Sumqayit döVLƏt universitetiNİN

Fırlanmadan alınan səthin sahəsi

Fərz edək ki, [a, b] parçasında təyin olunmuş f(x) funksiyası həmin parçada kəsilməyəndir və kəsilməyən törəməsi vardır. y=f(x) (a≤ 𝑥 ≤ 𝑏) əyrisinin ox oxu ətrafında fırlanmasından alınan səthin sahəsini hesablayaq.

Bu məqsədlə [a, b] parçasının ixtiyarı a=x₀12<…n-1n=b

bölgüsünü götürək. x=x_k (k=0, 1, 2,...n) bölgü nöqtələrinə əyri üzərində uyğun olan nöqtələr A_k[x_k, f(x_k)] (k=0, 1, 2,...n) olsun. Bu nöqtələri düz xətt parçaları ilə birləşdirdikdə A₀, A₁, ... A_n sınıq xətti alınır.

Həmin sınıq xəttin ox oxu ətrafında fırlanmasından alınan səthin sahəsi (kəsik

konusların yan səthlərinin sahələri cəmi)

𝑃_𝑛

𝑛−1


𝑘
= 2𝜋 ∑ ^{𝑦𝑘 + 𝑦𝑘+1} 𝑙

2

𝑘=0

𝑛−1

= 𝜋 ∑(𝑦_𝑘

𝑘=0
^{+ 𝑦}𝑘+1
) 𝑙_𝑘
(15)

olar. Burada y=f(x) (k=0, 1, 2,...n) və

𝑙_𝑘 = ^|𝐴^̅̅̅_𝑘^̅𝐴^̅̅_𝑘^̅̅₊^̅₁^̅| = √(∆𝑥_𝑘)² + (∆𝑦_𝑘)² = √(∆𝑥_𝑘 − 𝑥_𝑘)² + (∆𝑦_𝑘 − 𝑦_𝑘)² (𝑘 = 0, 1, … 𝑛 − 1

Tərif. (15) cəminin 𝜆 → 0 şərtində limiti varsa həmin limitə 𝜎 səthinin sahəsi deyilirvə p ilə işarə edilir:

𝑛−1

𝜆→0
𝑃 = lim 𝜋 ∑(𝑦_𝑘 + 𝑦_𝑘+1) 𝑙_𝑘 (16)

𝑘=0
L_k-nın ifadəsində ∆𝑦_𝑘 = 𝑓⁽𝑥_𝑘+1⁾ − 𝑓⁽𝑥_𝑘⁾ fərqinə Lağraujın sonlu artım düsturunu tətbiq etməklə, (16) bərabərliyində yazıb müəyyən çevirmə apardıqdan sonra limitə keçərəkfırlanmadan alınan səthin sahəsi düsturunu

𝑏

𝑃 = 2𝜋 ∫ 𝑓(𝑥)√1 + [𝑓^′(𝑥)]² 𝑑𝑥 (17)

𝑎
şəklində alarıq.

Əyri

( )
{ ^{y = 𝜑(𝑡)} , (𝛼 ≤t≤ 𝛽)

𝑦 = 𝜓 𝑡

parametrik tənlikləri ilə verildikdə (17) düsturundan istifadə etməklə onun fırlanmasından alınan səthin sahəsini hesablamaq olar. Bunun üçün həmin düsturda x = 𝜑⁽𝑡⁾, 𝑥 =

𝜓⁽𝑡⁾, 𝑦^′ = ^𝜓′(t) yazmaq lazımdır. Onda

𝜑′(t)
𝑏

𝑃⁽𝜎⁾ = 2𝜋 ∫ 𝜓⁽𝑡^)√[𝜑′(t)]² + [𝜓′(t)]² 𝑑𝑡 (18)

𝑎
olar.

6. İşin müəyyən inteqral vasitəsilə hesablanması
Tutaq ki, M maddi nöqtəsi bir F qüvvəsinin təsiri ilə os düz xətti istiqamətində hərəkət edir və qüvvənin istiqaməti hərəkət istiqamətinin eynidir. M nöqtəsini s=a vəziyyətindən s=b vəziyyətinə köçürmək üçün F qüvvəsinin gördüyü işi tapmaq tələb olunur.

1. 
   F sabit olarsa, onun gördüyü A işi, gedilən yol ilə F qüvvəsi hasilinə bərabərdir, yəni
   

A=F (b-a)

2. 
   Tutaq ki, F qüvvəsi maddi nöqtənin vəziyyətindən asılı olaraq, kəsilmədən dəyişir, yəni qüvvə, a≤ 𝑠 ≤ 𝑏 parçasında kəsilməyən F(s) funksiyasından ibarətdir.
   

[a, b] parçasını uzunluqları ∆𝑆₁, ∆𝑆₂, … ∆𝑆_𝑛olan n ixtiyari hissəyə bölək; sonra [S_k-1, S_k] kiçik parçasında ixtiyari birξ_knöqtəsi götürüb, F(s) qüvvəsinin ∆𝑆_𝑘(k=1, 2,...n) yolunda gördüyü işi təqribi olaraq

F (ξ_k)∆𝑆_𝑘

hasili ilə əvəz edək. Bu o deməkdir ki, hər kiçik parçada biz qüvvəni sabit hesab edirik, yəni F=F (ξ_k) qəbul edirik. Bu halda ∆ξ_kkafi qədər kiçik götürülürsə, onda F (ξ_k)∆𝑆_𝑘 hasili qüvvənin ∆𝑆_𝑘 yolunda gördüyü işin təqribi qiyməti,

𝑛

𝐴_𝑛 = ∑ F (ξ_𝑘 )∆𝑆_𝑘

𝑘=1

cəmi isə F qüvvəsinin bütün [a, b] parçasında gördüyü işin təqribi qiyməti olar.

Aşkardır ki, A_n cəmi F=F(s) funksiyası üçün [a, b] parçasında düzədilmiş inteqral cəmidir. Bu cəmin max∆𝑆_𝑘 → 0 şərtində limitinə F(s) qüvvəsinin s=a ilə s=b nöqtələri arasındakı yolda gördüyü iş deyilir. Deməli,

𝑏

𝐴 = ∫ 𝐹⁽𝑠⁾𝑑𝑥 (19)

𝑎