Tənliyə nəzərən həll edilmiş birtərtibli tənlik üçün həllin varlığı və yeganəliyi

Qeyri-bircins xətti-diferensial tənliklər.
(1)
tənliyini qeyri-bircins xətti tənlik adlandıracağıq. Əgər hər hansı parçasında və f (x) funksiyaları kəsilməz olarlarsa, onda (1) tənliyinin üçün istənilən

başlanğıc şərtlərini ödəyən həlli var və yeganədir.
Lemma 1. Əgər (1) tənliyinə uyğun bircins tənliyin, isə (1) tənliyinin həllidirsə, onda funksiyası da (1) tənliyinin həllidir.
İsbatı. Qəbul etdiyimiz işarələrin köməyi ilə (1) tənliyini

şəklində yaza bilərik.
(3)
bircins tənliyinə (1) uyğun bircins tənlik deyilir.
Doğurdan da, (3) tənliyinin, isə (2) tənliyinin həlli olduğundan

Xətti diferensial operatorun xassələrini nəzərə alsaq:

olar.
Lemma 2. (superpazisya qaydası)
Əgər funksiyası
(4)
tənliyinin həllidirsə, onda

funksiyası

tənliyinin həllidir.
İsbatı.Şərtə görə



Lemma 3. əmsalları, funksiyaları həqiqi funksiyalar olmaq şərti ilə

funksiyası

tənliyinin həllidirlər.
İsbatı. Şərtə görə

Xətti operatorun xassələrini nəzərə alsaq:

Kompleks ədədlərin bərabərliyi şərtindən

Teorem.
əmsalları və f(x) funksiyası parçasında kəsilməyən

Qeyri-bircins xətti tənliyinin ümumi həlli parçasında uyğun

Bircins tənliyinin ümumi həlli ilə qeyri-bircins tənliyinin istənilən bir fərdi həllinin cəminə bərabərdir. Yəni

(6)
İsbatı. Teoremin şərtləri daxilində (3) tənliyinin həlli var və onun fundamental həllinin istənilən xətti kombinasiyası da (3) tənliyinin həllidir. Onda Lemma 1-ə görə (6) münasibəti ilə təyin olunan funksiya (2) tənliyinin həlli olacaqdır. Digər tərəfdən (2) tənliyi həllin varlığı və yeganəliyi teoreminin bütün şərtlərini ödədiyindən (6) bərabərliyi ilə təyin olunan funksiyanın (2) tənliyinin ümumi həlli olduğunu isbat etmək üçün (6) bərabərliyindən istənilən
(7)
Başlanğıc şərtlərini ödəyən həllin yeganə qayda ilə təyin edilə bilməsinin mümkünlüyünü göstərmək kifayətdir. (6)-nın (7) başlanğıc şərtlərini ödəməsindən ötəri

sistemi ödənilməlidir. (8) sisteminə lərə nəzərən xətti tənliklər sistemi kimi baxsaq (3) tənliyinin fundamental həlləri olan funsksiyalarını Vronsk determinantı və deməli (8) sisteminin baş determinantı nöqtəsində 0-dan fərqli olduğundan üçün (8) sisteminin yeganə həlli olacaqdır. Beləliklə (6) bərabərliyindən (2) tənliyinin başlanğıc (7) şərtlərini ödəyən həllini yeganə qaydada təyin etmək mümkündür.