T texniki kolleci

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
A 
B 

---

5 
 
 
Mövzu 2. Çoxluqların birləşməsi, kəsişməsi və fərqi. Alt çoxluğun tamamlayıcısı. 
Plan 
1. 
Çoxluqların birləşməsi (cəmi) və xassələri. 
2. 
Çoxluqların kəsişməsi və xassələri. 
3. 
Çoxluqların fərqi. Alt çoxluğun tamamlayıcısı. 
1. T
ərif. A və B çoxluqların heç olmazsa birinə daxil olan bütün elementlərdən düzəldilmiş 
çoxluğa A və B çoxluqların birləşməsi deyilir və “
” kimi işarə edilir. 
Misal:
1) A = {a,b,c,d}, B = {f,k
} şəklində olarsa, onda 
C = A 
B = {a,b,c,d,f,k} olar. Qeyd edək ki, A və B çoxluqlarının hər birinə daxil olan 
element bu çoxluqların birləşməsinə daxil olur. 
2) A = {a,b,g,h,x,q} v
ə B = {b,h,x,w} çoxluqlarının 
birl
əşməsi olan C = A 
B = {a,b,g,h,x,q,w} çoxlugunda 7 element var. Amma bu iki 
çoxluğun birlikdə 10 elementi var, yəni birləşməyə hər bir element bir dəfə daxil olur. 
Şəkil1. 
A 
B 
 
 
 
A v
ə B çoxluqlarının birləşməsinə daxil olan ixtiyari x elementi x

A v
ə ya x

B xass
əsinə 
malik olduğu üçün A
B birləşməsini riyazi şəkildə aşağıdakı kimi yazmaq olar: 
A
B={x│x

A x

B}. 
Buradan görünür ki, birləşməyə daxil olan hər bir element ya A-nın elementlərinin 
xarakterisik xass
əsinə və ya B-nin elementlərinin xarakteristik xassəsinə malikdir. 
Çoxluqların birləşməsinin əsas xassələri var. 
1. Kommutativlik xass
əsi 
İxtiyari A və B çoxluqları üçün
A
B
B
A



b
ərabərliyi doğrudur. 
Bu xass
ənin isbatı çoxluqların birləşməsinin tərifinə əsaslanır. Belə ki, 
B
A

c
əminin 
elementl
əri 
A
B

c
əminin elementlərinə bərabərdir. 
2. Assosativlik xass
əsi.
İxtiyari A, B və C çoxluqları üçün




C
B
A
C
B
A





b
ərabərliyi doğrudur. 
3. 
A
B

olduqda 
A
B
A


doğrudur. Xüsusi halda


J
A
J
J
A
A
A
A
A
A








,
,
b
ərabərlikləri də doğrudur. 
2. T
ərif. A və B çoxluqlarının bütün ortaq elementlərindən düzələn çoxluğa A və B 
çoxluqlarının kəsişməsi deyilir və 
B
A

kimi işarə edilir. 
M
əsələn 


e
d
c
b
a
A
,
,
,
,

,


d
f
c
b
B
,
,
,

olduqda 


d
c
b
B
A
,
,


olar. Dem
ək, b,c,d 
elementl
əri eyni zamanda həm A çoxluğuna, həm də B çoxluğuna daxildir. Çoxluqların 
k
əsişməsi riyazi şəkildə belə ifadə olunur: 
{ } 
1) 


n
N
,...,
3
,
2
,
1

natural 
ədədlər çoxluğu


,...
3
,
2
,
1
,
0
0

N
bütün mənfi olmayan tam ədələr çoxluğu olsun. Onda bu çoxluqların 
k
əsişməsi N  olar. 
 
N
N
N


0
2) A-
bütün dördbucaqlılar çoxluğu, B isə düzbucaqlılar çoxluğu olsun. Onda 
B
B
A


olar.
3) A- 
bütün cüt ədələr çoxluğu, B isə bütün sadə ədədlər çoxluğu olsun. Onda




 
2
,
,...
5
,
3
,
2
,
24
,...,
8
,
6
,
4
,
2




B
A
B
A

---

6 
Dem
ək, bir ortaq elementi olduqda da çoxluqlar kəsişirlər. A ilə B çoxluqlarının ortaq 
elementi yoxdursa, onda onların kəsişməsi boş çoxluq əmələ gətirir və belə işarə olunur:



B
A
Çoxluqların kəsişməsi Eyler- Venn diaqramı vasitəsi ilə əyaniləşdirilir. 
A 
B
B
A
A
B




B 
A B 
C
B
A
B
A
C





)
(

C 
A 
B 
Çoxluqların kəsişməsinin aşağıdakı xassələri var. 
1. 
Çoxluqların kəsişməsi kommutativlik xassəsinə malikdir, yəni ixtiyari iki A və B 
çoxluqları üçün aşağıdakı münasibət doğrudur:
A
B
B
A



2. 
Çoxluqların kəsişməsi assosiativdir, yəniixtiyari A, B və C çoxluqları üçün aşağıdakı 
b
ərabərlik doğrudur:


)
(
C
B
A
C
B
A





Misal.


7
,
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1

A
;


8
,
6
,
4
,
2

B
;


6
,
5
,
4

C
I. 
 
6
,
4


C
B

  
6
;
4



C
B
A
II. 


6
,
4
,
2


B
A


 
6
,
4



C
B
A
3.
A
B

olduqda 
B
B
A


doğrudur. Xüsusi halda


J
A
A
J
A
A
A
A
A








,
,
b
ərabərlikləri də doğrudur. 
4. Distributivlik xass
ələri çoxluqların kəsişməsi və birləşməsi arasındakı əlaqəni əks 
etdirir. İxtiyari A, B və C çoxluqları üçün aşağıdakı bərabərlik doğrudur: 
a) 

 
 

C
A
B
A
C
B
A






b) 

 
 

C
A
B
A
C
B
A






3. T
ərif.A çoxluğunun B çoxluğuna daxil olmayan bütün elementlərindən ibarət 
olançoxluğa A və B çoxluqlarının fərqi deyilir və A \ B kimi işarə edilir. Bu halda B-nin A 
çoxluğunun alt çoxluğu olması vacib deyildir. 
İki çoxluğun fərqi simvolik olaraq aşağıdakı şəkildə yazılır: 
A
∖B {

} 
B
∖A {

} 
Şəkil. 
A
∖B 
B
∖A 
Misal. A = {1,2,3,4,5,6,7} , B = {2,5,7,8
} çoxluqlarının fərqi C = A \ B = {1,3,4,6}şəklində 
olur. Buradan görünür ki, C çoxluğunun hər bir elementi A çoxluğuna daxildir, lakin B 
çoxluğuna daxil deyil. 
Ola bil
ər ki, A 
B = . Bu halda A \ B = A ,B \ A = B olur. 
M
əsələn: 
1. A = [3,4] , B = [7,12]. Bu halda A \ B = [3,4], B \ A = [7,12] 
Çoxluqların 
fərqini 
çoxluqların 
kəsişməsi 
v
ə 
birl
əşməsi 
əməlləri 
il
ə 
əlaqələndirən 
aşağıdakı 
bərabərliklər 
ixtiyari 
A, 
B, 
C 
çoxluqları üçün doğrudur:
∖ ( ) ( ∖ ) ( ∖ ) 

---

7 
∖ ( ) ( ∖ ) ( ∖ ) 
T
ərif. Əgər xüsusi halda B çoxluğu A çoxluğunun alt çoxluğu olarsa
(B

A) , onda A ilə B-nin fərqinə A \ B , B çoxluğunun A çoxluğuna tamamlayıcısı deyilir 
v
ə B 
A
il
ə işarə olunur. 
Şəkil. 
A 
Çoxluqların fərqinin tərifinə uyğun olaraq, B

A olduqda, A çoxluğundan B-nin 
elementl
ərini kənar etdikdən sonra alınan çoxluq B-nin A-ya qədər tamamlayıcısı olur. 
Misal.
{ } { } 
C 
/
D 
={
} olur. 
Qeyd ed
ək ki, “tamamlama” əməliyyatının nəticəsi verilmiş çoxluğun hansı çoxluğa 
“tamamlanmasından” bilavasitə asılı olur. Məsələn: tam ədədlər çoxluğunu rasional 
ədədlər çoxluğuna tamamlayan – bütün kəsr ədədlər çoxluğudur. Əgər tam ədədlər 
çoxluğunun həqiqi ədədlər çoxluğuna tamamlanmasına baxırıqsa, onda kəsr və irrasional 
ədədlər 
çoxluqlarının birləşməsi tamamlayıcı çoxluq olacaqdır. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B
A 
B 

---

8 
 
 
Mövzu 3. Çoxluqların Dekart hasili. Cəm və hasil qaydaları. 
Plan 
1. 
Nizamlanmış cüt. 
2. 
İki çoxluğun dekart hasili. 
3. C
əm və hasil qaydaları. 
1. Iki a v
ə b elementlərinin müəyyən sırada düzülüşünə nizamlanmış cüt deyilir və (a,b) 
il
ə işarə edilir. a- ya cütün birinci, b-yə isə ikinci elementi (komponenti, koordinatı) 
deyilir. Iki cüt o zaman bərabər hesab edilir ki, həmin cütlərin uyğun komponentləri 
b
ərabər 
olsun, 
y
əni 
a
1
= 
a
2
 
, 
b
1
= 
b
2
olduqda 
(a
1
 
,b
1
) 
= 
(a
2
 
,b
2
) 
hesab 
edilir.Əgər 
a 
b olarsa (a,b) (b,a) olur. Tutaq ki, (a,b) nizamlanmış cütü 
k
əsrinin surət və məxrəcini göstərir: (a = 1 , b = 4); onda (1,4) 
(4,1) olar. 
2. F
ərz edək ki, boş olmayan A və B çoxluqları verilmişdir. A çoxluğundan hər hansı bir 
a 
elementi götürüb, sonra ona B çoxluğunun müəyyən bir b elementini qoşmaqla (a,b) 
nizamlı cütünü quraq. Bu qayda ilə hər dəfə birinci yerdə A çoxluğunun elementlərini, 
ikinci yerd
ə isə B çoxluğunun elementlərini yazmaqla A və B çoxluqlarının bütün 
elementl
ərindən istifadə etməklə bütün nizamlı cütləri tərtib etmək olar. Nəticədə A və B 
çoxluqlarının elementlərindən düzəldilmiş nizamlı cütlərdən ibarət olan C çoxluğunu 
alırıq. Elementləri verilmiş A və B çoxluqlarının elementlərinin nizamlanmış (x, y) 
cütlərindən ibarət olan C çoxluğuna A və B çoxluqlarının düz hasili və ya dekart hasili 
deyilir. A v
ə B çoxluqlarının dekart hasili C = AxB şəklində işarə edilir.