Sumqayit döVLƏt universitetiNİN

Birtərtibli diferensial tənliklər.

Birinci tərtib diferensial tənliyinin ümumi şəkli aşağıdakı kimidir.

(1)

F^x,

y, y^  0

Bəzi hallarda bu tənliyi y^ı dəyişəninə nəzərən həll edərək

(2)

y^ 

f ^x, y^

şəklində yazmaq olar. Bu törəməyə nəzərən həll edilmiş birinci tərtib diferensial tənlikdir. Bu tənliyi bəzi hallarda ona ekvivalent olan

dy 

f ^x,

y^ dx  0

(3)

şəklində yazırlar. Ümumi halda bəzən birinci tərtib diferensial tənlik

M ^x,

y^ dx 

N^x,

y^ dy  0
(4)

şəklində tənliklərə deyilir.

Koşi məsələsi.

y^ 

f ^x, y^

diferensial tənliyinin

y^x_o ^  y_o

şərtini ödəyən , yəni

x=x_o olduqda y=y_o

olan həllinin tapılması məsələsinə birinci tərtib diferensial tənlik ücün Koşi məsələsi deyilir. Həndəsi olaraq Koşi məsələsi tənliyin bütün inteqral əyriləri içərisindən M_o(x_o,y_o) nöqtəsindən keçən inteqral əyrisinin tapılmasından ibarətdir.

Dəyişənlərinə ayrılan diferensial tənliklər.

Fərz edək ki, M(x,y) və N(x,y) funksiyaları müstəvi üzərində hər hansı D oblastdında təyin edilmiş , kəsilməz funksiyalardır. Yuxarıda qeyd etdik ki, birinci tərtib diferensial tənliyi

(1)

şəklində yazmaq olar.

M ^x,

y^ dx  N^x,

y^ dy  0

Tərif . Əgər diferensial tənliyi
(2)
^x^ dx  ^y^ dy  0

şəklində göstərmək olarsa , onda həmin tənliyə dəyişənlərinə ayrılan

diferensial tənlik deyilir. Burada

x

^və x

funksiyaları təyin

oblastlarında kəsilməz funksiyalardır.

(1) Tənliyinin hər iki tərəfini inteqrallasaq

_ ^x^ dx  _ ^y^ dy  C

(3)

alınır.

Bircins diferensial tənliklər.

Fərz edək ki, funksiyalardır.

f x, y

funksiyası hər hansı D oblastında təyin edilmiş

Tərif 1. Əgər istənilən t üçün

f tx, ty  t ⁿ f x, y

şərti ödənilərsə,

onda f x, yfunksiyasına n tərtibli bircins funksiya deyilir.

Xüsusi halda n=0 olarsa,

f x, y

sıfır tərtibli bircins funksiya alınır.

Bu halda

f tx,ty 

f x, y

alarıq. Əgər sonuncu bərabərlikdə

t  ¹

x

qəbul etsək,

f x, y 

y

f (1, )

x

 ^y 

 
 _x 

alınar. Yəni, sıfır ölcülü bircinsli

 

funksiya ^y

x

nisbətindən asılı funksiyadır.

Indi

Px, ydx  Qx, ydy  0

1. 
   diferensial tənliyinə baxaq.
   

Tərif 2. Əgər (1) diferensial tənlikdə P(x,y) və Q(x,y) funksiyaları eyni tərtibli bircins funksiyalar isə , onda bu tənliyə bircins diferensial

tənliklər deyilir. Əgər diferensial tənlik

y^ 

f x, y

şəklində verilmişsə və

ƒ(x,y) sıfır tərtibli bircins funksiya isə , onda həmin tənliyi

y^  ^{ y }


 
x

 

şəklində yazmaq olar. Ona görədə bəzən bircins diferensial tənlik

dedikdə elə

y^  ^{ y }


 
x

şəklində başa düşülür.

 

Əgər verilmiş tənlik bircinsli isə, onda

u  ^y x

əvəzləməsinin köməyi

ilə həmin tənliyi dəyişənlərinə ayrılan tənliyə gətirmək mümkündür. Doğrudanda

^y  u, x

y  ux,

y^  u^x  u

u  u^x  u  u^x  u u  x ^du  u u

dx

buradan

du _ dx

u  u x

bu dəyişənlərinə ayrılmış tənlikdir. Əgər

u u  0

isə, onda hər tərəfi

inteqrallasaq ,

_ du _{ } dx

olar. Əgər F(u) ilə sol tərəfdəki inteqralın

u  u x

nəticəsi işarə etsək,

F (u)  ln x  ln c

və ya

_{x  ce} F u 

alarıq. Bu verilmiş

tənliyin ümumi həllidir. Burada lazımdır.

u  ^y x

əvəzləməsini yerinə yazmaq

Birtərtibli xətti diferensial tənliklər.

y^  P^x^y  q^x^
(1)

şəklində tənliklərə xətti diferensial tənliklər deyilir. Burada p(x) və q(x) funksiyaları müəyyən (a, b) intervalında kəsilməz funksiyalardır. Əgər (1) tənliyində q(x)=0 olarsa ,

y^ 

p^x^y  0
(2)

tənliyinə bircins xətti tənlik deyilir.

2. 
   Tənliyi dəyişənlərinə ayrılan tənlikdir.
   

^dy   p^x^y 

dx

^dy   p^x^dx y

Burada hər tərəfi inteqrallayaq

ln y

 _

p^x^dx  ln C

_{y  Ce} _ pxdx

3. 
   
   

Bu (2) xətti bircins tənliyinin ümumi həllidir.

Misal . 1.

y^ 

xy  0

^dy  xy ; ^dy  xdx  _ ^dy  _ xdx  ln y

_x2


  
ln C

dx y y

2

• 
  _x2
  

y  Ce ²

Bu tənliyin ümumi həllidir.

Misal .2.

y^ 

y sin x  0

^dy   y sin x; dx

^dy   sin xdx y




^dy   sin xdx; y
ln y

 cos x  ln C

_{y  Ce}cosx


İkitərtibli xətti diferensial tənliklər.

Sərbəst dəyişəninə, axtarılan funksiyaya onun birinci və ikinci tərtib törəməsinə nəzərən tənliyə ikitərtibli diferensial tənlik deyilir. Bu tənliyi ümumi şəkildə aşağıdakı kimi yazmaq olar

F(x, y,

y^,

y^)

 0.₍₁₎

İkitərtibli diferensial tənliyi eyniliyə çevirən x məchulundan və iki

sərbəst ixtiyari

C ve

sabitlərindən asılı olan

y  (x,C ,C )

1

1

2

C

2
funksiyasına bu tənliyin ümumi həlli deyilir.

1. 
   tənliyinin ümumi həllindən C₁ və C₂ ixtiyari sabitlərinin verilmiş
   

^{С  С 0 ,} С  С⁰

qiymətlərində alınan

y  (x, C⁰ , C⁰ )

həllinə (1)

^{1 1} 2 2 ^{1 2}
tənliyinin xüsusi həlli deyilir.

Əgər

F(x, y, y^, y^)  0

tənliyi yüksək törəməyə nəzərən həll

ediləndirsə, onda bu tənliyi

y^ 

f (x, y, y^)
(2)

şəklində göstərmək olar.

Sadə inteqrallanan ikitərtibli diferensial tənliklərə elə tənliklər aiddir ki, (2) bərabərliyinin sağ tərəfində duran funksiya yalnız üç arqumentin birindən asılı olsun.

İkitərtibli sabit əmsallı xətti bircins tənliklər

Tutaq ki, ikitərtibli xətti bircins

y  _{+ p}y  ₊ qy = 0 (1)

tənliyi verilmişdir, burada p, q əmsalları sabit ədədlərdir. Bu tənliyin

həlli

y  e^kx

şəklində axtarılır, burada k axtarılan sabit ədəddir. Onda

y^ 

ke^kx ,

y^  k 2 e^kx _.

Törəmələrin bu qiymətlərini (1) tənliyində yerinə yazaq

e^kx(k²₊pk₊q) = 0,

burada e^kx0 olduğundan alırıq ki,

k ² 

pk  q  0 _{. (2)}

2. 
   
   2
   tənliyinə (1) diferensial tənliyinin xarakteristik tənliyi deyilir. Bu tənlikdən k-nı tapaq
   

^k1, 2

  ^p 

2

^p  q. 4

3. 
   
   

Burada aşağıdakı hallar mümkündür.

1. 
   Əgər (2) xarakteristik tənliyinin k₁ və k₂ kökləri həqiqi və
   

müxtəlifdirsə, onda

_{ e}k₁x _və

k₂ x


y



e
2

funksiyaları xüsusi

y

1
həllərdir. Deməli, (1) tənliyinin ümumi həlli aşağıdakı düsturla ifadə olunur:

^y = ^{C1 ek1x +C2} e^{k2 x . (4)}

2. 
   Əgər (2) xarakteristik tənliyinin kökləri həqiqi və bərabərdirsə
   

2

2

1
^(k1 = ^{k2 ), onda (1) tənliyinin ümumi həlli aşağıdakı düsturla ifadə} olunar:

1
y  C e^k1x

• 
  C xe^k1x
  

 e^k1x (C

• 
  C x)
  

(5)

3. 
   
   1
   
   2
   Əgər (2) xarakteristik tənliyinin k₁ və k₂ kökləri kompleks olarsa ( k_{1 =}  ₊i , k_{2 =}  –i), onda (1) tənliyinin ümumi həlli
   

y

şəklində olur.

^{ ex} (C

cosx  C

sinx)

(6)

Toplama teoremi

Teorem.İstənilən A və B hadisələri üçün

PA  B  PA PB PAB
^İsbatı. PA  B^{ehtimalı A və B hadisələrindən heç olmasa birinə daxil olan}

elementar hadisələrin ehtimalları cəmidir.Bu zaman elementar hadisə eyni zamanda A və B -yə daxil olduqda bir dəfə götürülür.Ona görə də

PA  B  PA PB

Elementar hadisə eyni zamanda A və B -yə daxil olduqda o, axırıncı bərabərsizliyin sağ tərəfinə iki, sol tərəfinə isə bir dəfə daxil olur.Ona görə də

^{sağ tərəf sol tərəfdən} PAB ^{qədər böyükdür.Beləliklə,}
PA  B  PA PB PAB

EHTİMALIN VURMA DÜSTURU.

^{B hadisəsinin baş verməsi şərtində A hadisəsinin} PA/ B ^{şərti ehtimalı}

PA / B 

PAB PB

^{düsturu ilə hesablanılır.Buradan, B hadisəsinin P(B)}  0 ^{şərtsiz ehtimalı məlum olduqda , A}

və B hadisələrinin eyni zamanda baş verməsinin ehtimalını təyin etmək olar:

Fərz edək ki,

A₁ ,... A_n

hadisələri

PA₁   0, PA₁ A₂   0,..., PA₁...A_n  0

şərtlərini ödəyir.Onda aşağıdakı düstur doğrudur:

PA ...A   PA PA

/ A PA / A A ...PA / A ...A 

1 n 1

2 1 3 1 2 n n

Doğrudanda

pA PA / A ...PA

/ A ...A

  PA  ^{PA1 A2 }....


PA₁ A₂ ...A_n 

 PA A ...A

^olar.

1 2 1

n 1 n1

¹ PA  PA A ...A 

1 2 n

1 1 2

n1

TAM EHTİMAL DÜSTURU

Fərz edək ki,

A₁,..., A_n

hadisələri tam sistem təşkil edir.Onda ixtiyari A hadisəsi üçün

n
PA  _PA/ B_i PB_i 

i 1
İsbatı.Doğrudanda ehtimalın toplama və vurma düsturlarına əsasən yaza bilərik:

PA  PA 

_n

AB ^  _n

PAB   _PA/ B PB 

P

 i 1

_i 


n
 i 1

i i i

i 1

BEYES DÜSTURU.

B hadisəsi

A_k k

 1,2,..., n
hadisələrindən biri başverdikdə başverir və

sınaq nəticəsində B hadisəsi başvermişdir. Sınaqdan əvvəl

A_k k

 1,2,..., n

hadisələrinin

PA_k 

ehtimalları və B hadisəsinin

A_k k  1,2,..., n

hadisələrinin hər

birinə görə

PB / A_k 

şərti ehtimalları məlumdur. B hadisəsinin baş verməsi ^A_k

hadisəsinin ehtimalına necə təsir edir?

Bu məsələni həll etmək üçün

PBA_k   PBPA_k

bərabərliklərindən istifadə edək.

Buradan

/ B  PA_k PB / A_k 

PA_k

/ B 

PA_k PB / A_k 

PB

bərabərliyi və tam ehtimal düsturuna əsasən

PA_k

/ B 

PA_k PB / A_k  _{, k}


n
_ PA_k PB / A_k 

k 1
 1,2,..., n

münasibəti alınır.Axırıncı bərabərliyə Beyes düsturu deyilir.

Burada baxılan

A_k , k

 1,2,..., n

hadisələrinə bəzən fərziyyələr, Beyes

düsturuna isə fərziyyələr teoremi deyilir.Beyes dusturu B hadisəsi başverdikdən

sonra

A_k , k

 1,2,..., n

hadisələrinin başverməsi haqında fərziyyələrin

ehtimallarını yenidən qiymətləndirməyə imkan verir.

Şərti ehtimal

Təcrübədə bir çox hallarda A hadisəsinin ehtimalını başqa bir B hadisəsinin baş verməsi şərti daxilində hesablamaq lazım gəlir. Bu cür ehtimala şərti ehtimal deyillir. B hadisəsinin baş verməsi şərtində A hadisəsinin şərti

^ehtimalı PA/ B ^{kimi işarə edilir.
Tutaq ki, n elementar hadisədən m -i A hadisəsi,} k ^{saydası isə B hadisəsi} üçün əlverişlidir.Onda

PA 

^m , PB  ^k n n

Fərz edək ki, B hadisəsi başverdikdə A hadisəsi üçün əlverişli halların sayı

l ^{dir.Onda kllasik ehtimalın tərifinə A hadisəsinin şərti ehtimalı}
PA/ B  ^l

k
olar.Axırıncı bərabərlikdə kəsrin surət və məxrəcini n -ə bölsək, şərti ehtimal

l

üçün

PA/ B₌ ⁿ



k
n

_ PAB

PB

düsturunu alarıq. AB hadisəsi üçün əlverişli halların sayı

l  olduğu üçün ^l

n

mütləq ehtimaldır.Beləliklə, B hadisəsinin baş verməsi şərtində A

hadisəsnin şərti ehtimalı

PA / B  ^PAB


 
P B

kimi hesablanılır.

Şərti ehtimalın xassələri.

1. PA/ B  0

^2. PA/   1

3. PA / B PA / B 1

^4. P/ B  0

^5. A₁  A₂ <sup>olduqda

6.</sup> 0  PA/ B  1

PA₁ / B  PA₂ / B

^7. PA₁ A₂ / B  PA₁ / B PA₂ / B PA₁ A₂ / B


Bernulli_düsturu'>Bernulli düsturu və Bernulli teoremi.

Tutaq ki, n sayda asılı olmayan sınaq aparılır və hər bir sınaqda A hadisəsinin baş verməsi ehtimalı sabit p ədədinə, baş verməməsi ehtimalı isə q=1-p ədədinə

bərabərdir.i-ci sınağın nəticəsini

B_i ,i  1,2,..., n

ilə işarə edək.Bu ardıcıllığın m

hissəsində A hadisəsi, qalan n-m hissəsində isə A olarsa, belə ardcıllıqların sayı


C
m

_n olar.
Sınaqlar asılı olmadıqlarından onların nəticələri – hadisələr də asılı deyillər

və ehtimalların vurulması qaydasına görə belə ardıcıllığın ehtimalı

_pm _qnm

ədədinə bərabər olar.Onda uyuşmayan (birgə olmayan) hadisələrin ehtimalları haqqında qaydaya görə m-qədər A-dan və n-m qədər A -dən ibarət ardıcıllıqların ehtimalları cəmi


n

n
p m  C^m p^mq^nm

olar.Aparılan n Bernulli sınağında “+” nəticənin baş vermə sayını edək.Beləliklə aşağıdakı nəticəyə gəlirik:

^sn ilə işarə

Bernulli düsturu. Tutaq ki, aparılan n Bernulli sınağında müsbət nəticənin

başvermə sayı dir.Bu halda

^sn -dir. Hər sınaqda müsbət nəticənin baş vermə ehtimalı isə p-

Ps_n

p_n m 


n
 m  C^m p^mq^nm q  1
p, m  0,1,2,..., n

p_n m
ehtimallarına binomial paylanma deyilir.Bu paylanma m=0,1,..., n

ədədləri ilə

^p_n ^m-lər arasında uyğunluq şəklində verilir. (1) ehtimalı

px  qⁿ

binomunun ayrılışında

x ^k -nın əmsalına bərabər olduğuna görə, ona

binomial ehtimal deyilirlər.Binomial ehtimalların çoxluğu binomial paylanma, n və p sabitləri isə onun parametrləri adlanır.

TƏSADÜFÜ KƏMİYYƏT ANLAYIŞI.

Təsadüfü kəmiyyət, baxılan hadisəni keyfiyyət və kəmiyyətcə xarakterizə edən və təsadüfü amillərin təsiri ilə bu və ya digər şəkildə müxtəlif qiymətlər ala bilən kəmiyyətlərdir.Təsadüfü kəmiyyətin hansı qiymət alacağını qabaqcadan qəti demək mümkün deyildir.Onun hər bir sınaqda aldığı qiymətlər müxtəlif səbəb və təsadüflərdən asılı olaraq dəyişir.

Sınağın nəticəsini keyfiyyətcə xarakterizə etmək o deməkdir ki, sınaq zamanı konkret əlamət fakt qeyd olunur və onun nəticəsinin əlamətə malik olub- olmadığı müəyyənləşdirilir.Qeydə alınan bu əlamət hadisə adlanır və deyirlər : “hadisə baş verdi”, ya da “hadisə baş vermədi”.

Sınağın nəticəsini kəmiyyətcə xarakterizə etmək o deməkdir ki, sınaq zamanı hər hansı kəmiyyətin ala biləcəyi qiymətlər müəyyən olunur, belə ki, həmin qiymətləri sınağa qədər təyin etmək mümkün deyildir.Belə kəmiyyətlər təsadüfi adlanır.

Deməli, təsadüfü kəmiyyət sınaq nəticəsində bu və ya digər qiymət ala biləcək dəyişən kəmiyyətdir.

Təsadüfü kəmiyyətin qabaqcadan hansı qiymətləri alacağını qəti demək mümkün deyildir.Təsadüfü kəmiyyətin ancaq ala biləcəyi qiymətlər çoxluğu göstərilir.Bu qiymətlər sonlu, hesabi və qeyri hesabi çoxluq təşkil edə bilər.

Əgər təsadüfü kəmiyyət sonlu və ya hesabi sayda izolə edilmiş ^x₁ ^{, x}₂ ^,...

qiymətlərini ala bilirsə, ona diskret təsadüfü kəmiyyət deyilir.Təsadüfü

kəmiyyətin ala bildiyi qiymətlər hər hansı sonlu və ya sonsuz intervalı təşkil edirsə, ona kəsilməz təsadüfü kəmiyyət deyilir.

TƏSADÜFÜ KƏMİYYƏTİN PAYLANMA FUNKSİYASI

Təsadüfü kəmiyyətləri ancaq onların ala bildiyi qiymətlər çoxluğunu göstərməklə təyin etmək mümkün deyildir.Belə ki, qiymətlər çoxluğu eyni olan, lakin bu qiymətləri müxtəlif ehtimallarla alan müxtəlif təsadüfü kəmiyyətlər vardır.Buna görə də, təsadüfü kəmiyyətin verilməsi üçün onun ala biləcəyi qiymətlər çoxluğu və həm də bu qiymətləri hansı ehtimalla aldığı göstərilməlidir.

Bu məqsədlə təsadüfü kəmiyyətin paylanma funksiyasına baxılır.
Istənilən həqiqi x üçün ^{ x} çoxluğu  -cəbr olan F sisteminə daxil olduğundan, onun

ehtimalı təyin olunmuşdur.Bu ehtimala - X təsadüfü kəmiyyətinin x -dən kiçik qiymət alması hadisəsinin ehtimalına həmin kəmiyyətin paylanma funksiyası deyilir və

kimi işarə edilir.

Fx  PX

 x

Son

Riyaziyyat fənnindən imtahan sualları

1. 
   Matris anlayışı
   
2. 
   Bircinsli diferensial tənliklər 3.Tərs funksiyanın törəməsi
   

4. 
   Müəyyən inteqral
   
5. 
   Determinantın tərifi
   
6. 
   Vektor anlayışı
   
7. 
   Dəyişənləri əvəz etməklə inteqrallama
   

4. 
   Vurma teoremi
   
5. 
   Diferensialın mexaniki mənası
   

4. 
   Adi diferensial tənliklər
   

4. 
   Bayes düsturu
   
5. 
   Qeyri-müəyyən inteqral
   
6. 
   Funksiyanın törəməsi
   

4. 
   Matrislərin cəmi
   

4. 
   Vektorlar üzərində əməllər
   
5. 
   İkitərtibli sabit əmsallı qeyri-bircins xətti diferensial tənliklər
   
6. 
   Ehtimalın klassik tərifi
   
7. 
   Nyuton-Leybnis düsturu
   
8. 
   İnteqrallar cədvəli
   
9. 
   Matrislərin fərqi və ədədə vurulması
   
10. 
    Matrisin ranqı
    

4. 
   Vektorların skalyar hasili
   
5. 
   Tam ehtimal
   
6. 
   Hissə-hissə inteqrallama üsulu
   
7. 
   Koşi məsələsi
   
8. 
   Törəmənin həndəsi mənası
   
9. 
   Tərs matris
   
10. 
    Qeyri-müəyyən inteqralın xassələri
    
11. 
    Təsadüfi kəmiyyətin dispersiyası
    
12. 
    Skalyar hasilin koordinatlarla ifadəsi
    
13. 
    Determinantın xassələri
    
14. 
    Birtərtibli deferansıal tənliklər
    
15. 
    Dəyişənlərinə ayrılan tənliklər
    
16. 
    İki matrisin hasili
    
17. 
    Vektorların skalyar hasilinin xassələri
    
18. 
    Tərs funksiyanın törəməsi
    
19. 
    Vektorial hasilin koordinatlarla ifadəsi
    
20. 
    Minor və cəbri tamamlayıcılar
    
21. 
    Müəyyən inteqralda dəyişənin əvəz edilməsi
    
22. 
    Vurma teoremi
    
23. 
    Qeyri-müəyyən inteqral
    
24. 
    Birtərtibli xətti tənliklər
    
25. 
    Təsadüfi kəmiyyətlər haqqında anlayış
    
26. 
    Kramer qaydası.
    
27. 
    Vektorların qarışıq hasili.
    
28. 
    Törəmənin mexaniki mənası.
    
29. 
    Müəyyən inteqralda hissə-hissə inteqrallama
    
30. 
    Şərti ehtimal.
    

4. 
   Vektorların vektorial hasili.
   
5. 
   Funksiyanın diferensialı.
   
6. 
   Cəmin törəməsi
   
7. 
   Təsadüfi hadisələr haqqında anlayış.
   
8. 
   Müəyyən inteqralın xassələri.
   
9. 
   İkitərtibli diferensial tənliklər.
   
10. 
    Loqarifmik funksiyanın törəməsi.
    
11. 
    Vekorial hasilin xassələri.
    
12. 
    Təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanunu.
    
13. 
    Hasilin törəməsi.
    
14. 
    Xətti tənliklər sisteminin matris şəkli.
    
15. 
    Xətti tənliklər sisteminin Qauss üsulu ilə həlli.
    
16. 
    Qarışıq hasilin xassələri.
    
17. 
    Üstlü funksiyanın törəməsi.
    
18. 
    Təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləməsi
    
19. 
    Ikitərtibli sabit əmsallı bircins xətti diferensial tənliklər
    
20. 
    Mürəkkəb funsiyanın törəməsi.
    
21. 
    Qarışıq hasilin kordinantlarla ifadəsi.
    
22. 
    Nisbətin törəməsi.
    
23. 
    Diferensialın həndəsi mənası.
    
24. 
    Üstlü-mürəkkəb funksiyanın törəməsi.
    

İstifadə olunan ədəbiyyatlar
1.R.Məmmədov “Ali riyaziyyat kursu” 1-ci hissə, 2-ci hissə, 3-cü hissə.
2.Y.Ş.Səlimov, C.A. İsmayılov, H.B.Hüseynov, Ə.M.Musayev “ Ali riyaziyyatdan testlər” 3.M.S.Alməmmədov, N.A.Mikayılov, T.N.Quluzadə ”Ali Riyaziyyat” 1-ci və 2-ci hissə.