Tatu samarqand filiali

Masalani yechish usullari. Masalani yechish usullarini 3 turga bo‟lish mumkin, bular: aniq usullar, taqribiy-aniq usullar, sonli usullar.
Aniq usullar bu yechimni elementar funksiyalar orqali ifodalash yoki elementar funksiyalar integrali orqali ifodalashdan iborat bo‟lib, bu usullar oddiy differensial tenglamalar kursida o‟rganilgan. Aniq usullar amaliyotda uchraydigan masalalarning ba‟zi bir turlarinigina yechish imkonini beradi. Masalan, ushbu

dx(t) _{t 2}
d t
x² (t)

Differensial tenglamaning yechimini elementar funksiyalar orqali ifodalab bo‟lmaydi. Ushbu

tenglamaning umumiy yechimi
dx(t) d t

0,5ln t ² x²
arctg ^x C t

Ko‟rinishda, ammo bu transendent formulali yechimdan x(t) ning t dan bog‟liq ifodasini chiqarish berilgan tenglamani yechisdanda oson emas.
Taqribiy-analitik usullarga x(t) yechim funksiyani biror x_k(t) – funksiyalar ketma-ketligi orqali ifodalash kiradi, bunda x_k(t) lar elementar funksiyalar yoki ularning integrallari orqali ifodalangan bo‟ladi. Shunday qilib, cheklangan k qiymat uchun x(t) yechimga ega bo‟lamiz. Bu usullarga misol qilib yechimni umumlashgan darajali qatorlarga yoyish usuli, Pikar usuli, kichik parametrlar usulini keltirish mumkin. Bu usullardan masalani yechishning boshlang‟ich katta qismini aniq amalga oshirish mumkin bo‟lgandagina foydalanish mumkin. Bunga faqat soddaroq masalalarni yechishdagina erishish mukin.
Sonli usullarda esa x(t) yechim funksiyaning taqribiy qiymatlari to‟r tugunlari
deb ataluvchi t₁, t₂, ..., t_N nuqtalarda taqribiy hisoblanadi. Bunda yechimlar jadval ko‟rinishida olinadi.
Sonli usullar berilgan sistemaning umumiy yechimini topish imkonini bermaydi, balki qo‟yilgan masalaning, masalan, Koshi masalasining, qaysidir bir xususiy yechiminigina topib beradi. Ana shu holar sonli usullarning asosiy kamchiligi hisoblanadi. Shunga qaramasdan bu usullar juda keng sinfdagi masalalarni yechish imkonini beradiki, keyingi paytlarda amaliyotda bu usullar samarali qo‟llanilib kelinmoqda.
Shularni e‟tiborga olib, mazkur ishda sonli usullardan biri Runge-Kutta yordamida oddiy differensial tenglamalar sistemasini yechishni Maple va Mathcad matematik paketlari yordamida amalga oshirishni ko‟ramiz.
Runge-Kutta usulining g’oyasi:
Faraz qilaylik, ushbu

x (t)
f t, x ,
t [a,b], x(t₀) = x₀

oddiy differensial tenglamalar sistemasi va boshlang‟ich shartlar bilan berilgan masalaning taqribiy yechimini h - teng qadamli ushbu

jh, j
0,1,..., N},
h (b
a)/ N

to‟r tugunlarida topish talab etilsin. To‟rning j nomerli nuqtasida masalaning aniq yechimini x_j= x_j (t_j) orqali, taqribiy yechimini esa y_j orqali belgilaylik.

Runge-Kutta usulining o‟zgarmas h qadam bilan 4-tartibli aniqlikdagi taqribiy hisob formulasi quyidagicha: