Tatu samarqand filiali

1-BOB.

ODDIY DIFFERENSIAL TENGLAMALARNING ANALITIK YECHIMINI MAPLE VA MATHCAD DASTURLARI YORDAMIDA TOPISH


Mexanikaning turli masalalarini o‟rganish ko‟p hollarda oddiy differensial tenglamalarni yechishga olib kelinadi. Aniq amaliy masala esa ixtiyoriy tartibli differensial tenglamani yechishni talab etadi. Bunday masalalarni ko‟p hollarda analitik usullar bilan yechib bo‟lmaydi. Ana shunday hollarda biz sonli usullarga murojaat qilamiz. Sonli usullar yordamida taqribiy yechim quriladi va tegishli xulosalar siqariladi. Mazkur ishda ana shunday masalalarni Maple va Mathcad matematik paketlari yordamida oddiy differensial tenglamalarni taqribiy yechish masalalari qaraladi.

1. Oddiy differensial tenglama va uning umumiy yechimini Maple dasturida topish

Masalaning qo’yilishi.
Hozirgi kunda fan-texnika rivojlanib borgan sari matematikaning roli ortib bormoqda. Shu jumladan matematikadan fizika, mexanika va astronomiya hamda iqtisodiy masalalarni yechishda, biologik jarayonlarni tahlil etishda va boshqa ko‟p sohalarda foydalaniladi. Bu sohalardagi jarayonlarning matematik modeli differensial tenglamalar nomi bilan yuritiladi.
Noma‟lum funksiyaning hosilasi yoki differensiali qatnashgan tenglama differensial tenglama deyiladi.
Agar noma‟lum funksiya bir argumentli bo‟lsa, u holda tenglama oddiy differensial tenglama deb, agar noma‟lum funksiya ko‟p o‟zgaruvchili bo‟lsa, u holda tenglama xususiy hosilali differensial tenglama deb aytiladi.
Masalan, faraz qilaylik moddiy nuqta OX o‟qi bo‟ylab harakat qilsin. Harakat funksiyasi f(t) bo‟lsin. Bundan tashqari biror t=t₀ momentda uning absissasi x₀ qiymatni qabul qilsin. Shu moddiy nuqtaning harakat qonunini toping.
Bu masalaning matematik modeli ushbu

dx _f
dt


x t₀ x₀

differensial tenglama va boshlang‟ich shart ko‟rinish bilan ifodalanadi.
Yana bir misol keltiraylik. Radiaktiv modda hisoblangan radiyning parchalanish tezligi uning miqdoriga to‟g‟ri proporsiolnal. Faraz qilaylik, t momentda R₀g radiy bor bo‟lsin. Ixtiyoriy t momentda Rg radiy miqdorini aniqlang.
Agar proporsionallik koeffisiyenti c (c>0) ga teng bo‟lsa, u holda masala ushbu differensial tenglamani yechishga keltiriladi.



Bu tenglamani t=t₀ da R=R₀ ga teng bo‟ladigan yechimi

0
_R=R0e-c(t-t )
funksiya bilan ifodalanadi.
Yuqoridagi masalalardan ko‟rinadiki, bitta differensial tenglamani bir necha funksiyalar qanoatlantirishi mumkin, shuning uchun differensial tenglamalar nazariyasining asosiy maqsadi berilgan tenglamaning barcha yechimlarini topish va ularning xususiyatlarini o‟rganishdan iborat.
Bu maqsadga erishish uchun hozirgi kubda bizning qo‟limizda maxsus matematik paketlar mavjud. Bular Maple, Mathcad, MathLab, Mathematica va hokazo. Ana shu paketlardan foydalangan holda oddiy differensial tenglamalarni yechishimiz mumkin bo‟ladi.
Ammo yana bir masalani oydinlashtirish lozim bo‟ladi. Bu ham bo‟lsa shunday savolga javob berish kerak: har qanday differensial tenglamalarni ana shunday yo‟l bilan yechish mumkinmi?

Albatta, yo‟q.
Unda nima qilish kerak?
Ana shunday holda bizga taqribiy hisob usullari yordam beradi.
Ulardan unumli fodalangan holda qo‟yilgan maqsadga yetarlicha aniqlikda erishish mumkin. Bunda albatta masalaning turi, undagi funksiyalarning xarakteriga qarab har xil taqribiy hisob usullarini qo‟ llash mumkin.
Quyida ana shunga erishish uchun avvali differensial tenglama, chegaraviy masala, ularning umumiy va xususiy yechimlari, ularni analitik usulda topish, qay hollarda matematik paketlardan qanday foydalanish mumkinligi haqida so‟z yuritiladi.
Bularni bosqichma-bosqich qarab chiqaylik.


Chegaraviy masala va uni yechishda Maple dasturidan foydalanish maqsadi. Birinchi tartibli differensial tenglama oshkormas ko‟rinishda

kabi va oshkor ko‟rinishda esa
F (x, y, y^' ) 0

x₀ , b
kesmada
y f x, y
(1)

^y x x₀ ^y0
(2)

boshlang‟ ich shart bilan berilgan bo‟ lsin. ^x nuqtada noma‟ lum y

funksiyaning qiymatini taqribiy hisoblash talab qilinsin.

Agar berilgan masalaning y yechimini topish mumkin bo‟lganda,

^x nuqtada, ravshanki,
^y _x ni topishimiz mumkin bo‟ladi. Lekin

aksariyat hollarda masalaning umumiy yechimini topib bo‟lmaydi. Bunday hollarda taqribiy (sonli) usullar qo‟llaniladi.
Ikkinchi tartibli differensial tenglama berilgan bo‟lsin:

F (x, y, y^' , y^'' ) 0
(3)

Ikki nuqtali chegaraviy masala (3) uchun quyidagicha qo‟yiladi: kesma ichida (3) tenglamani qanoatlantiruvchi va kesmaning oxirida esa
a,b

1

2


chegaraviy shartlar qanoatlantiruvchi
y(a), y^' (a)
y(b), y^' (b)
^y funksiyani topish talab qilinadi.

(4)

(3) tenglama va (4) chegaraviy shartlar chiziqli bo‟lgan holni qaraylik. Bunday chegaraviy masala chiziqli chegaraviy masala deyiladi. U holda differensial tenglama va chegaraviy shartlarni quyidagicha yozish mumkin:

_y''
p(x) y^'
₀ y(a)
₀ y(b)
q(x) y


₁ y^' (a)
₁ y^' (b)
f (x)


A B
(5)


(6)

bu yerda p q f
- ^a,b
kesmada uzluksiz bo‟lgan berilgan

funksiyalar,
₀, ₁,
₀, ₁, A, B
- berilgan o‟zgarmaslar bo‟lib va

shartni qanoatlantiradi.
Agar A B 0 bo‟lsa, u holda (6) chegaraviy shart bir jinsli deyiladi.