2 −1 −1 = 2 |3 −1| − |1 −1| − |1 3| |