T texniki kolleci

T
ərif. İki sonlu çoxluğun Dekart hasili həmin çoxluqlara daxil olan (
B
y
A
x


,
) 
elementl
ərdən düzəlmiş bütün mümkün olan nizamlanmış cütlər 
 
y
x,
çoxluğuna deyilir 
v
ə simvolik olaraq 
 


B
y
A
x
y
x
B
A




,
,
.
Misal. Tutaq ki, iki A v
ə B çoxluqları verilmişdir. 




c
b
a
B
A
,
,
;
6
,
4
,
2


Bu çoxluqların Dekart hasilini düzəldək. 
                 


c
b
a
c
b
a
c
b
a
B
A
,
6
,
,
6
,
,
6
,
,
4
,
,
4
,
,
4
,
,
2
,
,
2
,
,
2


Göstərmək olar ki, sonlu çoxluqların dekart hasilindəki cütlərin sayı A və B çoxluqlarında 
olan elementl
ərin sayını göstərən ədədlərin hasilinə bərabərdir. Fərz edək ki, A 
1,2,4,6
, B 
3,4,5
AxB 
düz hasilinin 
elementl
ərini 
yazaq: 
A
B
Göründüyü kimi A
B çoxluğunda 12 nizamlanmış cüt var. A çoxluğunun 4, B 
çoxluğunun 3 elementi var, yəni 4 
3 
12 
3. Dekart hasilind
ə assosativlik və komutativlik xassələri ödənilmir, yəni bu xassələrə 
malik deyil. 
1)
A
B
B
A



. 
2) A,B v
ə C çoxluqlarından heç biri boş çoxluq deyildirsə, onda


C
B
A
C
B
A





)
(
3)
İxtiyari A çoxluğu üçün aşağıdakı bərabərlik doğrudur 
A
A 
4) Çoxluqların Dekart hasili əməli çoxluqların birləşməsi, kəsişməsi və fərqi əməllərinə 
əsasən aşağıdakı distrubutivlik xassələrinə malikdir. 
1) 



 

C
B
C
A
C
B
A






2) (
) ( ) ( ) 
3) 



 

C
B
C
A
C
B
A




\
\

---

9 
Misal. 
 
 
 
a
C
d
c
B
A



,
,
,
3
,
2
,
1
olarsa 



 

C
B
C
A
C
B
A






b
ərabərliyinin 
doğruluğunu göstərək. 


d
c
B
A
,
,
3
,
2
,
1





            


a
d
a
c
a
a
a
a
d
c
C
B
A
,
,
,
,
,
3
,
,
2
,
,
1
,
,
3
,
2
,
1






 
          

          


a
d
a
c
a
a
a
a
d
a
c
a
a
a
C
B
C
A
,
,
,
,
,
3
,
,
2
,
,
1
,
,
,
,
3
,
,
2
,
,
1






Buradan



 

C
B
C
A
C
B
A






olar. 
Misal. 


 
 
a
C
d
c
B
d
c
b
a
A



,
,
,
,
,
,
olarsa



 

C
B
C
A
C
B
A






b
ərabərliyinin 
doğruluğunu göstərək.
( ) {( )} { } {( ) ( )} 
( ) ( ) {( ) ( ) ( ) ( )} {( ) ( )} {( ) ( )} 
Buradan



 

C
B
C
A
C
B
A






olar. 
3. Riyaziyyat kursunda el
ə məsələlərin həllinə baxılır ki, bu məsələlərdə sonlu 
çoxluqların birləşməsinə və kəsişməsinə daxil olan elementlərin sayını tə yin etmək 
lazım gəlir. Belə məsələlərin həllinin xüsusi priyomu var. Tutaq ki, iki çoxluq verilmişdir: 
{ } { } 
n(A)= 3, n(B) = 3 v
ə 
n(
) , çünki çoxluqların ortaq elementi yoxdur. Aşkardır A və B 
çoxluqlarının birləşməsində olan elementlərin sayı A və B çoxluqlarında olan 
elementl
ərin sayının cəminə bərabərdir . Yəni, 
( ) ( ) ( ) 
B
u düstur böyük praktik əhəmiyyətə malik olub, cəm qaydası adlanır.
Əgər verilmiş A və B çoxluqlarının kəsişməsi 
olarsa onda
onların birləşməsində olan elementlərin sayı aşağıdakı düsturla təyin
edilir:
( ) ( ) ( ) ( ) 
M
əsələ. Sinifdə bir neçə şagird marka yığmaqla məşğul idi. 11 nəfər xarici ölkələrin, 15 
n
əfər keçmiş SSRİ-nin, 6 nəfər həm xarici ölkələrin, həm də keçmiş SSRİ-nin m 
markalarını yığırdı. Cəmi neçə şagird marka yığmaqlaqla məşğul idi? 
H
əlli: 
( ) ( ) ( ) ( )
M
əsələ. Sinifdəki40 şagirddən 23 nəfəri riyaziyyat dərnəyində, 27 nəfəri ədəbiyyat 
d
ərnəyində iştirak edir. Həm riyaziyyat, həm də ədəbiyyat dərnəyində iştrak edən 
şagirdlərin sayını tapın. 
H
əlli: 
( ) ( ) ( ) ( )
*Tutaq ki, A v
ə B çoxluqları verilmişdir. Bu çoxluqların elementləri 
 
b
a
A
,
1

, 
 
d
c
B
,

olsun. İndi bu üç çoxluğun Dekart hasillərini düzəldək.
       


d
b
c
b
d
a
c
a
B
A
,
,
,
,
,
,
,


B
A

Dekart hasill
ərindəki elementlərin sayı həmin çoxluqların elementlərinin sayını 
göstərən ədədlərin hasilinə bərabərdir. Həqiqətən, 
A- in elementinin sayı 2, B-nin 
elementinin sayı 2-yə bərabərdir. 
Bel
əliklə
( ) ( ) ( ) düsturunu alırıq. 
B
u üsula hasil qaydası deyilir. Bu düstur iki sonlu çoxluğun Dekart hasilinə daxil olan 
mümkün cütlərin sayını tapmağa imkan verir. Əgər a elementini n üsulla, b elementini m 
üsulla seçmək olarsa, onda 
 
b
a,
nizamlanmış cütünü 
m
n

üsulla seçmək olar. 
M
əsələ.A məntəqəsindən B məntəqəsinə üç yol gedir. B-dən C-yə isə iki yol gedir.B 
m
əntəqəsindən keçməklə A-dan C-yə neçə üsulla getmək olar? Məsələni həll etmək 
üçün 
A-dan 
B-y
ə 
ged
ən 
yolları 
il
ə, 
B-d
ən C-yə gedən yolları isə a və b ilə işarə edək.
A 
B 
C 

---

10 
Onda A-dan B-y
ə gedən hər bir üsul bir cüt göstərir. Bu cütlər aşağıdakılardır: 
,a ,
,a ,
,a ,
,b ,
,b ,
,b
. Aydındır ki, alınan cütlər 
çoxluğu A-dan B-yə gedən yollar çoxluğu A
1
,
,
il
ə B-dən C-yə gedən 
yollar 
çoxluğunu 
A
2
a,b
-
nin 
dekart 
hasilini 
göstərir. 
Hasil 
qaydasına 
əsasən 
n A
1
A
2
n
A
1
n A
2
)  
n A
1
3 v
ə n A
2
2 
olduğuna görə n A
1
A
2
6 olar. Dem
əli, 
Am
əntəqəsindən C məntəqəsinə (B-dən keçməklə) 6 üsulla getmək olar.
 

---

11 
 
Mövzu 4. Mülahizə anlayışı. Mülahizələr üzərində məntiqi əməllər. 
Plan 
1. Riyazi m
əntiqin inkişafı haqqında qısa məlumat. 
2. 
Mülahizə anlayışı. Mülahizələrin növləri. 
3. 
Mülahizələrin inkarı, konyunksiyası və dizyunksiyası. 
4. 
Mülahizələrin implikasiyası və ekvivalensiyası.
1. M
əntiq – insan təfəkkürünün qanun və formaları haqqında elmdir. Məntiq sərbəst bir 
elm kimi h
ələ bizim eradan əvvəl yunan filosofu Aristotelin əsərlərində (b.e. əvvəl 384-
322-ci ill
ər) formalaşdırılmışdır. Aristotel o zamana qədər məlum olan məlumatları 
sisteml
əşdirdi və bu sistem sonralar formal məntiq, yaxud da onun şərəfinə Aristotel 
sistemi adlandırıldı. Uzun müddət formal məntiq nəzəriyyəsində xüsusi diqqət çəkən 
d
əyişikliklər baş vermədi. Riyaziyyat elminin sonrakı inkişaf prosesi təbii olaraq Aristotel 
m
əntiqi nəzəriyyəsinin çatışmamazlığını üzə çıxardı və bu nəzəriyyənin gələcək inkişaf 
t
ələbini qarşıya qoydu. Məntiq nəzəriyyəsinin riyazi əsasda qurulması haqqında ideyanı 
tarixd
ə ilk dəfə XVII əsrin sonunda alman riyaziyyatçısı H.Leybnits (1646-1716) təklif 
etmışdi. O hesab edirdi ki, məntiqin əsas anlayışları, xüsusi qaydalarla birləşdirilmiş 
simvollarla işarə edilməlidir. Bununla da istənilən mühakiməni müəyyən məntiqi 
dusturlar üzərində hesablama prosesi ilə əvəz etmək imkanı yaranacaqdır. O demişdir: 
“Biz işarələri yalnız öz fikrimizi başqalarına çadirmaq üçün deyil, həmçinin öz düşünmə 
prosesimizin yüngülləşdirilməsi üçün istifadə edirik” (Leybnits). Leybnitsin ideyalarının 
h
əyata keçirilməsi ilk dəfə ingilis alimi C.Bula (1815-1864) nəsib olmuşdur. O, 
mülahizələri hərflərlə işarə edərək, yeni bir cəbr yaratdı ki, bu da mülahizələr cəbrinin 
yaranmasına gətirib çıxardı. Məntiq nəzəriyyəsində simvolik işarələmələrin daxil 
edilm
əsi, riyaziyyatda hərfi işarələmələrin oynadığı rol qədər həlledici əhəmiyyətə malik 
oldu. M
əhz simvolların daxil edilməsi riyazi məntiq elminin yaradılmasının əsasını 
qoydu. XIX yüzilliyin sonunda məntiq nəzəriyyəsinin anlayış və ideyalarının 
əsaslandırılması məsələsi riyaziyyatçılar üçün maraq kəsb etməyə başladı. Bu sahədə 
alman riyaziyyatçısı H.Freqenin (1848-1925) və italyan riyaziyyatçısı D.Peanonun 
(1858-1932) 
əsərləri xüsusilə fərqlənir, belə ki, onlar riyazi məntiqi, hesab elminin və 
çoxluqlar nəzəriyyəsinin əsaslandırılması üçün tətbiq etdilər. 
2.T
ərif. Riyazi məntiqdə istənilən doğru və ya yalan fikri ifadə edən təklifə (nəqli 
cümləyə) mülahizə deyilir. Mülahizə dedikdə zaman və məkanın verilmiş şərtində